2021年上海高考数学冲刺直通车05平面向量（专练）教师版

考点05平面向量

一、单选题

1.(2019•上海市青浦高级中学高三月考)已知,、方均为单位向量，且万4=0,若付一司+但一2届|=3,

则信+2大的取值范围是()

A.[2>/2,3|B.[2\/2,2V3]C.[23]D.已2何

【答案】B

【分析】先由已知设各向量所对应的坐标，再结合向量模的几何意义，求出向量枳寸应点C的运动轨迹，再

结合点到直线及两点的距离求解即可.

【详解】解：因为示石均为单位向量，且五.万=0,所以设初=五=(1,0)，05=b=(0,l).

OD=2V2&=(0,2x/2)，0?=^=(x,y网|初户小十：=3,

由但一司的几何意义为点C到点4的距离，但一2磔|的几何意义为点C到点。的距离,

因为但一可+但一2侬|=3，即|CA|+|C£>|=3，又|而|=3，即点C在线段AD上运动,

设炉=-2a=(-Z0)则但+2可的几何意义为点E到点C的距离，

又4D所在的直线方程为y+2&x-20=0,则皿幻=J苜:;,=2衣,

点E到点C的最大距离为点(一2,0)到点(0,2企)的距离，即为J(-2)2+(2V2)2=2百，

即2e工仔+2目42通,故选：B.

【点睛】本题考查r向量模的几何意义及动点的轨迹问题，重点考查了点到直线及两点的距离，属中档题.

2.(2020•上海高三其他模拟)对于平面向量x和给定的向量a,记/(x)=x-2(x-a)a,若

/(4)•/(5)=鼠5对任意向量x，y恒成立，则〃的坐标可能是()

【答案】D

[解析]/(X)•f(y)=[x-2(x-a)a][y-2(y-a)a]=x-y-4(y•a)(a-x)+4(x-a)(y-a)a2.因为

.f(x)-f(y)=x-y,所以“2=只有选项D的向量的模等于1.所以选D.

【点睛】根据〃x)=x-2(x-a)a写出

f(x)-f(y)=[x-2(x-a)a][y-2(y-a)a]=x-y-4(y-a)(a•x)+4(x•a)(y-a)a2,因为

/(%>，(>)=心旷对任意向量恒成立，所以两式右边相等，可得Y=i.|0=1,验证四个选项即可.

3.(2020•上海高三专题练习)己知菱形ABC。的边长为2,N8AD=120°，点瓦/分别在边8C,Z)C上,

2

BE=2BC,DF=〃DC芾AEAF=1,CECF=-5,则4+〃等于()

Ic2

A.—B.-

23

57

C.—D.—

612

【答案】C

试题分析：益=120。,,■，而,而=|荏|,|万|，cos120。=-2.•.•砺=人数,

二荏=荏+入而，酢=乩乐+万二•通，屈=1,：(刀+人殉5运+殉=1，即

32A

27+24-24=2①，同理可得—;1-//=一二②，①+②得/+"=二，故选C.

236

考点：1.平面向量共线充要条件；2.向量的数量积运算.

4.(2020.上海高三专题练习)设A，B,C是平面内任意三点，则A8.AC=()

A.AB"+AC~-BC2B.^AB'+AC-BC^

1/1/

C.2+AC2\)-BC2D.2+AC2\j-BC2

【答案】B

【分析】由题意结合平面向量线性运算法则、数量积的运算律得BC2=A/+AC2_2AB-AC，即可得

解.

2

【详解】由题意8c2={^AC-AB^=AB1+AC1-2AB-AC,

1/222\

所以A8-AC=/（A8+AC-BC”故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、数量积的运算律的应用，关键是对条件合理变形，属于基础

题.

5.（2019•上海浦东新区•华师大二附中高三期中）已知所半径为20的圆C上的一条动弦，目所=4,

。为圆C内接正三角形边上一动点，则£0.0尸的最大值为（）

A.3B.2#>C.4D.2A/2

【答案】C

【分析】根据题意，设M是动弦EF的中点，判断/点的轨迹是以。为圆心、半径为2的圆，根据向量

的线性运算法则，表达EDDF，即可求解.

