2020年重庆中考数学几何专练之折叠50汇编

如果别人思考教学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

折叠练习（50道含解析）

一.填空题（共50小题）

1.如图，在△ABC中，CA=3,CB=4,A8=5,点。是BC的中点，将△ABC沿着直

线EF折叠，使点A与点。重合，折痕交A8于点E,交4C于点F,那么sin/BE。的

2.如图，矩形A8CQ中，P为A8上一动点（P与4,B不重合）将4BPC沿CP翻折至

△BiPC,BPi与AO相交于点E,CBi与4。相交于点F,连接BB\交AO于°,若EQ

=8,QF=5,BC=20衣，则8尸的长=,折痕CP的长=.

3.如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接8G并延长，交

CD于点H延长EG交4。于点尸连接FH若4F=ED=6c〃?则/的长为cm.

4.如图，已知。是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与。重合，折

痕为EE点£尸分别在AC和BC上，如果4）：DB=1：2,则CE：CF的值为.

A

5.如图，在矩形ABC。中，AB：BC=3：4,点E是对角线8。上一动点（不与点B,。重

合）将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点4,R的对应点G,F分别在直线AD与

BC上，当ADEF为直角三角形时，CN：BN的值为.

6.如图，已知正方形ABC。的边长为6,E为BC的中点，将ZkABE沿直线AE折叠后，点

B落在点尸处，AF交对角线于点G,则FG的长是.

7.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别为BC,C。的中点，连接4E,BF交于点、G,将

△BCF沿8尸对折，得到aBP凡延长FP交84延长于点。，若PF=2,则°8+近4E

55

的值为.

8.如图，正方形ABCD的边长为6,点、E为BC的中点，点F在AB上，点G

是月。边上一点，将△CDE沿OE折叠得△(:'DE,将△AFG沿尸G折叠，点4的对应

点A'刚好落在。C'上，贝hosNDA'G=

9.四边形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=5,AO=8,P是A。边上的一点，连结

PC,将ZVIBP沿直线BP对折得至N点恰好落在线段PC上，当NBCP=ND时，

10.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在8c上的点N处，BM为

折痕，连接MN；再将CC沿CE翻折，使点。恰好落在MN上的点尸处，CE为折痕，

连接EP并延长交8M于点P,若A£>=8,A8=5,则线段PE的长等于.

11.如图，在矩形ABCQ中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MNL

8C交于点仞，交BD于点E,以MN为对称轴折叠矩形ABNM,点A、B的对应点

分别是G、F,连接E/\DF,若AB=6,BC=8,当△OEk为直角三角形时，CN的长

12.如图，在四边形ABC。中，ZC+ZD=210°,E、尸分别是A。，BC上的点，将四

边形CCEF沿直线EF翻折，得到四边形C'D'EF,C/交A。于点G,若△EFG有

13.如图，在菱形4BCD中，NABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上

的点G处（不与8、D重合）折痕为若BC=4,BG=3,则GE的长为.

14.如图，在△ABC中，NACB=90°,点D,E分别在AC,BC±,且NCDE=NB,将

△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点尸处，CF与DE交于点

G.下列结论：

①AB=2CF；②若/A8C=50°,则/AFZ）=60°；

③若AB=4,则Z）G・GE=1；

④若AC=4,BC=3,则比=空

12

其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号•）

15.如图，△ABC中，ZACB=90°,/A=30°,BC=1,CD是aABC的中线，E是

AC上一动点，将△AE£＞沿E£＞折叠，点4落在点尸处，E尸线段CD交于点G,若

△CEG是直角三角形，则CE=

E

G

16.如图，在菱形ABCQ中，tanA=£M,N分别在边AQ,BC±,将四边形AMNB沿

3

MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D,延长NF交DC于点H,当

时,HC

的值为_______

17.如图，菱形ABC。的边长为6,ZA=60°,点。在A8上，且80=2,点P是CD上一

动点，将四边形BCP。沿直线0P折叠，点B的对应点是E,连接。E,当DE的长度最小

时，CP的长为.

18.如图在等边aABC中，。、E分别是BC、AC上的点，且AE=C£>,AD与BE相交于F,

CF±BE.将△A8F沿A8翻折，得△ABG,M为BF中点，连接GM,若AF=2,则4

BGM的面积为.

