2020年数学中考压轴题专项训练：二次函数的综合、圆的综合（含答案）

2020年数学中考压轴题专项训练：二次函数的综合

1.如图，顶点为户(2,-4)的二次函数尸a/+6卢c的图象经过原点，点4(m,n)在该

函数图象上，连接4只OP.

(2)若N4即=90°,求点4的坐标；

(3)若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C,点/关于y轴的对称点为D,设抛物线

与x轴的另一交点为伉请解答下列问题：

①当m*4时，试判断四边形如3的形状并说明理由；

②当"V0时，若四边形必缈的面积为12,求点4的坐标.

解：(1);图象经过原点，

c=0,

:顶点为户(2,-4)

••・抛物线与x轴另一个交点(4,0),

将(2,-4)和(4,0)代入

.,.a=1,b=-4,

..•二次函数的解析式为-4x；

(2).:4APO=90°,

：.AP±PO,

'.'A(.m,m-4ni),

.5

"2'

・>哆-学；

(3)①由已知可得C(4-依/7),。(-m,〃)，B(4,0),

/.CD//OB,

■:CD=A,08=4,

二四边形。及力是平行四边形；

②:四边形必是平行四边形，/7<0,

A12=4X(-加，

・"=-3,

・>(1,-3)或4(3,3).

2.在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象经过点C(0,1),当x=2时，

4

函数有最小值.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线/,y轴，垂足坐标为(0,-1),抛物线的对称轴与直线/交于点4在x轴

上有一点B,且AB=如,试在直线/上求异于点A的一点Q,使点。在△48C的外接圆

上；

(3)点"(a,6)为抛物线上一动点，点〃为坐标系中一定点，若点户到直线/的距离

始终等于线段融的长，求定点"的坐标.

解：(1)...图象经过点C(0,1),

C=1,

.•.对称轴x=2,

:.k=-1,

•••抛物线解析式为y=^~/1;

4

(2)由题意可知力(2,-1),设8(方，0),

,:AB=M，

：.(t-2)2+1=2,

t=1或t=3,

：.B(1,0)或8(3,0),

­­B(1,0)时，AB、C三点共线，舍去，

：.B(3,0),

-AC=2\p2,,BC=7If),

:./BAc=qy,

.•.△腕为直角三角形，8C为外接圆的直径，外接圆的圆心为8c的中点4-1),半

径为画，

2—

设。(X,-1),则有(X--|)2+亨1)2=(零)2,

・・・X=1或x=2(舍去)，

「.0(1,-1)；

(3)设顶点"(?心VP(a,6)为抛物线上一动点，

12

:・b=­a-/1,

4

•・."到直线/的距离等于以/,

/.(/77-a)2+("-b)2=(ZH-1)2,

(2/7-2/77^2)>-2/7-3)=0,

2

•・.3为任意值上述等式均成立，

2+2n-2m=0

••产，

(m=2

此时m+n-2/7-3=0,

..•定点〃(2,1).

3.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于48两点，与y轴交

于点C,已知宓=2代，tanN080=玄

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,若点。是直线宛上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线

8c于点。，作PEL8c于点、E,当点户的横坐标为2时，求△吟的面积；

（3）若点"为抛物线上的一个动点，以点〃为圆心，灰为半径作（DM当。〃在运动过

程中与直线8c相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）.

解：(1),:BX2代tan

：.0B=4,00=2,

，点8为(4,0),点C为(0,2)代入户。中,

c-2,b=~~,

2

・

..y_---1X2+,-3x+2Q；

22

(2)当x=2时，y=3,

:.P(2,3),

YB(4,0),C(0,2),

，直线8c的解析式为y=-犷2,

:勿平行于y轴,

：.D(2,1),

：.PD^2,

；须平行于y轴，

APDE=NOCB,

■：PE±BC,

:.NPEg/coB=qy,

：.^PDE^/\BCO,

J.△噜与△SCO的面积之比是对应边PD与8c的平方，

•••△8C0的面积为4,

，△烟的面积是4X

(3)过点"作MGLBC干点、G,过点“作MH〃AB于■煎H,

.MHBC_后

一而a3,

••.O"与直线8c相切，

:.M45,

设点M（x,--1-x+-1-x+2）,

如图1,设〃（户5,-多及）代入y=--^•/2,

・”=-1或x=5,

A4/（-1,0）或"（5,-3）；

如图2,点“（X-5,-yA-^-A+2）代入y=-//2,

・..方程无解，

综上所述："（7,0）或"（5,-3）.