【详解】由题意，M是半径为2拉的圆。上的一条动弦，设M是动弦EF的中点,

r2-(^EF

则CMI=2.故M点的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆,

2

则EQ•OF=(MD—ME)(MF—MD)=MD(MF+ME)—ME.MF—MD

由M是族的中点，则ME+M/7：。，.•.儿忘=一胸

则石0・0尸=32_加02,由目=2,则E£).OP=4_Mo2

因为。足圆C内接正三.角形边上一动点，M是动弦所的中点,

所以当。取M点的轨迹与正三角形交点时，=0是最小值,

此时(ED-DFI=4故选：C

max

【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.

6.（2019•上海徐汇区•高三月考）设，是A5c的垂心，且3"A+4H8+5HC=0，贝iJcosZBHC的值

为()

V30V5

A.LRJ.-一c

IF5-4

【答案】D

3

【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得>/五，|“q=,由向量的夹角公式即可求解.

【详解】由三角形垂心性质可得，HA-HB=HB-HC=HC-HA，不妨设

HA-HB=HB-HC=HC-HA=x,：3乜4+4”6+5=0，

3HAHB+4HB2+5HCHB=0'A\HB\='同理可求得|罔=}]

HBHC屈

.・.cosZBHC

WK故选：D.

【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变

量表示出要求学生有较充实的知识储备，属于中档题.

二、填空题

7.(2018•上海市行知中学高三期中)已知两个不相等的平面向量a,用(aw0)满足网=2,且a与£-a的

夹角为120。,则的最大值是

【答案】更

3

【分析】如下图所示：先过同一起点做出两个不相等的平面向量a,运用平面向量的减法几何意义

做出〃-a,运用正弦定理、三角函数的性质可以求出忖的最大值.

【详解】如下图所示：设a=OA,£=O5WJAB=£—a,NBAO=60°,NBAC=120°,

且。8=2,0°<NB<120".

在A。中屈正弦定理可得：.="，即二=」£1_,解得

sinAOABsinZBsin60sinZB

|a|=生8sinNB,因为0°<ZB<120°,所以当NB=90°时，时有最大值，最大值为逋.

故答案为：巫

3

4

120*

O

【点睛】本题考查了平面向量模的最大值问题，考查了正弦定理的应用、正弦函数的最值，考查了平面向量减

法的几何意义.

8.（2019•上海市大同中学）已知向量满足同=1,忖=2,则,+耳+,一可的取值范围是

【答案】［4,26］

【分析】根据平面向量三角不等式可确定,+4+卜＞2同与卜+4+卜一司＞羽同时成立，由此可

得最小值；利用基本不等式可确定最大值，进而得到取值范围.

［详解］k+可+,—Z?3（a+Z?）+（a=2同=2

且,+司+卜_司寸4+/＞）_（4_/?）|=2|同=4

.•.卜+可+卜一可24（当且仅当a+6与a—/,反向时取等号）

1Q+b|+|a-a+b+a—b-/---------广

J一——2——=后而=布

二.卜+4+卜-4W2行（当且仅当卜+,=卜一同时取等号,此时“力=0）

综上所述：,+。|=,一人的取值范围为卜,2向，故答案为［4,2司

【点睛】本题考查平面向量三角不等式和基本不等式在求解最值上的应用，关键是能够通过不等式的知识

将问题转化为已知模长的运算问题；易错点是利用三角不等式时，忽略两个条件需同时成立，造成最小值

求解错误.

9.（2019.上海青浦区.高三一模）已知平面向量a、b、c满足|。|=1，时=|。=2,且6c=0,则当0W2W1

时，,一初—（1一4）d的取值范围是

【答案】［四-1,3］

【分析】设OB=b=(2,0).OC=c=(0,2).。4=a,00=d=4b+(1-2)c”根据向量减法的几何意义,

转化为求线段6c上的动点。与单位圆上的动点A之间的距离|D41的取值范围.结合图象观察可得.