19.已知，如图，在矩形4BCD中，48=8,BC=12,点E为线段AB上一动点（不与点A、

点B重合）先将矩形ABC。沿CE折叠，使点8落在点尸处，CF交A。于点H,若折叠

后，点8的对应点尸落在矩形A8CO的对称轴上，则4E的长是.

20.如图，在菱形A8CD中，tanA=2,M,N分别在边A£>,BC±,将四边形AMVB沿

3

MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D,当时，典的值为

CN

21.已知正方形A8CE）中，AC、BD交于点O,强=工，连4E,将△AOE沿AD翻折，得

DE2

△AQE',点尸是AE的中点，连CF、DF、E'F.若QE=2五,则四边形CDE'尸的

面积是.

22.如图：菱形A8CO中，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠，点8对应点为点尸恰

好使CFLA。，点P为CD边上一点,直线BA,PF交于点G,若CE=4&,BE=5,

DP=2,则AG的长为.

C

23.如图，已知菱形ABCQ中，NB=60°,E,F分别为边AC,边BC上一点，将四边形

ABFE沿EF折叠得四边形EFGH若GHLBC垂足为点/£）E+CF=A⑷UJ2^=

BF

24.如图，在菱形ABC。中，AB=2,/BAO=120°,点E,尸分别是边AB,8c上的动点，

沿EF所在直线折叠aBE凡使点8的对应点8始终落在边CD上，则点A,E间的距离d

的取值范围是.

25.如图，在菱形ABCO中，AB=5,tanO=3,点E在BC上运动（不与8,C重合）将

4

四边形AEC。沿直线AE翻折后，点C落在C'处，点。'落在。处，C'D'与48交于

点F,当C'。LAB时，CE长为.

26.如图，四边形ABC。是矩形，AD=5,48=」互，点E在CO边上，DE=2,连接BE,

3

F是BE边上的一点，过点F作于G,连接DG,将△AZJG沿DG翻折的△PDG,

设EF=x,当P落在△砂C内部时（包括边界）x的取值范围是.

27.在边长为质的正方形ABC。中，点E是边CQ上一点，连接AE,过点。作DWLAE

于点M,连接例C.把△DMC沿DM翻折，点C的对应点为C',DC交AE于点P,

=1,则△PMC的周长为.

28.如图，已知正方形ABCD的边长为4,E为对角线AC上一点，连接DE,作EF_L£>E

交BC于点F,且CF=」2,把△AOE沿。E翻折得到△△'DE,边A'D交EF、AC分

5

29.如图，等腰RtZ\ABC中，AC=BC,/ACB=90°,以BC为底边作等腰△QCB,DC

=DB,CD与AB交于E,将△CCB沿QC折叠，点8落到点F处，腾尸。刚好经过点

A,班阳，分别交AC于G交CD于H.在下列结论中：①NCBG=30°；②△FQB

是等腰直角三角形；③E4=FG；④SZM8C+SAADE=SMC8；®BH=CE+^CG.其中正

确的结论有..（填写所有正确的序号）

30.如图，平行四边形48co中，多点B作于点E,过点E作于点尸，与

CD的延长线交于点G,连接8G,且BE=8C,BG=5，NBGF=45°,EG=3,若

点M是线段B尸上的一个动点将尸沿ME所在直线翻折得到△MEF'连接CF',则

CF,长度的最小值是

31.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2.对折矩形纸片A8CQ,使A。与BC重合,

折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在E尸上的点N,折痕BM与EF相

交于点Q;再次展平，连接BN,MN,延长MN交BC于点G.

有如下结论：

①NA8N=60°；②AM=1；③AB_LCG；④△8MG是等边三角形；⑤P为线段8M上

一动点，，是BN的中点，贝IJPN+PH的最小值是次.其中正确结论的序号是.

32.在直角坐标系中，矩形0A8C的边OA、0c在坐标轴上，已知B(4,2)M、N分别是

边0C、0A上的点.将△0MN沿着直线MN翻折，点0的对应点是。'.若0'落在

△0AC内部，过。'作平行于x轴的直线交C0于点E,交AC于点F,若。'是EF的

中点，则。'横坐标x的取值范围为.