4.如图，抛物线y=a/+(4a-1)x-4与x轴交于点48,与jz轴交于点C,旦0X20B,

点。为线段/上一动点(不与点8重合)，过点。作矩形好"，点〃、尸在抛物线上，点

£在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当矩形期/的周长最大时，求矩形的的面积；

(3)在(2)的条件下，矩形DEFH不动,将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线

与矩形曲/的边交于点〃、N,连接欣N.若帆恰好平分矩形。十”的面积，求m的值.

解：(1)在抛物线/=@必+(4a-1)x-4中,

当x=0时，y=-4,

：.C(0,-4),

：.0X4、

•：OC=2OB,

：.OB=2、

：.B(2,0),

将8(2,0)代入y=a/+(4a-1)x-4,

得，a=~2

抛物线的解析式为y=lx2+x-4；

(2)设点。坐标为(x,0),

•••四边形际/为矩形,

:,H(x,/x+x-4),

•・j=#+x-4=/(A+1)2-y,

・..抛物线对称轴为x=-1,

...点〃到对称轴的距离为户1,

由对称性可知DE=F42/2、

，矩形田7/的周长/2(2A+2)+2(-■1y-x+4)=-x+2^2=-(x-1)2+13,

...当x=1时，矩形田7/周长取最大值13,

此时//(1,-1•),

5

:.HF=2K2=4,04台

5

•0•S矩形DEFH-HF，DH=4X—=10；

(3)如图，连接EH,DF,设曰/与灰交于点G,

过点G作仍的平行线，交ED干M,交所于点乂则直线腑将矩形9/的面积分成相

等的两半,

由⑵知，抛物线对称轴为x=-1,〃(1,--1),

勺，

设直线班的解析式为y=kKb,

将点8(2,0),H(1,--1)代入,

2k+b=0

得，＜5,

k+b='T

解得，，k=7,

b=-5

..•直线的的解析式为y=-|x-5,

•••可设直线利的解析式为/=%〃,

将点(7,-§)代入，得〃=?,

44

..•直线制的解析式为y=4^4>

24

当y=0时，x=--j-,

:.M(-0),

■：B(2,0),

将抛物线沿着x轴向左平移卷个单位，抛物线与矩形。的边交于点队N,连接欣

N,则例恰好平分矩形。斤7/的面积，

5.如图1,在平面直角坐标系中，已知直线/,：y=-卢6与直线/?相交于点A,与x轴相

交于点8,与y轴相交于点C,抛物线y=a》+6/c(a丰0)经过点0、点力和点8,已知

点4到x轴的距离等于2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点，为直线右上方抛物线上一动点，当点〃到/?的距离最大时，求点，的坐标；

(3)如图2,。为射线》的一个动点，点户从点。出发，沿着"方向以每秒、而个单位

长度的速度移动，以■。为边在"的上方作正方形“神，设正方形此物V与重叠的

面积为S,设移动时间为1秒，直接写出S与1之间的函数关系式.