5

【详解】因为|ZH=|c|=2,且b.c=O,所以可设OB=b=(2,0),OC=c=(0,2)，OA=q,

设00=1=力,+(1一㈤c,因为0W/LW1,所以点。在线段BC上，

因为|a|=1,所以点A在单位圆V+y2=1上,如图”

所以|a一九。一（1一4）c|=|04—。。|=|DA|,

则问题转化为求线段BC上的动点D与单位圆上的动点A之间的距离|DA\的取值范围.

由图可知:当8人BC,且A为线段OD与单位圆的交点时，|DA|取得最小值J5—1.当。与5(或C)重

合,A为单位圆与8(或>)轴的负半轴的交点时，|0Al取得最大值2+1=3.

所以|a—劝—(1—/l)c|的取值范围是[夜―1,3].故答案为：[啦—1,3].

【点睛】本题考查了平面向量减法的几何意义,解题关键是将|a--(1-©c|转化为两个动点之间的距离.

属于难题.

10.(2020・上海高三专题练习)一条河的两岸平行，河的宽度d=4h〃，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，

已知船的速度同=10h皿,水流速度同=2m〃7,.那么行驶航程最短时，所用时间是(/?).(附：76-2.449,

精确到0.01»

【答案】0.41

6

【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度V必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度,

从而可求出航行时间.

【详解】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度V必须垂直于对岸，

如图指：|v|=^|vj--|v2|-=V%（km/!i）>

所以，=&=-^=一=0.41（力）.故答案为：0.41

|v|V%6v7

【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及几何意义，属于基础题.

11.（2020・上海高三专题练习）在ABC中，设。是BC边上一点，且满足CZ）=2DB，

CD=AAB+^iAC,则丸+〃的值是.

【答案】0

【分析】由题意结合平面向量的性质可得CD=2CB,根据平面向量线性运算法则可得

3

22

CD=-AB一一AC,再由平面向量基本定理即可得解.

33

【详解】由题意画出图形，如图：

CD=2DB'CD=-2CB=-2/\^AB-AC\）=-2AB--2AC=AAB+pAC,

22

由AB、AC小共线可得夭〃=+〃=0.故答案为：0.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基

础题.

12.（2020•上海市南洋模范中学高三期中）己知点G是ABC的重心，角A,B,C所对的边长分别为

7

cihc

b,c,且一G4+—G8+2GC=0,则角3=.

578

【答案】一

3

【分析】点G是ABC的重心，可得GA+GB+GC=O,由题设可知a=5,b=7,c=8,再结合余弦定理

可求得角3的大小.

【详解】由点G是ABC的重心，可得GA+GB+GC=O,

又@GA+^GB+gGCuO,所以a=5/=7,c=8

578

25+64-49

由余弦定理可得cosB=

2ac802

77TT

又0<3（乃，则5=—,故答案为：一

33

【点睛】关键点睛：本题是向量与解三角形的综合题，解题的关键是要清楚：若点G是ABC的重心，则

G4+GB+GC=0,从而得到边长。，b,c,,再结合余弦定理求解，考杳学生的推理能力与计算能力，属

于基础题.

13.（2020.上海徐汇区•位育中学高三期中）已知点M、N在以AB为直径的圆上，若AB=5,AM=3,

BN=2,则启疝V=--------

【答案】12

【分析】连接AN、BM、MN,根据圆的圆周角性质，可得NAMB=N/TVB=90°，从而得出

AN=752-22=后，利用平面向量的线性运算求得AB-MN=AB（AN-AMj=AB-AN-AB-AM，

最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.

【详解】解：连接AN、BM、MN、如图所示，由于A3为圆的直径，AB=5,40=3，BN=2,

则NAM8=Z/UVB=90。，AN=4"方=后,

->—>—>（—>—>、—>—>—>—>

由于MN=ABAN-AM\=AB-AN-AB-AM

-COSZBAN-ABAM-cosZBAM

8

.ANAM

>>>>I\

=AB-A/V•—-\AB■AM\\~[

AB

।AB

22

=AN-AM=(V21)2-32=12,

即：xk加=12,故答案为：12.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.