33.如图，把正方形纸片对折得到矩形A8C。，点E在BC上，把沿EO折叠，使点

C恰好落在A。上点C处点MN分别是线段AC'与线段BE上的点把四边形ABNM沿

MW向下翻折，点A落在OE的中点A'处.若原正方形的边长为12,则线段MN的长

为_________

34.如图，一张矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=6,点E、F分别在边AZ)、BC上，将纸

片ABCO折叠，折痕为EF,使点C落在边4。上的一点4处，点。落在点G处，有以

下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分NQC”；③线段8F的取值范围是旦W

BFW3；④当点”与点A重合时，EF=3匹.以上结论中，正确的是.(填序

号•)

35.已知如图，在矩形ABCD中，点E是4。的中点，连结BE,将△ABE沿着BE翻折得

到AFBE,EF交BC于点、H,延长BF、DC相交于点G,若OG=16,BC=24,则

36.脚形ABC。中，AB=3,点P在对角线AC±,直线/过点P,且与AC垂直交边于

点E.

(1)如图1,若直线/过点8,把AABE沿直线I翻折，点A与矩形A8CQ的对称中心

0重合，求BC的长；

〈2)如图2,若直线/与AB相交于点尸且AP=」XC,设40的长为x,五边形BCDEF

4

的面积为S,

①求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

②探索：是否存在这样的x,使得以A为圆心，以x-旦长为半径的圆与直线/相切？若

4

存在，请求出X的值若不存在，请说明理由.

40=6,点E是对角线AC上一点，连接DE,过点E作E尸

LED,连接。F交AC于点G,将△EFG沿EF翻折，得到△EFM.连接。M.交EF于

点M若AF=2.则的面积是.

38.如图，有一直角三角形纸片ABC,NACB=90°,ZB=30°,AC=\,COLAB于点

D.F,G分别是线段A£>,5。上的点，H,I分别是线段AC,BC上的点，沿HF,GI

折叠，使点A,B恰好都落在线段CO上的点E处.当FG=EG时，AF的长是,

39.如图，把更形A8C£>沿EF,G"折叠使电8C落在4。上同一点P处，NFPG=90°,

则矩形4BC。的面积等于

40.如图，在RtZ\A8C中，NACB=90°,BC=6,点、D为阖边A3上的一点，连接CD,

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

将△BCD沿CO翻折，使点B落在点E处，点尸为直角边AC上一点，连接。凡将4

ADF沿。F翻折，点A恰好与点E重合.若Z)C=5,则AF=.

41.如图，矩形纸片A8CD中，AB=Scm,BC^Ucm,将纸片沿EF折叠，使点A落在8c

边上的4'处，折痕分别交边A3、4。于点尸、E,且4尸=5.再将纸片沿EH折叠，使点

。落在线段E4'上的处折痕交边CD于点“连接F。则F。的长是cm.

42.如图，在矩形ABC。中，AB=3,点E为边CD上一点，将△AOE沿AE所在直线翻折，

得至|「△AFE,点尸恰好是BC的中点，“为4尸上一动点，作于N,贝IjBM+AN的

最小值为.

43.如图，矩形ABCZ)与菱形EFG”的对角线均交于点。，且EG〃8C,将矩形折叠，使

点C与点。重合，折痕MN恰好过点G,若AB=V^，EF=2,N”=120°,则DN的长

为.

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

44.如图，在。A8CD中，AB=6,8c=6,ZD=30°,点E是AB边的中点，点尸是

8c边上一动点，将△BEF移沿直线EF折叠，得到AGE凡当尸G〃AC时，B尸的

长为.

45.如图，将矩形ABC。沿对角线所在直线翻折后，点A与点E重合，且EO交BC于点

F,连接AE.如果tan/Z)FC=2,那么段的值是.

46.如图，将一张矩形纸片4BC。沿对角线8。折叠，点C的对应点为C',再将所折得的图形

沿EF折叠，使得点。和点A重合.若A8=3,BC=4,则折痕EF的长为.

47.如图所示，在菱形纸片4BCD中，AB=4,/加。=60°,按如下步骤折叠该菱形纸片：第

一步：如图①，将菱形纸片ABCD折叠，使点A的对应点A'恰好落在边CD上，折痕EF

分别与边A。、AB交于点E、F,折痕EF与对应点A、A'的连线交于点G.

