2018年数学高考真题

2018年数学高考真题

剖析解读

高考全国I、II、III卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于

不同省份的考生.在难度上会有一些差异，在试卷结构和命题方向上基本上都是

相同的.

“稳定”是高考的主旋律.在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有

太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的

重点.每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本

概念分析问题、基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析

和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础.试卷难度结构合理，由易到

难，循序渐进，具有一定的梯度.今年数学试题与去年相比整体难度有所降低.

“创新”是高考的生命线.与历年试卷对比，I、II卷解答题顺序有变，这

也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心理解

归纳，是难以拿到高分的.在对数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查

有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势.

坐标系与参数方程的试题在全国卷中，以选做的形式出现，其难度不大，且

相对稳定，近几年主要考查直线和圆的极坐标，以及极坐标与直角坐标的互化，

参数方程侧重考查直线，圆及椭圆参数方程与普通方程的互化，用极坐标方程、

参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定，通过对最值问题的

求解体现了参数方程的优点，同时也体现了数形结合与转化的思想.总之高考把

对参数方程和极坐标内容的考查作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容

的综合应用和进一步深化.

下面列出了2018年全国卷I、II、III及部分自主命题省市所考查的坐标系

与参数方程的试题，请同学们根据所学知识，测试自己的能力，寻找自己的差距,

把握高考的方向，认清命题的趋势!

穿越自测

(.立

x=-1+

1.(2018•天津高考)已知圆f+V-2x=0的圆心为C,直线1「

［一笔

(/为参数)与该圆相交于A,8两点，则AABC的面积为.

答案2

解析由题意可得圆的标准方程为(x-l)2+y2=i,

直线的直角坐标方程为y-3=-(x+1),即x+y-2=0,

|1+0-2|小

则圆心到直线的距离d=,一=早

2=也

由弦长公式可得，|AB|=2x

则S^ABC=京/X芈=1.

2.(2018•北京高考)在极坐标系中，pcos0+psin0=a(«>O)^0p=2cos6»

相切，贝［1。=.

答案1+V2

解析因为p2=f+/x=pcos0,y=psind,

由"cos。+psin0=a(a>0),得x+y=a(a>0),

由"=2cos。，得"2=2"cos。，得f+j/nZx,即(九一Ip+V=1,

H-d,

因为直线与圆相切，所以ir=,

.'.a=1±\/2.Va>0,.'.a=1+^/2.

3.(2018・全国卷I)在直角坐标系x0v中，曲线。的方程为y=A«+2似坐

2

标原点为极点，》轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p+

2.cos。-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若Ci与G有且仅有三个公共点，求Ci的方程.

解⑴由X=pcos仇)=psin0,得。2的直角坐标方程为(x+1)2+V=4.

⑵由⑴知C2是圆心为4-1,0),半径为2的圆.

由题设知，G是过点仅0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线G的方程为

kx+2,

y=,.，、记y轴右边的射线为/i,y轴左边的射线为/2.由于B在圆C2

的外面，故G与C2有且仅有三个公共点等价于1\与C2只有一个公共点且/2与

C2有两个公共点，或/2与C2只有一个公共点且/1与C2有两个公共点.

\-k+2\

当人与C2只有一个公共点时，A到1\所在直线的距离为2,所以后—=2,

7kz+1

故k=_,或k=0.

经检验，当攵=0时，/i与C2没有公共点；当攵=-和寸，八与。2只有一个公

共点，/2与C2有两个公共点.

%+2|

当/2与G只有一个公共点时，A到/2所在直线的距离为2,所以方47=2,

,4

故％=0或k=

4

经检验，当％=0时，L与。2没有公共点；当左=］时，/2与C2没有公共点.

综上，所求G的方程为^二-引r|+2.

|x=2cos0,

4.(2。18.全国卷n)在直角坐标系四中，曲线C的参数方程为［)兴皿(。

x=1+rcosa,

为参数)，直线/的参数方程为c.。为参数).

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)若曲线。截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.

解⑴曲线C的直角坐标方程为%汽=1.

当cosaWO时，/的直角坐标方程为y=tana・x+2-tana,当cosa=0时,/的

直角坐标方程为x=l.

(2)将/的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

(1+3cos2Q)P+4(2cosa+sina)t-8=0.①

因为曲线C截直线/所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为

九，/2,贝［It\+t2=0.

…4(2cosa+sina)

又由①得t［+t=---------J------，故2cosa+sina=0,于是直线/的斜

21IJCOS

率k=tana=-2.

X-cos。

5.(2018・全国卷m)在平面直角坐标系中，。0的参数方程为｛.

j=sin，

(。为参数)，过点(0,-也)且倾斜角为a的直线/与。。交于A,8两点.

(1)求a的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

解(1)。。的直角坐标方程为f+V=1.

当时，/与。。交于两点.

当诺时，记tana=Z,贝的方程为＞，=依-应

nn

/与交于两点当且仅当<1,解得左<-1或攵>1,即a€a，2成

a€

(JI3ii\

综上，a的取值范围是弓，yj.

x=zcosa,(为参数，*寻).

(2)/的参数方程为

y=-A/2+rsina

tA+tB.

设A,B,P对应的参数分别为以，/B,tp,贝1卜户=下一，且fA,力满足产-

2/fsina+1=0.

于是tA+tB=2色sina,tp=Vasina.

x=tpcosa,

又点尸的坐标(二>)满足

y=-也+tpsina,

%

x=,sin2a,

a为参数，》爵).

所以点P的轨迹的参数方程是5坦亚2,

y=-2-2cos2a

6.(2018・江苏高考)在极坐标系中，直线/的方程为外喏-可=2,曲线C

的方程为P=4cos8,求直线/被曲线C截得的弦长.

解因为曲线。的极坐标方程为p=4cos。，

所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.

因为直线/的极坐标方程为"sint-=2,