三、解答题

14.(2017・上海闵行区•高三一模)已知加=(26,1),n=Icos2psin1,A、B、C是ABC的内

角.

(1)当A=1时，求］〃|的值；

⑵若C='，|43|=3,当初•〃取最大值时，求A的大小及边的长.

【答案】(1)由(2)A=2,BC=W)

26

TT

【分析】(1)将人=一代入计算即可.

2

(2)先求出机.〃的解析式，由其取最大值得到A=J,再根据正弦定理求得5C=百.

JI(1

【详解】解：(1)当A=—fi寸，n=-,1

2(2

厂Ar

(2)m-n=2\J3cos2—+sinA=V3(1+cosA)+sinA

9

+>/3.

ABBC3BC

加♦〃取到最大值时,A=—，由正弦定理sinCsinA-2."，解得5C二6.

6sin—万sin一

36

【点睛】本题主要考查倍角公式与半角公式、正余弦定理的应用、平面向量的线性运算.是中档题.

步向右向量的分解与向量的坐标运算

一、单选题

I1¥¥]

1.(2020•上海高三专题练习)已知向量a=(2,3),b=(-\,2),若mQ+4与2b共线，则，■等于

()

2

-2D.2

【答案】A

【分析】先求出+=(2”一〃,3机+2〃)，。-2。二(4,一1),再根据向量共线求解即可.

【详解】由题得根〃+〃。=(2m,3m)+(-n+2n)=(2m-n,3m+2n)，a-2b=(2,3)—(-2,4)=(4,-1)

iiffi

因为〃2Q+汕与4—2b共线，厂.-26+〃=12/77+8",14/%=一二—"^■.故选：A.

n2

【点睛】

本题主要考查平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于基础题.

2.(2019•上海市建平中学高三月考)如果将04=绕原点O逆时针方向旋转120。得到。8,则。8

的坐标是

73」_更_1

~二~,一二5

22-

【答案】D

【分析】先求出直线OA的倾斜角，再求直线OB的倾斜角，即得点B的坐标和OB的坐标.

10

1

2A/37i

【详解】设直线0A的倾斜角为a,tana=.=一丁,a="，

V33o

T

因为5+2:=以%,|OA|=|OB|,所以点B的坐标为(cos9£,sin旦)即(-走,乙).故答案为D

6366622

【点睛】本题主要考查向量的坐标，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

3.(2019•上海市西南位育中学高三期中)将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正

三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点0,其中x、y分别为

点。到两个顶点的向量，若将点。到正六角星12个顶点的向量，都写出◎+力的形式，则a+力的最大值

为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据题意，作出图形，分别用X、y表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果.

【详解】要求G+办的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：

(1)因为苏=；，所以(a,6)=(1,0)；

UUUUUU1UUU1

(2)因为08=0尸+EB=y+3x,所以(a,b)=(3,l)；

UUUUUU1UUUU1

(3)因为OC=OF+bC=y+2x,贝ij(a,。)=(2,1)；

UUIUUU1UUU1L1UU1U1UUU1u

(4)因为00=0尸+FE+E3=y+x+OC=3x+2y,则(。力)=(3,2)；

UUU1UUIUUU1U1

(5)因为OE=O尸+尸£=y+x,贝ij(a,。)=(1,1)；

UUIUu

(6)因为0b=丁，则(。乃)=(0』)；因此，Q+b的最大值为3+2=5.故选：C

11

【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.

4.（2020・上海高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量回=忖=1,入。=0，点Q

满足OQ=，曲线C={P|0P=acos6+Z?sin6,0=2万},区域

Q={p[0<rWPQWH,r<H}.若CQ为两段分离的曲线，则（）

A.l<r<R<3B.1<r<3</?C.r<l</?<3D.l<r<3<7?