第二步：如图②，再将四边形纸片BC4'尸折叠使点C的对应点C'恰好落在4'尸上，

折痕MN分别交边C。、BC于点M、N.

第三步：展开菱形纸片ABCD,连接GC',则GC'最小值是

48.如图，在边长为5的正方形48C£>中，点E在边BC上，连接4E,过O作DFV/AE交BC

的延长线于点F,过点C作CGLOF于点G,延长AE、GC交于点”，点尸是线段。G上的

任意一点（不与点。、点G重合）连接CP,将ACPG沿CP翻折得到△CPG,连接AG.若CH

=1，则4G长度的最小值为.

49.如图，在△晶C中，ZABC=90°,AB=6,BC=8.点M、N分别在边AB、BC上,

沿直线MN将AABC折叠点8落在点P处如果4尸〃BC且4P=4那么BN=

50.如图，在矩形ABC。中，E为CQ上一点，若△4£>£沿直线AE翻折，使点。落在BC

边上点。处.尸为4。上一点，且。尸=C。'，E尸与8。相交于点G,AD'与BD相交于点

H.D'E//BD,HG=4,则.

一.填空题（共5（）小题）

1.如图，在AABC中，CA=3,CB=4,AB=5,点。是BC的中点，将△ABC沿着直线

EF折叠，使点A与点。重合，折痕交AB于点E,交AC于点F,刃陷sinZBED的值为

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

204

325

【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEP经△AEF,根据勾股定理的逆定理得到AABC是

直角三角形，根据相似三角形的性质得到旦，BH=£根据勾股定理即可得到

55

结论.

【解答】解：•••△。后尸是4人石尸翻折而成,

：./\DEF^/\AEF,

：.AE=DE,

；C4=3,CB=4,AB=5,

：.CA2+CB2=32+42=52=AB2,

：./\ABC是直角三角形，

•.,点。是BC的中点，

:.CD=BD=2,

过。作DHLAB于H,

:.NBHD=NC=90°,

,:NB=NB,

.BD_DH_BH_2

"AB=AC=BC5"

:.DH=aBH=旦

55

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

."4=卫，

5

设AE=Z）E=x,则EH=AL-X,

5

在Rt^DEH中，由勾股定理得，DH，EH?=D产,即（旦）?+（互-幻2=f,解

55

得冲毁，

34

，sin/BE£）=^=5=j21,

DE65325

故答案为：—.T

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理、相似三角

形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

2.如图，矩形A8CO中，P为AB上一动点（尸与A,B不重合）将4BPC沿CP翻折至

△BiPC,BP\与A。相交于点E,CB\与A£＞相交于点F,连接BB\交A。于。，若EQ

=8,。尸=5,8c=20衣，则的长=5,折痕CP的长=2?/访..

【分析】如图，作NEFBi的平分线交EBi于7,连接7。.首先证明FB\=FQ=5,由4

FTQBAFTBi，推出TB|=T。，NTQF=NTBiF=90°,设TBi=TQ=x,利用勾股定理

求出E8”TB\,FT,再证明△PCBs^TfBi，推出匹_=@_,由此求出PC即可.

TFFB1

【解答】解：如图，作NEFB1的平分线交EBi于T,连接TQ.

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

:四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,AD//BC,

NFQBi=/CBBi，

由翻折可知：CB=CB\,ZCB,P=90°,

；.NCBBi=NCBiB,

:./FQB\=/FB\Q,

：.FBi=FQ=5,

；FQ=FBi，ZTFQ=ZTFBi，FT=FT,

：./\FTQ当AFTBi，

:.TBi=TQ,NTQF=NTBiF=90°,设TBi=TQ=x,

在中，EBI=JEF2_B]F2=、]32_52=12,

在RtA£Tg中，'：E'f=EQ1+TQ1,

222

：.(12-x)=8+X,

解得x=殁，

3—

.•.m=¥，口=同而了=旧7^?^=%亘

'：AD//CB,

:.NBiFE=NFCB,

,:/PCB=:FCB,NBIFT=L/BIFE,

22

：.NPCB=NBiFT,

:NPBC=/FBiT,

.MPCBSATFBI,

•PC=BC

TFFBi

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

.忆_20衣

',ViTT-，

3

•PC=20^26

^3~

故答案为a侬

3

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，

等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形

解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

3.如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接8G并延长，交

CD于点H延长EG交AD于点F连接尸H若AF=FZ)=6a〃则FH的长为—mcm.

