2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（五）（含解析）

2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（五）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.[2020♦安徽省部分学校高三联考]已知集合4={可822},3={也2—3犬>0},则AC1B=

（）

A.。B.{小>3或xW—2}

C.{x\x>3或x<0}D.{x|x>3或x<l}

2.[2020,惠州市高三调研考试]有下列三个命题：

①“x>2”是“x2—3x+220”的充分不必要条件；

②若pAq为假命题，则p,9均为假命题；

③对于命题p：/+x+l<0,则女弟p：f+x+lNO.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.0

3.[202。长沙市高三年级统一模拟考试]已知a为锐角，且cosa（l+/tan10。）=1,则a

的值为（）

A.20°B.40°C.50°D.70°

DEC

AB

4.[2020・长沙市高三年级统一模拟考试]如图，在正方形ABCD中，E是OC的中点，点

F满足C下=2而,那么E万=（）

C.；A万一|AZTD.1A~B+^AD

5.[2020•福建省高三毕业班质量检测]等差数列{斯}的前"项和为SI,若4=4,$3=104,

则00=（）

A.10B.12C.16D.20

6.[2020•福州市高三毕业班适应性练习卷]若a=（g）多b=log3e,。=（1）一；，贝"（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a

7.[2020•陕西彬州第一次质监]如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶

图，第1次到第14次的考试成绩依次记为4,A2,…，Aw.如图2是统计茎叶图中成绩在一

定范围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是（）

/输入A/2/3,…914/

791

86385

939884

1031

4

图1图2

A.7B.8C.9D.10

8.［2020•惠州市高三调研考试］在长方体ABCD-A18G。］中，A8=2,BC=\,A4i=l,

E,尸分别为棱45,Gd的中点，则异面直线A尸与BE所成角的余弦值为（）

A.0B.当

D.乎

中一4一”

9.［2020•河南省豫北名校高三质量考评］函数/）=左二;■的大致图象是（）

10"2020・山西省六校高三第一次阶段性测试］采购经理指数（简称PMI）是国际上通行的宏

观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%

以上，通常反映制造业总体扩张，低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图是2018年10

制造业PMI（经季节调整）

A.大部分月份制造业总体衰退

B.2019年3月制造业总体扩张最大

C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长

D.2019年10月份，PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点

11.［2020•广东省联考］甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为m再由

乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为从其中。，66{1,2,3,4,5},若|a一例W1,就称甲、

乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）

12.［2020•安徽省示范高中名校高三联考］将函数y=sin（2x—：）的图象向左平移左个单位长

度，所得图象对应的函数在区间（一，"，〃?）上无极值点，则〃?的最大值为（）

▲兀e兀-37r—兀

A.gB.4C.yD，2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在题中的横线上.）

13.［2020•福建省高三毕业班质量检测］复数z的共扼复数z满足（2+i）z=|3+4i|,则z=

14.［2020•福州市高中毕业班质量检测］设数列｛斯｝满足ai=l,a“+i=4a“，则aia2-an

15.［2020•广州市高三年级调研检测］已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体

积为甯，三视图如图所示，则其侧视图的面积为________.

16.［2020•浙江绍兴联考］已知椭圆G：，"2『+）‘2=］（0<〃?<］）与双曲线C1.“2/一y=］（〃>0）

有共同的焦点，为，e2分别为Ci，C2的离心率，则e「e2的取值范围是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）［2020•福州期末］在△ABC中，AC=1,BC=市.

（1）若A=150°,求cosB；

（2）。为AB边上一点，且BO=2AD=2CD,求△ABC的面积.

18.（12分）

AD

B底…4

E

[2020•广东佛山一中期末]如图，在四棱锥E-ABC。中，平面A8C£>_L平面BCE,四边形

ABC。为矩形，8C=CE,点F为CE的中点.

(1)证明：AE〃平面BOF.

(2)点M为C。上任意一点，在棱AE上是否存在一点P,使得尸ML8E?若存在，确定点

P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

19.(12分)[2020•石家庄市摸底考试]某中学计划开设足球选修课，为了了解学生是否对足

球运动感兴趣，用简单随机抽样方法调查了该校100名学生，调查结果如下：

有兴趣没兴趣合计

男生481260

女生162440

合计6436100

(1)估计该校学生对足球感兴趣的人数比例；

(2)根据以上数据判断是否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”.