•・•点/的纵坐标为2,

「.2=-A+6,

.,.x=4,

「J(4,2),

当y=0时，-2~6=0,

・・x=6,

:.B(6,0),

16a+4b+c=2

把》(4,2),B(6,0),0(0,0)代入尸得，36a+6b+c=0,

.c=0

'一1

解得：\,

14

抛物线的解析式为y=-N+当；

42

(2)设直线。的解析式为尸公，

・・・2=4上

•・.直线/2的解析式为y=^x,

设点，的坐标为(m,-?+*),

如图1,过，作HG〃/轴交直线/2于G,

G(ot,ni),

HG^—^-ni+—fn——ot———■«/+z?z———(ot-2)+1,

42244

当m=2时，HG有最大值，

，点〃的坐标为（2,2）；

（3）当0＜。＜匏，如图2,过4作/£L必于£,

0A=442+22=tanNAOE=

YNMV』/80?=90°,

AHON=NAOE,

.'.tanZM2//=tanZ＞40£=^^-=—,

ON2

■.•04ON^N4PM=A，

：.NH=NM=^-t,

s=/x吗＞后t）倔=学&

当■|vt《2时，过点户作ZW，x轴，

'：』P0H=/QON,0p=合,

：.0P=0N=NM=PM=代务

：.NQ=&.t,

可求P（2t,t）,

直线心的解析式为y=-2/5大

：.G（5t-6,-5f+12）,

.-.GP=3y[s（2-t）,AP=2匹-炳t,

：.MG^6辰-3后t,

•：NMGK=AAGP,

:.XGPAsXGKM、

：.加/（=^^~1：-2届,

3

-'-5=（V5t）2-yxV5tx2^t-lx（芈—遥）x（6代-3疝）=-

乙乙乙J

115,

上士F+40t-30；

12

当2VtW多寸，可求4（-t,2t）,

则直线函的解析式为尸#

：.K(4-—t,—t+2),

33

,:NQ=

•0-0(0,t),

s=(V5t)2--1xV5tx^-fx（逐一2门+冬1^-2遥）X辰t=-

—t2+10t；

12

6.如图1,小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角

各剪去一个边长为*助的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为yew.

(1)y关于x的函数表达式是y=4f-24M+36x,自变量x的取值范围是0<x<3；

(2)为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：

①列表：请你补充表格中的数据：

x00.511.522.53

y012.51613.58.2.50

②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中(如图3)描出相应的

占・

，、、、，

③连线：用光滑的曲线顺次连结各点.

(3)利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12加，估计正方形边长x的取值范围.(保

留一位小数)

解：⑴y=x(6-2x)2

=4?-24X2+36X(0<X<3),

故答案为：y=4/-24f+36x,0<x<3；

(2)①在y=4x3-24f+36x中，

当x=1时，y=16；当x=2时，y—8,

故答案为：16,8；

②如图1所示,

③如图2所示,

(3)由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过124,正方形边长x的取值范围大概

为0.4WxW1.7.

7.定义：若函数/=寸+—+£；(c片0)与x轴的交点48的横坐标为4,xB,与y轴交点的

纵坐标为及，若与x&中至少存在一个值，满足/=%(或为=必)，则称该函数为友好

函数.如图，函数y=/+2x-3与*轴的一个交点力的横坐标为3,与y轴交点C的纵坐

标为-3,满足4=%，称v=?+2x-3为友好函数.

(1)判断y=f-4/3是否为友好函数，并说明理由；

(2)请探究友好函数y=/+6广。表达式中的6与c之间的关系；

(3)若是友好函数，且NX必为锐角，求c的取值范围.

解：（1）y=W-4x+3是友好函数，理由如下：

当*=0时，y=3；当y=0时，x=1或3,

.•.y=f-4/3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3,

.'-y=x-4A+3是友好函数；

（2）当x=0时，y=c,即与y轴交点的纵坐标为c,

y=X+bx^c是友好函数，

，x=c时，y=0,即（c,0）在J/=*2+6;<+C上，

代入得：0=。2+6>。，

/.0=c（c+>1）,

而c#=0,

b^c——1；

（3）①如图1,当。在y轴负半轴上时，

由（2）可得：c=-6-1,即y=f+6x-6-1,

显然当x=1时，y=0,

即与x轴的一个交点为（1,0）,

则N〃Z7=45。，

，只需满足N&;0<45°,BPB0<C0

eV-1；

②如图2,当。在y轴正半轴上，且力与8不重合时,

...显然都满足为锐角，

c>0,且c：#1；

③当C与原点重合时，不符合题意,

(1)求证：抛物线与x轴有两个交点.

(2)设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x,,x2(其中x,>x2).若t是关于a

的函数、且t=2々-不，求这个函数的表达式；

(3)若a=1,将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点4B.平移后如图所示，过《

作直线4C,分别交y的正半轴于点户和抛物线于点C,且“占1.〃是线段/C上一动点，

求2的例?的最小值.