【分析】先证明RtA4BF^RtAGfiF,得到/4FB=NGFB,FA=FG,再证明RtAFGH

^Rt/XFDH,得到NGFH=NDFH,于是/BFH=NBFG+NGFH=1乂180°=

2

90°,根据△ABFSAOFH,列出比例所以△ABFS^DF”，

DFFH

求出"/=3A/5.

【解答】解：如图，连接BF.

•••四边形ABCD是正方形，

AZA=ZC=90°,AB=BC^AF+FD=12cm.

由折叠可知，BG=BC=l2cm,NBGE=NBCE=90；

：.AB=GB.

在RtAABF和RtAGBF中

BF=BF,AB=GB

.♦.RtAABF丝RtZXGBF(HL)

:.NAFB=NGFB,FA=FG,

又,.,AF=F£>,

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

：.FG=FD.

同理可证Rt/\FGH^Rt/\FDH,

:.NGFH=NDFH,

；./BFH=NBFG+NGFH=X18O°=90°,

2

NAFB+NDFH=

90°.又；/AFB+NABF=

90°,

，NABF=

ZDFH.又；/A=

ZD=90°,

:.XABFsXDFH,

•ABBF

••----=-------->

DFFH

在RCABF中，由勾股定理，得

.12675

••:r-------,

6FH

：.FH=3>/5.

故答案为3代.

【点评】本题考查了三角形折叠问题，熟练运用三角形全等和勾股定理、相似三角形的

性质是解题的关键.

4.如图，已知。是等边4ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与。重合，折

痕为所，点E、F分别在AC和BC上，如果4）：DB=1：2,则CE：CF的值为4：5.

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

A

'E

B/FC

【分析】首先证明表示出ED,DF,E4,DB,AD,BF,再利用相似

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

三角形的性质解决问题即可.

【解答】解：与关于EF对称,

：.ZEDF=ZECF=60°,EC=ED,FC=FD,

*：ZBDF+ZEDF=ZBDE=ZA+ZDEA,

AEDF=ZA=60°,

：.ZBDF=ZDEAt

：.XADEs△BFD,

设AD=xfCE=DE=a,CF=DF=b,

VAD：BD=1：2,

•(QB=2x,

：.AB=3x=AC=BC,

.'.AE=3x-a,BF=3x-b,

*：XADEs△BFD,

.ED=EA=AD

••市DB而，

...a_=3x-a_x

b2x3x-b

由前两项得，2ax=b(3x-a)

由后两喷曷(3x-aX3x-Z?)=2x2,即：

3x(3X-Q)-b(3X-Q)=2^,

A3x(3x-a)-2ar=2x2,

•*Cl^—X，

5

.a_3x-a=4

**"b"2x-T，

ACE：CF=4：

5.故答案为4：

5.

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

5.如图，在矩形A8CD中，AB-.BC=3：4,点E是对角线8。上一动点（不与点8,。重

合）将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A,B的对应点G,F分别在直线AO与

BC上，当ADEF为直角三角形时，CN：BN的值为空-Z-.

~T25

【分析】分两种情况进行讨论：当/Z）FE=90°时，△£>£：/为直角三角形；当NEDF=

90°时，△DEF为直角三角形，分别判定得到空=型，进而得出CF,

CDCB

根据线段的和差关系可得CN和BN的长，于是得到结论.

【解答】解：TAB：BC=3：4,

设AB=3x,8c=4x,

•.•四边形ABCD是矩形，

：.CD=AB=3x,AD=BC=4x,

分两种情况：

①如图所示，当N£>FE=90°时，△£>£：尸为直角三角形，

ZCDF+ZCFD=NEFN+NCFD=9Q",

NCDF=NEFN,

由折叠可得，EF=EB,BN=FN,

：.NEFN=NEBN,

:.NCDF=NCBD,

又,：NDCF=NBCD=90°,

:ADCFsABCD,

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

・CF—CDg|[CF-3x

CDCB3x4x

；.CF=2t,

4

4x^~x7

:・FN=NB=-----^-=乌

28

:.CN=CF+NF=Xr+Xr=-^r,

488

:.BN=

：.CN：BN="：Xr=25：7.