(3)根据⑵的结论，能否提出更好的调查方法来估计该校学生中对足球感兴趣的人数比

例？请说明理由.

附：f(2=空、小,不，其中n=a+b+c+d.

(。十b)(c+a)(a+c)(b十a)

庙)0.0500.0100.001

履3.8416.63510.828

20.(12分)[2020•长沙市四校高三年级模拟考试]己知点P为圆f+/=4上一动点，PQ_Lx

轴于点Q,若动点M满足0法=乎。万叵。0(0为坐标原点).

(1)求动点M的轨迹E的方程；

(2)过点(1,0)的直线/i，/2分别交曲线E于点A,C和B,D,且证明：焉+焉F为

|八5\DU\

定值.

21.(12分)[2020•长沙市四校高三年级模拟考试]已知函数＜x)=sinx—xcosx—，，f'(x)

为7U)的导数.

⑴证明：/⑶在区间(0,写上不存在零点；

(2)若外)＞依一xcosx-%3-1对尤仁(0,郢亘成立，求实数&的取值范围.

选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分.)

22.(10分)[2020.黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]在直角坐标系X。)，中，倾斜角

fx=2+/cosa

为a的直线/的参数方程为《厂(t为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

U=V3+fsina

轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p2=20COS0+8.

(1)求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C交于A,B两点，且|AB|=4，L求直线/的倾斜角.

23.（10分）［2分0•山西省阶段性测试］已知实数a,b,c满足B+2"+>=4.

求证：（l）b（a+c）W2；

⑵〃反式邛^.

2021年（老高考）数学（文）模拟试卷（五）

1.答案：B

解析：A={x|%<—2或x22},5={小<0或x>3},所以AG3={x|xW—2或%>3},故选

B.

2.答案：B

解析：不等式/—3工+220,解得或xWl,所以由工>2可以推出A2—31+2,0,但

由f—3x+2N0不能推出x>2,所以“第>2”是“x2—3x+220”的充分不必要条件，①正确；

若p/\q为假命题，则p,q至少有一个为假命题，故②错误；命题p：BXER,X^+X+1<0

的否定^p：VxWR,f+x+120,③正确.故选B.

3.答案：B

,-c-rzB小sin10。+cos10。2sin40°

斛析：由cosa(l+小rt〃n10°)=1可传cosaX2f------]()。---------=1，所以cos“X一$]0。

小cos10°sin80°2sin40°cos40°……立

所以cosa-o2sj4()。=cos40,又a为锐角，所以a=40,故

=1,2sin402sin40°n

选B.

4.答案：C

解析：因为E为。C的中点，所以亍.因为C万=2F万，所以cF=|cH.所以

-*,-~*1­►2-*1―*2_*1-*2~*■

EF=EC+CF=2^DC+2CBB=/AB~^ADf故选C.

5.答案：B

13X12

解析：解法一设｛斯｝的公差为d,贝!|5i3=13f/i+—―J=104,Q4=4i+3d=4,解得

4

ai=0,d=y所以mo=〃i+9d=12,故选B.

解法二因为Si3=~~@=104,如=4,所以。10=12,故选B.

解法三因为S13=一=104,所以47=8,又〃,4〃7,。10成等差数列，。4=4,所以

a10=12,故选B.

6.答案：B

厂2L<1yl11

解析：。=(>/2尸=2'>2°=1,c=[-J=e3>23—a,所以\<a<c,又b=log3e<log33

=1,故c>a>b.故选B.

7.答案：B

解析：该程序框图的作用是求14次考试成绩大于等于90分的次数.根据茎叶图可得超

过90分的次数为8,故选B.

8.答案：A

解析：如图，在长方体ABCD-AiBiGOi中，连接CF,AC,EF,AD\,贝《BC〃BiG〃EF,

且BC=BC=EF,所以四边形BCFE为平行四边形，所以BE〃CF,则异面直线AF与BE所

成的角，即直线4尸与CF所成的角，即/AFC或其补角.设ZAFC=e.AC^AB2+BC2^y[5,

CF=、CG+CIF2=巾,<f=、4。彳+£>|尸=木.在44(7丁中，由余弦定理可得，cos0=

AF2+CF2-AC23+2-5…

-2ATCF-=2X小义啦=°'故选A-

9.答案：C

4~x—4^4A--4-x贝X)的定义域为卜在工4},所以函数/(X)

解析：因为.大-刈=4『_]=一代一]=一次X)，

为奇函数，排除D；H1)=3。，排除A；当X-+8时，氏r)-+8,排除B,故选C.