【答案】A

【分析】由已知设。=（1,0）,匕=（0,1）,则。（Ji,也），所以OP=acos8+力sin8=（cose,sine），由

此得P点轨迹为一个以。为圆心，1为半径的单位圆，从而得r>2—1=1，r<R<2+l，得解.

【详解】解：设。=（1,0）,匕=（0,1），则0Q=6（a+b）=（6,也）,所以Q（加,亚）；

OP=acose+〃sinO=（cosasine），则P点轨迹为-一个以。为圆心，1为半径的单位圆，

。={口0<r〈|「。区七厂<7?}表示区域为：以。为圆心，内径为r,外径为R的圆环，

旦CQ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交.

又因为|0。|=2,所以|OQ|T<r<R<|OQI+L所以l<r<R<3.故选：A.

【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐

标系，分析出点P的轨迹及。表示的区域是解决本题的关键，属于中档题.

5.（2020.上海高三专题练习）把点（3,4）按向量1平移到点（-2,1）,则函数y=2'的图像按向量;平移后

的图象的函数表达式为（）.

A.y=2X~5+3B.y=2x~5-3

C.y=2V+5+3D.y=2x+5-3

【答案】D

【分析】根据坐标平移的性质和平面向量坐标加减法运算，解得之的坐标，再根据函数图象平移的方法，

12

可得y=2,的图像按向量;平移后的图象的函数表达式.

【详解】解：由题可知，把点(3,4)按向量：平移到点(-2,1),则(3,4)+1(-2,1)，；二=(-5,-3)，

则y=2*的图象按向量;平移后的图象的函数表达式为y=2J+5-3.故选：D.

【点睛】本题考查平面向量坐标的加减法运算，以及函数图象的平移方法，属于基础题.

6.(2020.上海高三专题练习)已知正方形P0RS两对角线交于点”，坐标原点。不在正方形内部，

OP=(0,3),OS=(4,0),则向量皮0等于()

abc

--H-4)-g:D.[414)

【答案】D

【分析】根据题意作出图形，根据HTOSP与RTNRS全等,得出点R的坐标，从而可得出答案.

【详解】由OP=(0,3),OS=(4,0),则尸=(0,3),5=(4,0)

由坐标原点。不在正方形内部，作出如图的正方形，过R作RN_Lx轴，垂足为N.

则HTOSP与RT版S全等，所以|SN|=|OH=3,|/W|=|OS|=4W|ON|=7.

所以R=(7,4),所以RA/=：RP=；(-7,-1)=(一1,一;)故选：D

【点睛】本题考查求向量的坐标，考查平面几何的性质，考查数形结合，属于中档题.

7.(2018•上海市七宝中学高三期末)如图，点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，0/1-05=0)

|0A|=|0B|=1,若OC=xOA+)，O8,则2x+y的最小值是()

13

BC

A.-V5B.1C.2D.y/5

【答案】B

【分析】对OC=xOA+yOB两边同时平方可得出乂丁的关系，通过三角换元即可求解.

【详解】由题：QC=xQA+yO5,点C是半径为1的扇形圆弧AB上一点，则x>0,y>0.

贝=(xOA+yOB^,

即|0C『=(x0A『+()，0B『+2xy0A-0B,04.08=0，|04=|。@=1

jr

化简得：x2+y2=E令x=cos9,y=sin。,。£[0,万],

21r八4i

2x+y=sin6+2cos0=非sin(。+夕),sin(p=—f=，COS(p——r=,(pG[0,—]

V5V52

因为^[o,-](p<0-\-(p<—+(p,sin（e+。）先增大后减小,

2e2

所以sin（8+。）的最小值为sine，sin（工+9）较小值，sin（g+。）=cose=

22

即sin（e+e）的最小值为A所以2x+y=J^sin（6+e）的最小值为1.故选：B

【点睛】此题考查通过向量线性关系求参数取值范围，此题常见处理办法可以平方处理然后三角换元，可

以建立直角坐标系用坐标求解，还可根据等和线定理数形结合求解.