88

②如图所示，当NE£)F=90°时，△QEF为直角三角形,

•?ZCDF+ZCDB=ZCDF+ZCBD=90°,

：.ZCDF=ZCBD,

又,：NDCF=NBCD=90°,

:ADCFSABCD,

・CF=CDppCF3x

CDCB3x4x

：.CF=^,

4

.…=吐=%，

28

：.CN=NF-CF=^-x-当=口，

848

：.CN：BN=1：25,

综上所述，CM8N的值为空或

7

L,故答案为：空或工.

25725

【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，

解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列式计算.解题时注意分类思想的运

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

用.

6.如图，已知正方形ABC。的边长为6,E为BC的中点，将zMBE沿直线AE折叠后，点

B落在点尸处，AF交对角线8。于点G,则FG的长是£.

-7-

【分析】延长AF,EF分别交CD于H,M,连接A例，根据折叠的性质得到A8=A尸，

N4BE=N4FE=90",根据全等三角形的性质得到DM=FM,设。M=FM=x,则CM

=6-x,EM=3+x,根据勾股定理得到DM=FM=2,根据相似三角形的判定和性质定理

即可得到结论.

【解答】解：延长AF,EF分别交CD于H,M,连接AM,

•••四边形ABCD是正方形，

：.AB=AD,/ABE=/AOC=90°,

•.•将aABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，

：.AB=AF,/ABE=NAFE=90°,

:.NADM=NAFM=90°,AF=AD,

'：AM=AM,

：.RtA/lDM^RtAAFM(HL)

：.DM=FM,

V£为BC的中点，BC=CD=6,

：.CE=3,

设DM=FM=x,则CM=6-x,EM=3+x,

;EM2=CM2+C片,

：.(3+X)2=32+(6-X)2,解

得：X=29

：.DM=FM=2,

•：/MFH=/ECM=90°,NHMF=NCME,

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

△例CE,

.MF_=FHJH

••丽而福

.2FHMH

••--=-----=-----f

435

：.MH=2.5,»7=1.5,

.""=6+1.5=7.5,DH=4.5,

'JAB//DH,

：.△AGBS/\HGD,

.ABAG

,•丽商

.6_AG

*'T57.5-AG'

;.AG=毁，

7

：.GF=AF-AG=基，

7

故答案为：

7

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾

股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别为BC,CO的中点，连接AE,BF交于点、G,将

△BCF沿8F对折，得至也8尸凡延长FP交BA延长于点。，若则QB+运4E

55

的值为三.

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

【分析［作QTLBF于T.解直角三角形求出AE,BF,再利用相似三角形的性质求出

BQ即可解决问题.

【解答】解：作QHBF于T.

,：E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,

：.CF=BE,

在△ABE和△SC尸中，

'AB=CB

<ZABE=ZBCF=90°>

BE=CF

：./\ABE^/\BCF(SAS)

:.NBAE=NCBF,

：.ZCBF+ZBEA=90°,

:.NBGE=90°,

：.AE±BF,

由翻折的性质可知：CF=FP=2,

5

；.AB=BC=±

5

A吁但/产+电2=等，

VGT1BF,

J?

：.BT=TF=y-^-

5f

VZQTB=ZC=ZABC=90°,

；・NQBT+NFBC=90°,ZFBC+ZBFC=90°,

・・・NQBT=NBFC,

,△QTBsACBF,

经过大海的一番磨砺,卵石■才变得更加美丽光滑。

.QB=BT

*,BFCF'

V5

.QB5

"2?5'~2.)

T-5

，QB=1,

【点评】本题考查翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解

直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.

8.如图，正方形ABCD的边长为6,点E为BC的中点，点F在AB上，AF=2BF,点G

是40边上一点，将△€1£)£沿。E折叠得△(7'DE,将△AFG沿FG折叠，点A的对应

【分析】畦。。交A2于K,连I^FK,分别过H,E作DK的垂线，垂足分别为M,N,禾1|用

正方形的性质及轴对称的性质，先证RtZXEBK丝RtZ\£CK,推出8K=CK,在RtAADK

中，利用勾股定理求出BK,CK的长，进一步求出FK的长，在RtAKF/V与KAD

中，利用三角函数求出FN的长，在RtAMW中，求出cosZA'FN的值，证NZWH与

ZA,FN相等即可.