(1)证明：△=/>2-4a6=[-3(a-1)]2-4a(2a-6)=a?+6>9=(尹3)2,

；a>。,

(K3)2>0,

•••抛物线与x轴有两个交点；

(2)解：令y=0,则“-3(a-1)A+23-6=0,

，x=3(a-l)±(a+3)=2或]R,

2aa

va>0,

1--<C1§,M>*2,

••*1=2,x2=1

3

t=ax9-xi=a(l--)-2,

t—a-5；

(3)解：当石=1时，则｝=寸-4,

向上平移一个单位得3,

令y=0,则W-3=0,

得x二士在，

0),B(M，0),

\'OP=\,

・・・直线AC：y=Xr-x+l»

o

联立:卜r近3'+।,

2

Ly=x-3

*=-百■

解得，

丫1=0

即0),

--AO^^/3>

在RtZ\47Q中,

KQ2<)P2=2'

过C作轴，过的作能，翻于G,过。作C〃_Lx轴于”,

;av〃x轴，

：.AGCM=APAO,

又,：/A0P=aCG49Q0,

：.^AOP^/\CGM,

.OP=GM=1

''AP_CM

•••2MB+MC=2=2(MBMM),

••,8至IJC〃最小距离为CH,

7

•••阶6漱的最小值为67/的长度5，

o

1A

r.2僻仪的最小值为寺.

9.如图，抛物线M=a/+c的顶点为K且抛物线与直线力=左什1相交于48两点，且点

»在x轴上，点8的坐标为(2,3),连结4ABM.

(1)a=1,c=-1,k—1(直接写出结果)；

(2)当必＜%时，则x的取值范围为-1VxV2(直接写出结果)；

(3)在直线羔下方的抛物线上是否存在一点。，使得△?!妙的面积最大？若存在，求出

△48户的最大面积及点P坐标.

解：(1)将点8的坐标(2,3)代入外=1得:

3=2A+1

解得：k—y

J^=A+1

=0

令y2得：0=/1

解得：x=-1

.\A(-1,0)

将4(-1,0)、B(2,3)代入乂=#+c得：

f0=a+c

\3=4a+c

解得：a=1,c=-1

故答案为：1,-1,1；

(2)U：A(-1,0)、B(2,3)

・•.结合图象可得：当时，则x的取值范围为-1VxV2

故答案为：-1VxV2；

(3)在直线48下方的抛物线上存在一点只使得△48。的面积最大.

如图，设平行于直线出=/1的直线解析式为：治=/。

2

y2=x-lz

由•J得：F-1=x+b

y3=x+b

-x-1-b=0

令△=()得：1-4(-1-Z?)=0

解得：b=-?

c

•-x-x-1+—=0

4

解得：X]=X2=J-

•p(A_3)

2,4，

••・当点夕坐标为弓，--1)时，"酎的面积最大

设/=x-3与X轴交于点C,则点C坐标为：鸟0),过点C作物四

44

由平行线间的距离处处相等，可知线段切的长度即为△/lb0的高的长度

•%=/1与X轴所成锐角为45°

.△”»为等腰直角三角形

■AC^--(-1)=—

44

五匹8

-A(-1,0)、B(2,3)

•1-AB=V(2+1)2+32=3&

•••△我的面积为：3<3亚<2坐=三

288

•••在直线48下方的抛物线上存在一点匕使得△力加的面积最大;△力的的最大面积为三;

O

10.如图，在平面直角坐标系-中，一次函数/=看*-2的图象分别交X、y轴于点4B,抛

物线户c经过点48,点夕为第四象限内抛物线上的一个动点.

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)如图1所示，过点P作初〃j轴，分别交直线力8x轴于点C、D,若以点P、B、C

为顶点的三角形与以点AC、〃为顶点的三角形相似，求点户的坐标;

(3)如图2所示，过点尸作于点。，连接户8,当△阳。中有某个角的度数等于N

以8度数的2倍时，请直接写出点户的横坐标.