二、填空题

8.（2020・上海高三专题练习）己知梯形QWC中，CB//0A,且CB=go4,若Q4=a，OC=b，则

UUU

AB=--------

【答案】b--a

2

【分析】由题意结合平面向量共线的性质、线性运算法则直接运算即可得解.

【详解】由题意画出图形，如图：

14

B

CB//OA,CB^-OA,：.CB^-OA^-a,

222

umuuuuumuurrrirriri

•0-AB—AO+OC+CB——Q+/?H—a=b—。.故答案为：b—a.

222

【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数乘的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

9.(2020・上海高三专题练习)己知平面上直线/的方向向量e=(一《3),点。(0,0)和A(l,-2)在/上的射

影分别为0】和4,则@4=笈，其中％=.

【答案】-2

【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得。4=(1,-2)、同=1,进而可得；I即为在

e方向上的投影，再由丸=笔3即可得解.

同

431

【详解】e.0(0,0),A(l,-2)；/.1，0A=(1,—2),

_4_6

,九即为。4在e方向上的投影，,，｛-一)―/厂？.故答案为:4

H1

【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.

10.(2021・上海高三专题练习)已知点A(l,0),直线/：X=-1,两个动圆均过点A且与/相切，其圆心分

别为G、。2,若动点“满足2GM=GG+GA，则M的轨迹方程为.

【答案】/=2x-l

【分析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程丁=以，设G(a,8),C2[m,n),M(x,y),根据

2c2M=。20+。2A可得a=2x—l,b=2y,利用〃=4。可求得结果.

【详解】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹是以A(l,0)为焦点，直线/：x=T为准线的抛物线，其方程

15

为y2=4x,

设G(a,。)，C2(/w,n),M(x,y),因为动点〃满足2GM=CzG+GA，

所以=即2尤=a+l,2y=2,

所以a=2x-l,b=2y,因为£>2=4"，所以（2y）~=4（2x-l）,

所以V=2x—1,即M的轨迹方程为j?=2x-l.故答案为：y2=2x-\

【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程V=4x是解题关键.

11.（2020・上海高三专题练习）设G为△A8C的重心，过点G作直线分别交A8，AC于点P，。，已

UULlUUll11

知AP=/IA6，AQ=〃AC，则丁+—=.

【答案】3

【分析】设AB=a，AC=。，川a,b表示出PGHGQ,根据PG与GQ共线列方程组，化简后证得

设AB=a，AC=/?.则==，AQ=〃AC=〃江如图，连接4G并延长交8c于点。，则A。

为边8C上的中线，

：.AD=-(a+b),：,AG=-AD=-(a+b),PG=AG-AP=-(a+b)-Aa=(--A)a+-b,

233333

GQ=AQ-AG=^ib-^a+b)=-^a+^-^)b.

又PG与G。共线，.•.存在实数加，使PG=/〃GQ，

—4=—m

33

/.(―-X)a+=--ma+m(//--)Z?,消去加得2+4=32〃.

—=

33

16

又由题意，知XHO，〃力0，，!+L=3.故答案为：3

X〃

【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量共线的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属了

中档题.

三、解答题

12.(2020・上海高三专题练习)如图所示，梯形A8CO中，AB//CD,且加=2D,M，N分别是DC

和AB的中点，已知AB=a，AD=b，用a，b表示DC，和

1rr1

=——a+b；MN=—a-b

224

【分析】利用向量的加减运算、数乘运算化简、转化即可求解.

【详解】解：由A5〃CO,且AB=2CD,・・・OC=LA8=」Q.

22

BC—BA+AD+DC=—a+—ci——a+b.

22

MN=MC+CB+BN=-DC+(-BC)+-BA

22

【点睛】本题主要考查了平面向量的加减法、数乘运算，属于容易题.

13.(2020・上海高三专题练习)。4=(2,5),03=(3,1),。。=(6,3),在线段0C上是否存在点M,

使若存在，求出点M的坐标.

【答案】存在,点Af的坐标为(2,1)或

【分析】设OM=fOC(OWf41),确定出M4,MB的坐标，根据M4.MB=0,建立关于f的方程，求解即

可.