10.答案：C

解析：根据折线图可知，大部分月份制造业总体衰退，A正确；2019年3月PMI为50.5%,

制造业总体扩张最大，B正确；2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,

C错误；2019年10月PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点，D正确，故选C.

11.答案：C

解析：任意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件有5X5=25种，“心

有灵犀”的情况包括:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),

13

(5,4),(5,5),共13种，故他们“心有灵犀”的概率为石，故选C.

12.答案：A

解析：解法一将函数)=5皿(2%—3的图象向左平移点个单位长度后对应图象的解析式为

y=sin2(x+；)—彳=sin(2x+3由此函数在区间(一,%"?)上无极值点，所以0<2,后科=肯，所

以OonW：.因为一所以一2〃?+江2x+：<2m+：,由知一一£,京)，所

以2机所以相爱.所以0<加《，则"?的最大值为周故选A.

4Zooo

解法二将函数y=sin(2x—：)的图象向左平移:个单位长度后对应图象的解析式为y=

sin2(x+；)—；=sin(2x+/).又此函数在区间(一机，加)上无极值点，所以函数在(一加，zn)上单

调，故0<2根W彳=看所以则排除C,D；当加=彳时，y=sin(2x+：)在(一小，⑺上

有极值点，故排除B.故选A.

13.答案：2+i

解析：解法一由(2+i)z=|3+4i|,得z=)=?：.一gn-2—L所以z=2

+i.

解法二设z=a+hi(a,b£R),则(2+i)(a—历)=5,即2a+h+(a-2b)i=59所以

｛2a+b=a-2b=O,解得｛a=b=\,所以z=2+i.

14.答案:2"("F

解析：因为0=1,an+l=4a,„所以数列｛内｝是以1为首项，4为公比的等比数列，所以

斯=4"一|,所以ma2a3,…X4X42X->-X4nl=4l+2'"…

15.答案：6

解析：画出正三棱锥的直观图如图所示，其中尸是等边三角形ABC的中心，E是正三棱

锥外接球的球心，G是BC的中点.根据正三棱锥的几何性质有。F,平面ABC.由俯视图可知,

等边三角形A8C的边长为2小，所以△4BC的高为2小Xsin60。=3.根据等边三角形的几何

性质可知，等边三角形ABC的外接圆半径|以|=1X3=2.设正三棱锥的外接球半径为R,

R3=吟，解得R=4,故|£>£1=|E4|=R=9,所以班=标后面=\件-4=3所以正三

531

棱锥的高|OR=|£D|+|EQ=2+E=4,即侧视图的高为4,所以侧视图的面积为］X3X4=6.

16.答案：(19+°°)

解析：椭圆C：/n2x2+y2=l(0<w<l),即了+)2=1,则有/—j—=仕］一忌

m2\nv

双曲线C2：n2^2—/=l(n>0),即十一)2=],可得&2=，\%—=d1+层,

n2\j

由题意可得!-1=*+1,即〃2=昌?，

(1—m2)2

贝ije\-C2=yl1-m2-^1+rr='

1—2m2

可令f=1—2/n2,0<f<l,

(1—zn2)21+r刈

即加2=]3—」t，则

1—2"P>23

则可得的取值范围是(1,+°°).故填(1,+°°).

17.解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及题设得音\r为=肃n工r，

故sin8=sir?Go。，解得sin8=若,

易知0。<8<30。,所以cos8=今早.

(2)解法一设A£>=CD=x(x>0),则BD=2x.

在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABACeosA,即7=9『+1-6xcosA.①

在等腰△ACO中，有8$4=篇==②

联立①②，解得x=l.

所以△4C£»为等边三角形，所以A=60。，

所以SAABC=^XA8XACXsinA=gx3X1Xsin60。=乎.

解法二设AO=x(x>0),则CO=x,BD=2x.

因为ZADC=n-NBDC,

所以cosZADC=-cosZBDC,

所以f=l,解得x=l.