解：⑴令x=0,得y=/x-2=-2,则8(0,-2),

令y=0,得0=千-2,解得x=4,则/I(4,0),

把4(4,0),B(0,-2)代入y=/+6/c(a中0)中，得:16+4b+c=0

c=-2

b=

解得：T,

c=~2

抛物线的解析式为：尸寸-袅-2；

(2)・・•加〃y轴,

/.ZADC=9Q°,

'//ACD=/BCP,

・•・以点/、B、C为顶点的三角形与以点4C、。为顶点的三角形相似，存在两种情况:

①当NC/=90°时，如图1,过P作々ky轴于乂

ZAB（hZPBN=ZABOZOAB=90°,

：.4PBN=/OAB,

Y4AOB=,

:,△AOBSRBNP、

-4

...坦0_,即27~=—,

BNPN-2-（x7x-2）x

解得：毛=0（舍），*2=卷

（方-5）；

②当NC%=90°时，如图2,则8和0是对称点,

当y=一2时，x--^-x-2=-2,

7

毛=0（舍），x2=—,

-2）;

综上，点/的坐标是（"I，-5）或（J-2）；

（3）-：OA=A,08=2,NAOB=90°,

:BOA*45°,

NBQP*2/B0A,

・•・分两种情况：

①当NQW=2N"8时，如图3,取四的中点£连接作，过夕作轴于G,交直线

：./OAB=/AOE,

・•・N0EB=2/OAB=ZPBQ.

'：OB//PG.

，40BE=4PHB,

:.△BOESRHPB、

.OB_BE

"PH"BH1

由勾股定理得：彳8=*7的=2为其

：・BE=

,/GH//OB,

.OGBH日口x_BH

.前次，BP7W

设。(x,x-~^x~2),则〃(x,x-2),

17

:、PH=—x-2-(x2-----x-2)=-V+4x

22

2二遍

-x2+4x^5，

2

解得：*1=0,*2=3,

..•点户的横坐标是3；

②当NBP0=2N0AB鸵,如图4,取四的,中点E,连接0E,过户作QG_Lx轴于G,交直

线AB于H,过。作OF1.于F,连接AP,则NBPgZOEF,

图4:

I

设点户(大，t2-yt-2),51IJH(t,t-2),

17

：.PH=—t-2-(t2-—1-2)=-t2+4t,

22

\'0B=4,00=2,

：•BC=2yf^,

.・.OE=BE=CE=E0'=0A♦0B=卷篝_=^^

aBC2遥5

EF=JOE2"OF2T(1)2-(普)2=等，

z町=/AB・PQ=/PH・OA,

：.2向0=4(-t2+4t),

9

P0=

V5

•：20FE=/PQB=9Q",

：./\PBQ^/\EOF,

-2t2+8t3^5

.PQEF即屈__T__3

.BQ-0F，~BQ~~"4>/5-I

-8t2+32t

:.BQ=

3V5

•:B@+pG=pg、

.z-8t2+32ts2,/-2t2+8ts2-.2/27n,n\2

■,(3V5)+L7F-)t+(t-yt-2+2)'

44#-388tt'803=0,

(2t-11)(221-73)=0,

解得：t,=5.5(舍)，t2=-^|；

综上，存在点儿使得△在8。中有某个角的度数等于N以8度数的2倍时，其户点的横坐

标为3或1最

22

11.如图，抛物线尸“+取->|■过点4(-次，0)和点8(料，2),连结力8交y轴于点

C.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点尸在线段48下方的抛物线上运动，连结AP,BP.设点。的横坐标为m,XABP

的面积为s.

①求s与〃的函数关系式；

②当s取最大值时，抛物线上是否存在点。，使得S*m=s.若存在，求点。的坐标；若

不存在，说明理由.

备用图

解：(1)将点4(-V310)和点8(次，2)代入尸a/+6x-，

3a-V3b-y=0

得，，

|3a+73b-y=2

(2)①设直线48的解析式为/6,

将点力(-V3.0)，8(如，2)代入，

-V3k+b=0

得,

V3k+b=2

解得，4=返，6=1,

3_

二直线四的解析式为尸返户1,

3

如图1,过点户作X轴的垂线，交于点K

s=-^-PM（x§一x）

=/x（-^■裾+擀）X（

=_』迎

22

...S与勿的函数关系式为S=-国+盟2；

22

②在s=-叵"冬巨中，

22

当m=0时，s取最大值3返,

2

."(0,-同

：.CP^—,

2

•••可使直线48向上平移3个单位长度，得直线/=乂3/4,

3

请补充完整.

(1)自变量X的取值范围是全体实数，X与JZ的几组对应值列表如下：其中，x0

X...-35-2-1012_53...

~2

y......3§m-10-105_3...

