2022-2023学年九年级数学中考专题训练-二次函数与线段周长问题（附答案）

中考专题训练一二次函数与线段周长问题

1.如图，顶点为（-2』）的抛物线y=M+法+。与x轴交于点A,8（点A在点8的左边），与y

（1）求抛物线的解析式；

⑵点p是抛物线对称轴上的一个动点，求APBC周长的最小值；

（3）在抛物线上是否存在点0,使以点。为圆心，以QC为半径的圆经过点A?若存在，请出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=；x2+6x+c经过点4（0,2）和41,|）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；

（3）点。在抛物线上，且横坐标为4,记抛物线在点A,。之间的部分（含点A,£＞）为图象

G,若图象G向下平移/。＞0）个单位后与直线8c只有一个公共点，求，的取值范围.

3.如图，抛物线产-丁+法+。与x轴相交于点&T0）和点8,交y轴于点C,CO=3AO,点尸

是抛物线上第一象限内的一动点.

（2）过点尸作尸A/y轴交BC于点。，求线段尸。长度的最大值；

（3）若Q为坐标平面内一点，在（2）的条件下，是否存在点Q,使得以点P、C、D、Q为

顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，对称轴为直线户-1的二次函数y=-f+限+c的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交

于。点，B点的坐标为（1,0）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在直线上找一点P,使APBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）若第二象限的且横坐标为，的点。在此二次函数的图象上，则当，为何值时，四边形AQCB

的面积最大？最大面积是多少？

5.如图，点A,B,C都在抛物线y=a/--5（其中-gvaVO）上，AB//x

轴，NA8C=135°,且AB=4.

（1）当m=1时，求抛物线的顶点坐标；

（2）求点C到直线A3的距离（用含。的式子表示）；

（3）若点C到直线A3的距离为1,当2加-5SE2〃z-2时，y的最大值为2,求机的值.

试卷第2页，共10页

6.如图1,抛物线丫=蕨-3皿+〃(〃件0)与X轴交于点(-1,0),与y轴交于点矶。,3),在线段OA

上有一动点E(不与。，A重合)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P.

(1)分别求出抛物线和直线A8的函数表达式；

(2)连接PA、PB,求ABAB面积的最大值，并求出此时点尸的坐标；

(3)如图2,点醺2,0),将线段OE绕点。逆时针旋转得到旋转角为a(0°<a<90°),连

2

接H4,E'B,求+的最小值.

7.如图，已知抛物线、=加+法-3经过点A(l,-1),3(-3⑶，与y轴交于点C.

(1)a=,b=；

(2)若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为〃?，过点P作PQ〃y

轴，交线段A3于点0.

①当△AP。为等腰直角三角形时，求机的值；

②当尸。+当3。取得最大值时，求穿的值；

2

③当-3VmV0时，若NPC4=3NACO,求加的值.

8.如图，已知抛物线yi=a(x-1)(x-5)和直线y2=-ax-a(其中a>0)相交于A,B两点.抛

物线力与x轴交于C、D两点.与y轴交于点G,直线y2与坐标轴交点于E、F两点.

(1)若G点的坐标为(0,5),求抛物线yi和直线y2的解析式.

(2)求证：直线y2始终经过抛物线yi的顶点.

9.已知抛物线丁=加+公+。(。邦)经过A(4,0)、3(-1,0)、C(0,4)三点.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点。是直线AC上方的抛物线的一点，。"，4。于点。，OM//y轴交AC于点

求△OMN周长的最大值及此时点。的坐标；

(3)如图2,点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点°,若以80：%加0

=3：5,求点尸的坐标.

试卷第4页，共10页

10.如图，抛物线y=-f+法+c与x轴交于A(2,0),8(-4,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(II)若抛物线交y轴于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(III)在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P,使得的面积最大？若存在，请直接

写出点P的坐标和△P8C面积的最大值；若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=加+法+3(a/0)与x轴交于A、8两点(点A在

点8左侧)，与y轴交于点C,且/。8。=30。，08=304.

(1)求抛物线3；=加+公+3的解析式；

(2)点尸为直线8C上方抛物线上的一动点，尸点横坐标为加，过点P作尸尸//＞轴交直线

于点F,写出线段PR的长度/关于机的函数关系式；

(3)过点尸作PDL8C于点。，当AP。尸的周长最大时，求出AP。产周长的最大值及此时点

12.如图，在平面直角坐标系中，已知点8的坐标为(-2,0),且。4=OC=4OB,抛物线

y=ax2+bx+c(存0)图象经过A,B,C三点.

(1)求A,C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PO_LAC于点D,当尸。的值最大时,

求此时点P的坐标及PD的最大值.