【解答】解：如图，延长DC如B于K,麒EK,分别过H,F作DK的垂线，垂足分另।的

M,N

•.•四边形ABCD为正方形，

.•./A=NB=/C=90°,A8=8c=6,

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

,:E,尸分别为BC,A8的中点,

：.BE=EC=^X6=3,

2

'：AF=2BF,

，AF=4,BF=2,

由翻折知，△£>(7£■丝△OCE,△AFH丝△A'FH,

.•.ZECD=ZC=90°,ZA=Z//A'F=90°,AF=A'F=4,CE=CE=BE=3,DC=

DC=6,

：.ZB=ZECK=90°,

又,：KE=KE,

：.Rt^EBK^Rt/\ECK(HL)

：.KB=KC,

设KB=KC=x,

在RtzXAQK中，AD=6,AK=6-x,DK=6+x,

'：DK2=AD2+AK2,

A(6+X)2=62+(6-X)2,解

得，x=—,

2

：.BK=CK=^-,

2

：.DK=DC+KC=6+3=耳FK=BF-BK=2-&=工，

2222

在Rt/XKNF与RtZ\K4£>中，

即FN=6,

T运

~2~2~

解得，FN=2,

5

'：ZDA'H+ZFA',ZFA'N+Z/VFA'=90°,

:.NHA'D=NNFA，,

2_

在RtZXEA'N中，cosZA'FN=_Z!L=-L=_L,

A'F410

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

即COSND4'H=L,

10

故答案为工.

10

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解宜角三角形等，解题

关键是能够作出适当的辅助线，构造和相关角相等的角.

9.四边形ABCO中，N4=90°,AD//BC,AB=5,AD=S,P是4。边上的一点，连结

PC,将AIBP沿直线BP对折得到△A8P,A点恰好落在线段PC上，当/BCP=ND时,

/XPBC的面积为裁

【分析】如图，作CHJ_A£＞于H.证明CB=CP=C£),设C8=CP=CZ)=x,证明PH=CH,

设PH=OH=y,想办法构建方程组即可解决问题.

：.NAPB=NPBC,4DPC=ZBCP,

■:NAPB=NBPC,ZBCP=ZD,

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

:.NCBP=NBPC,NCPD=ND,

:.CB=CP=CD,设CB=CP=CD=x,

；CHLPD,CP=CD,

:.PH=CH,设PH=DH=y,

,.•NA=/A8C=/4，C=90°,

四边形ABCH是矩形，

：.AH=BC=x,AB=CH=5,

-x+y=8

则有22,

[x-y=25

解得X=幽，

16

•••&MC=LPC*BA'=工义至X5=性矩，

221632

故答案为誓.

32

【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会

利用参数构建方程组解决问题.

10.如图，在矩形纸片A8CD中，将AB沿8M翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为

折痕，连接MN；再将CC沿CE翻折，使点。恰好落在A/N上的点尸处，CE为折痕，

连接E尸并延长交8M于点尸，若AE>=8,AB=5,则线段PE的长等于型.

【分析】根据折叠可得A8NM是正方形，CO=CF=5,ND=NCFE=90°,ED=EF,

可求出三角形尸NC的三边为3,4,5,在中，由勾股定理可以求出三边的长,

通过作辅助线，可证AFNCSAPGF,三边占比为3：4：5,设未知数，通过PG=HN,

列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长.

【解答】解：过点P作PGLFN,PHLBN,垂足为G、H,

由折叠得：ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5,

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

CD=CF=5,ND=NCFE=90°,ED=EF,

；.NC=MD=8-5=3,

在RtZ\FNC中，F^=^52_32=4,

.\MF=5-4=1,

在RMiMEb中，设EF=x,则ME=3-xf由勾股定理得，

12+(3-X)2=f,

解得：x=2

3

•：NCFN+NPFG=90°,NPFG+/FPG=90°,

:ZNCs/XPGF,

：.FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5,

设FG=3m,则PG=4m，PF=5tn,

:・GN=PH=BH=4-3/w,HN=5-(4-3m)=1+3〃?=PG=4用，解

得：m=\,

：.PF=5m=5,

：.PE^PF+FE=5+^-=^~,

33

故答案为：20

3

A______________4一里____D

BHNC

【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知

识的综合性较强，是有一定难度的题目.

11.如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点