所以△4CD为等边三角形，所以A=60。，

所以SAAfiC=|xA8XACXsinA=权3X1Xsin60。=乎.

18.解析：(1)连接AC,交8。于点O,连接OF,如图.

因为四边形A3CD为矩形，所以。为AC的中点.

又F为EC的中点，可知OF为4ACE的中位线，

所以O尸〃AE.

又。尸U平面BDF,AE&平面BDF,

所以AE〃平面BDF.

(2)当P为AE的中点时，有PM_L.BE证明如下.

如图，取8E的中点“，AE的中点P,连接。P,PH,PM,CH.

因为P为AE的中点，”为BE的中点，所以尸H〃AB.

又AB〃C。，所以P”〃CD,所以P,H,C,。四点共面.

因为平面A8C£>_L平面8CE,平面ABCDC平面BCE=BC,CDU平面ABC。，CDLBC,

所以CC平面BCE,

又BEU平面BCE,所以CDLBE.

因为8C=CE,H为2E的中点，所以C//_L8E,又CDCCH=C,C0U平面。P”C,CH

u平面DPHC,所以BEL平面DPHC.

又PA/U平面DPHC,所以BE_LPM.

19.解析：(1)调查的100名学生中有64名学生对足球感兴趣，因此估计该校学生对足球

64

感兴趣的比例为丽=64%.

(2)由2X2列联表可得

100X(48X24-16X12)2

K2==16.667>10.828,

64X36X60X40

所以有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”.

(3)由(2)的结论知，该校学生是否对足球感兴趣与性别有关，并且从样本数据能看出该校

男生与女生中对足球感兴趣有明显差异，因此在调查时，可先明确该校男生与女生的比例，

再把学生分成男、女两层，采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.

20.解析：⑴设M(x,y),P(xo,)，o),则。(坳0),

所以。M=(x,y),OP=(xo,yo),00=(为,0).

由。麻=坐。万+?2'0万，得｛x=坐ro+?),=坐yo，所以xo=x,涧=4家

因为\+M=4,所以5+5=1,

即动点M的轨迹E的方程为，+《=1.

(2)当直线AC的斜率为零或斜率不存在时，而[+亩万=1+4=适.

当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为y=k(x-\),

代入曲线E的方程]+]=1,得(3+4公•2—83》+4汜-12=0.

8乒4炉一12

设A(X1,力)，C(X2,)，2),则为+及=3+4标'*1X2=3+47'

____12(1+

所以C|=y]\+lc\x\-X2I=，(1+/)[3+、2)2—4汨对=3+4标,

1121+(—7)[12(1+011

因为直线BD的斜率为一%所以山。尸；(=4+3S'所以京+俞=

3+%-N

3+41，4+3F7

12(1+/)+12(1+/)=适，

117

邻上'而[+丽=五'是定值，

21.解析：⑴由题意得，(x)=xsinx—*=x(sinx-5),

令g(x)=sinx—%,则g'(x)=cosx—当xG(0,§时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当

xG仔，争时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

又g(0)=0,ge)=^_*>0,g(m=l—%0,

；.g(x)>0在(0,5上恒成立，故r(x)>0在(0,号上恒成立,

故/(x)在区间(0,§上不存在零点.

(2)由fix)>kx-xcos冗一/一1,得sinx>kx-1.

fTI\sinx+1

・・・xW(0,5)：.k<---,

.1+sinx…,xcosx-sinx—1

令心尸一--,则/a)=---------?---------,

令6(x)=%cosx—sinx—1,则当x£(0,时，m，(无)=一xsinx<0恒成立，

"(x)在(0,引上单调递减，.•.当xw(o,方时，皿x)<wi(0)=-l<0,

(x)<0在(0,号上恒成立，即心)在(0,号上单调递减，

.,.当xG(0,习时，©)>点)=3，

V，

.•M的取值范围是(一8,：,

22.解析：(1)因为直线/的参数方程为｛%=2+/cosay=，§+rsina«为参数),

所以当]=胃时，直线/的普通方程为x=2,

当时，直线/的普通方程为y一小=t〃na(x—2),即y=xtana+小一2t4na.

因为pZuf+y2,pcos6=x,/>2=2pcos(9+8,所以』+产=2》+8.

所以曲线C由直角坐标方程为f+9一2x—8