【详解】设0M=/OC(OWY1),则OM=(6，,3/).则MA=OA-OM=(2-67,5-3。，

MB=OB-OM=(3-,：MAMB=0>二(2-6/)(3-6f)+(5-30(1-30=0.

17

整理得45/一48r+U=0，解得，=，或.,•点M的坐标为(2,1)或2211

315

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、垂直向量的坐标关系，考查计算求解能力，属了

基础题.

14.(2020・上海高三专题练习)已知向量a,6的夹角为"I",且|4=1,忖=2,设加=3a-8,〃=fa+2Z?,

(1)若上人)，求实数f的值

(2)当f=2时，求m与〃的夹角

(3)是否存在实数f,使根〃〃？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)f=l；(2)arccos-；(3)存在/=-6,理由见解析

7

【分析】(1)由加_L〃得加•〃=0，分别代入计算即可.

m-n

(2)根据向量的夹角公式cos<〃?，〃>=「e代入计算出余弦值再求角即可.

HT2I

⑶由机//"则〃z=丸〃成立，代入m=3a-b,n=ta+2b进行求解即可.

【详解】(1)因为“〃故力〃=0,所以(3a-b)(〃+»)=3/J+(6-/)。力一2//=0，

故3，+(6—，)xlx2cos(—2x22=0,3,+6—1一8=0,2,=2/=1

兀

(2)当1=2时，加=3。一人,〃=2。+2儿故。2=lx2xcos5=l』enj"

m-n(3a—b)(2a+2h)6+4-821

3<九〃>=丽=］加时424+24=，9-6+4,"+8+16=7^=/%〃夹角

为arccos—

7

(3)由m//〃则加=成立，所以3。一/?=X(ta+2b)=Ata+2Ab.

3=AtA=—

因为q,〃不共线，故，2，即存在，=—6使机//〃

-1=24,

【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，包括平行与垂直的应用等.同时也考查了数量积以及向量夹角的算

法，属于中等题型.

18

<^亘妄>平面向量的数量积及其应用

一、单选题

1.（2019•上海市南洋模范中学高三开学考试）己知。是单位向量，“〃=（）.若向量c满足

卜-a-司=1,则的取值范围是（）

A.[V2-L,V2+1]B.[⑸,,血+2]

C.[1„V2+1]D.[l„V2+2]

【答案】A

【详解】因为卜一"可=1,k一3+。）|=1，做出图形可知，当且仅当C与（4+6）方向相反且

同一卜+可=1时，同取到最大值；最大值为啦+1；当且仅当c与（a+b）方向相同且,+。卜卜|=1时,

同取到最小值；最小值为血-L

2.（2020・上海高三专题练习）已知A3=（5,6）,AC=(-3,1),则^ABC的面积为().

56-351561-35

A.B.C.一D.-

-31162-31216

【答案】C

232315623

【分析】设A3,AC的夹角为a,先求出sina=F^,S—,又=，,=—1即得解•

-s/61022—312

ABAC_5《-3)+6。1_一9

【详解】设AB,AC的夹角为a,所以cosa：

~\AB\\AC\~屈xM-V610

：-XV6TXVH)X-^L=—,

所以sina=,所以S=

ABC2V6102

561八23156

又一=—(5+18)=—.所以△ABC的面积为一.故选：C.

2-31222-31

【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，考查三角形的面积的计算和行列式的计算，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平.

3.（2020・上海高三专题练习）ABC顶点为&a,0）,8（—a,0）,C（asin，,acos9）,则抽。为（）.

19

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】A

［分析】利用ACBC=Q证得三角形ABC是直角三角形.

【详解】依题意可知a。0,

AC=^asinO—a,acosO^,BC=(asin9+a,acos9),|AC|与不恒等，

所以ACBC=(asin9)~-a2+(«cos^)2=a2(sin28+cos29)—/=0,

所以ACLBC，所以三角形ABC是直角三角形.故选：A

【点睛】本小题主要考查利用向量进行垂直关系的判断，属于基础题.

4.(2020・上海高三专题练习)已知O