17

(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分；

(3)观察函数图象，写出一条函数的性质：图象关于y轴对称(答案不唯一)；

(4)观察函数图象发现：若关于x的方程/-2|x|=a有4个实数根，则a的取值范围

故答案为：0.

(2)根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示.

(3)观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x>1时，y随x的增大而

增大，③函数有最小值-1.

故答案为：图象关于y轴对称(答案不唯一)；

(4)由函数图象知：..•关于x的方程必-2|*|=^有4个实数根，

的取值范围是-1<aV-0,

故答案为：-1Va<0.

13.如图，已知抛物线尸必”^经过4(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点户是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点户的坐标和周长

最小值；

(3)为抛物线上一点，若易的=8,求出此时点。的坐标.

解：(1)二.抛物线y=x2+b/c经过力(-1,0)、B(3,0)两点,

.(l-b+c=0

19+3b+c=0

解得上2,

Ic=-3

..・抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)连接8c交抛物线的对称轴与点尺

y=x-2x-3,

：.C(0,-3),

..,点A与点8关于x=-对称，

：.PA=PB.

:.A丹PXCRPB.

...当点户、C、8在一条直线上时，/对PC有最小值.

又.:8C为定值，

，当点夕、C、8在一条直线上时，△4%的周长最小.

BG^V32+32~3V2,AX112+§2=y^,

•••△月4。的周长最小值为：47*■仇=百五3匹,

设直线BC的解析式为y=k/b,贝IJJ衣+b=0,

(b=-3

解得：k=\,b=-3.

••・直线制的解析式为y=x-3.

将x=1代入y=x-3得：y--2,

...点户的坐标为(1,-2),

即当点P的坐标为(1,-2)时，△2IC的周长最小.最小值为。好3加；

(3)设。(*,y),则/%=/1加3=23=8,

'''\y\=4,

.'.y=±4.

①当y=4时，X2-2X-3=4,解得：x、=l-2近,x?=1+2近,

此时。点坐标为(1-272.4)或(1+272,4)；

②当y=-4时，-2x-3=-4,解得*3=%=1；

此时。点的坐标为(1,-4)；

综上所述，。点坐标为(1-272,4)或(1+272.4)或(1,-4).

14.如图，直线y=-与x轴交于点B,与y轴交于点D,抛物线y=-f+b/c与直线y

=-A+5交于8,。两点，点C是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点的是直线能上方抛物线上的一个动点，其横坐标为创过点”作x轴的垂线，交

直线劭于点儿当线段户附的长度最大时，求〃的值及融的最大值；

(3)在抛物线上是否存在异于8、。的点。，使△放。中做边上的高为3&,若存在求

出点。的坐标；若不存在请说明理由.

故点反。的坐标分别为(5,0)、(0,5),

则二次函数表达式为：y=-将点8坐标代入上式并解得：6=4,

故抛物线的表达式为：y=-X+4A+5；

（2）设〃点横坐标为加（加＞0）,则户（m,-m5）,M（/77,-射+4/5）,

PM=-Z+4m5-（-/5）=-海+5勿=-（m-—）?+,

24

・二当勿=个时，夕加有最大值

（3）如图，过。作0G〃y轴交放于点G,交x轴于点£,悴QH1BD千H,

设0(x,-?+4/5),贝I]G(x,-A+5),

OG=|-x+4x+5-(-A+5)|=|-x+5x|,

•・•△80，是等腰直角三角形，

:・NDBg450,

：・4HGQ=/BGE=45°,

当△8ZM中劭边上的高为3&0寸，即QH=HG=3版,

•R4&X3&=6,

|-/+5x|=6,

当一寸+5x=6时，解得x=2或x=3,

:・Q(2,9)或(3,8),

当-X2+5X=-6时，解得X--1或x=6,

：,Q(-1,0)或(6,-7),

综上可知存在满足条件的点。，其坐标为4(2,9),02(3,8),4(-1,0),04(4,

-5).

15.如图1,在平面直角坐标系中，二次函数"=2必”户上的图象与X轴交于8(-1,0)、

2

C(3,0)两点，点4为抛物线的顶点，尸为线段4C中点.

(1)求a,6的值；

(2)求证：BFLAC.

(3)以抛物线的顶点4为圆心，4尸为半径作。4点F是圆上一动点，点户为£C的中点

(如图2)

①当面积最大时，求多的长度；

②若点"为妙的中点，求点"运动的路径长.

解：(1)抛物线的表达式为：y=a(A+1)(x-3)=a(x2-2x-3),

即-3a=2返，解得：a=-返，

22

抛物线的表达式为：y=-&舟晅

22

故。=火；

(2)点力的坐标为：(1,2次)，

则48=48=m=4,点尸是4C的中点，AF^AO=2,

:.BFLAC；

(3)点C(3,0),点8(-1,0),

设点E(m,ri),

由4£=2,根据两点间距离公式得：(m-1)2+(〃-2畲)2=4…①,

则点户（野，料点附（野，亍），

设：*=里与贝U/=4x-1,n=4y,即点"（x,y）,

44

将m、〃的值代入①式得：（4x-1），（4y-2百）2=4,

整理得：（x-二）2+（y-返）2=二，

424

即点M到定点（义，返）的距离等于定值

422

故点"运动的轨迹为半径为4■的圆，

则点〃运动的路径长为（5）2n=2.

2020年数学中考压轴题专项训练：圆的综合

1.如图，点。为Rt△四C斜边上的一点，NC=9Q°,以"为半径的。。与宓交于点伉

与AC交于点E,连接4。且47平分NBAC.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若N班/60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留n)

F0平分N84C,

：./BAA/DAC,

•：AO=DO,

：.4BAD=/ADO,

：.ACAD=Z.ADO,

：.AC//OD,

•：AACD=9Q°,

ODA.BC,

，8C与,。0相切；

⑵解：连接叫ED,

ZBAC=6Q°,OE=OA,

••.△"E为等边三角形，

.'.ZAOE=60°,

AZADE=30°,

又..'N%g/Nfi4C1=30°,

:.NADE=NOAD,

：.ED//AO,

..•四边形"。是菱形，

：.OE1.AD,且AM=DM,EM=OM,

彳/花。=5sAAODi

••・阴影部分的面积=s扇形眦=处一七吸二口.

3603

2.如图，已知48是。。的直径，4C是。。的弦，点£在。。外，连接C£,NX州的平分线

交。。于点D.

(1)若NBCE=NBAC,求证：C£是。。的切线；

(2)若"。=4,80=3,求弦47的长.

(1)证明：连接OC,

••.48是。。的直径，

・・.N4绻=90°,

・・・N4?/N&?0=90°,

'：OA=OC,

NOAC=ZOCA,

V/BAg4BCE、」

・•・4ACO=ZBCE,

：・/BC曰■/BCO=9G,

：.ZOCE=90°,

二优是。。的切线；

(2)解：连接劭，

・・・N/I笫的平分线交。。于点D,

4ACD=/BCD,

"'-AD=BD>

AD=BD,

•.Y8是。。的直径，

:.NADB=%0°,

..・△力。8是等腰直角三角形，

：.AB=^[^D=4M，

,:BX3,

-'-AC=VAB2-BC2=V(4V2)2-32=V29-

3.如图，是。。的直径，平分/谢尸，交。。于点£过点£作直线切，〃；交力尸的

延长线于点D,交的延长线于点C.

(1)求证：3是。。的切线；

(2)NQ45°,。。的半径为2,求阴影部分面积.

(1)证明：连接。£

\'OA=OE,

/.NOAE=ZOEA,

又Y/DAE=NOAE,

OEA=/DAE,

：.0E//AD.

：.NADC=/OEC,

,:ADICD,

：,ZADC=9Q°,

故N庞C=90。.

/.OE-LCD,

・・・切是。。的切线；

(2)解：・・・NS=45°,

••・△0比是等腰直角三角形,

：,CE=0E=2,/建=45°,

・•・阴影部分面积=S△族-S扇形薇X2X2-45•兀X22=2-2Lt

23602

4.如图①，8C是。。的直径，点4在。。上，4〃8c垂足为0,弧〃■二弧/团分别交

AD、4;于点尸、G.

5

4f

图①图②

(1)判断476的形状，并说明理由；

(2)如图②若点£与点力在直径宓的两侧，BE、4c的延长线交于点G,初的延长线交

BE干息F,其余条件不变(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(3)在(2)的条件下，若8G=26,DF=5,求。0的直径8c.

解：(1)△7G等腰三角形；

理由：为直径，

：.ZBAC=90°,

：・/AB3/AGB=9。。,

'：AD1.BG,

/.ZADC=9Q°,

：・/ACKNDAC=9C,

•・.弧〃^弧力昆

・•・/ABE=4ACD,

：、£DAC=/AGB、

，FA=FG、

・•・△7G是等腰三角形；

(2)成立；

•・・8C为直径，

NBAC=90°

・•・N48日■N4G8=90°

YADLBC,

：.ZADC=90°,

:•NACM/DAC=M,

•・•弧府=弧他

4ABE=4ACD,

：.^DAC=Z.AGB,

：.FA=FG,

...△RIG是等腰三角形；

(3)由(2)知NDAC=NAGB,

且/班多/，仁90°,NAB命NAGB=9Q°,

：.NBAD=4ABG,

：.AF=BF,

又.：AF=FG,

."为8G的中点

•..△盟G为直角三角形，

：.AF=BF=—BG=\3,

2

-：DF=5,

.-.AD=AF-DF=13-5=8,

...在Rt△故尸中，BD=V132-52=12，

...在Rt△砌中，^=V122+82=4^.

NABC=2DBA,NBAC=NADB=90°

：.iXABC^!\DBA,

.BC=AB

''BA-DB*

.BC_4/l3

"477312'

：.BC=—,

3

的直径止=%.

3

5.如图，已知矩形4仇力的边48=6,BC=4,点、P、。分别是8c边上的动点.

(1)连接加、PQ,以a。为直径的。。交〃于点£

①若点E恰好是第的中点，则NQPB与N/0"的数量关系是/QPB=22AQP；

②若8£=灰―3,求加的长；

(2)已知为0=3,80=],。。是以"。为弦的圆.

①若圆心。恰好在州边的延长线上，求。。的半径；

②若。。与矩形力仇沙的一边相切，求。。的半径.

解：(1)①••.点£恰好是4。的中点，NA8g90：

：.BE=AE=EQ,

：.ZEAB=ZEBA,

:.NQEB=2/EBP,

•••以户。为直径的。。交加于点E,

：.ZOPB=ZQEB,APBE=Z.POA,

:./QPB=24AQP、

故答案为：』QPB=2/AQP；

②)YBE=BQ,

：.ZBEgNBOE,且ZBPgNBEO,

：.ABPQ=^BQE,

tanNBPgtanZBPO,

.ABBQ

"BQ"BP'

.23

■"3"BP"

:.BP=—

2

(2)①如图1,过点。作OE±PQ,

:.BP=3,

PO=VPB2+BQ2=V9+I=Vib»

•：0E1PQ,

；.QE=PE=^^~,

2

♦.F。5/户比=毡=密,

PQOQ

,1叵

/.00=5,

的半径为5；

②如图2,若。。与8c相切于点0,连接0。，过点。作如，户。于£,

2

..•%是。。切线,

001.BC,aABI.BC,

：.OO//AB,

：.ZOQP/BPQ、

cosZOOP^cosZBPO,

.QEPB

"OQW

VIo

3

OQ-VIo

：・00=力

如图3,若。。与丝相切于点夕，连接“;过点。作如，户。于£,

..Y8是。。切线，

.-.OP±AB,S.AB±BC,

：.OP//BC,

：.』OPQ=/PQB、

.".cosNOPQ=cosNPOB,

.PEBQ

"OP'PQ

VIo

，亍二1,

OP二尺

，0—5；

如图4,若。。与初相切于点叫连接的00,0P,延长觥7交仇?于尸，悴OH'AB千H

点，

「・0F1.BC,

■:4A=4B=4AMg40FB=/0HB=9C,

・•・四边形OHBF是矩形,

：.OM=AH,OH=BF,

,：O6=OF+F",游=麻+印，

：・0©=（6-00）2+（8尸-1）2,4=8产+（例-3）2,

・m2脏

3

若图5,若。。与3相切于点乂连接物00,OP,延长NO交BC干E,悴OHLBC千H

同理可得：游=户冉便，凶=M+而，

：.Od=(3-OH)2+(4-00)2,0(^=0/7+(4-00-1)2,

：・0g