13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=—+^+c的图象经过点点7

备用图

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当-24x42时，求二次函数y=x?+法+c的最大值和最小值；

(3)点尸为此函数图象上任意一点，其横坐标为机，过点P作a。〃》轴，点。的横坐标为

-2///+1.已知点尸与点。不重合，且线段也的长度随"，的增大而减小.

①求机的取值范围；

②当PQ47时，直接写出线段也与二次函数>=公+嬴+«_24》<£|的图象交点个数及对应的加

的取值范围.

14.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A,8两点，点A在X轴上，点8在

)'轴上，C点的坐标为(1,0),抛物线>=依2+版+C经过点A,B,C.

试卷第6页，共10页

(1)求抛物线的解析式;

(2)根据图象写出不等式词+(6-l)x+c>2的解集;

(3)点P是抛物线上的一动点，过点P作直线A8的垂线段，垂足为。点，当PQ=#时，求尸

点的坐标.

15.如图，已知二次函数x—|■的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于。点.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)求直线BC的函数表达式；

(3)若。是线段。8上一个动点，过。作x轴的垂线交直线于E点，交抛物线于尸点，

(1)求1c的值;

(2)连结A8,交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移制m>0)个单位得到抛物线。.过点M作MN〃y轴，交抛物线4于点N.P

是抛物线乙上一点，横坐标为-1,过点P作PE//X轴，交抛物线L于点E,点E在抛物线L对

称轴的右侧.若PE+MN=1Q,求加的值.

17.如图，抛物线丫=-#+2奴+3与芯轴交于4,8两点(4点在8点的左侧)，与y轴交于点C,

连接AC,BC,A点的坐标是(-1,0),点尸是抛物线上的一个动点，其横坐标为〃z,且机＞0.

(1)求此抛物线的解析式；

⑵若点。是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当尸。〃y轴时，作交抛

物线于点M(点M在点P的右侧)，以PQ,PM为邻边构造矩形PQNM,求该矩形周长的最

小值；

⑶设抛物线在点C与点P之间的部分(含点。和P)最高点与最低点的纵坐标之差为正

①求"关于根的函数解析式，并写出自变量加的取值范围；

②当人=16时，直接写出△BCP的面积.

18.如图，平面直角坐标系中，抛物线丁=加+法+2与x轴分别交于点A(-1,0)、B(3,0),

与y轴交于点C,过点尸作y轴的平行线，交8C于点N,分别过P、N两点作x轴的平行线,

交抛物线的对称轴于点。、M,设P点的横坐标为澳

(1)求抛物线所对应的函数关系式.

(2)当点尸在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值.

(3)当四边形P0MN为正方形时，求加的值.

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19.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=加+云+3(•0)与x轴交于点4-6,0),点43五0),

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点P为直线上方抛物线上的一点，过P点作PD〃y轴，交3C于点。，点E在直线

上，且四边形尸为矩形，求矩形PE。/周长的最大值以及此时点尸的坐标；

(3)在(2)间的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移2G个单位长度得到新抛物线，。为平面

内一点，将》OC绕点Q顺时针方向旋转90。后得到,若^A'O'C的两个顶点恰好落在新

抛物线上时，直接写出此时点C'的坐标，并把求其中一个点U的坐标过程写出来.

20.如图，抛物线丫=4+"+/＞与直线y=-Jx+l交于A、B两点,其中点A在y轴上，点B

的横坐标为-4,P为抛物线上一动点，过点P作PC垂直于A3,垂足为C,作PF垂直于x

轴，垂足为F,交A8于E,设P的横坐标为九

(1)求抛物线的解析式；

⑵①求cosNCPE的值；

②若点P在直线上方的抛物线上，用含1的代数式表示线段PC的长，并求线段PC取最大值

时点尸的坐标.

⑶若点尸是抛物线上任意一点，且满足（）o<NPA8VNCPE，请直接写出:

①点尸的横坐标/的取值范围_____；

②纵坐标为整数的点P为''玉点”，“玉点”的个数是-

试卷第10页，共1。页

参考答案:

1.(l)y=-x2-4x-3

(2)3>/2+>/10

上j.->.-5+A/13—5+\[V3„—5—y/\3—5—y/i3

⑶存在，点Q的坐标为I---,―--I或I---,―--I

【分析】(1)直接用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)先求出A、B两点的坐标，再根据对称的性质即可得连接AC,交直线x=-2于点P,此时APBC的周

长最小，再由勾股定理计算出AC、BC长度即可计算；

(3)作AC的垂直平分线/,垂足为交抛物线于点。，作MNLx轴，此时以点。为圆心，以2c为半

径的圆经过点A.由题意可得，点Q为AC的垂直平分线与抛物线的交点，求垂直平分线的解析式，联立

二次函数解析式求解即可.

(1)

解：•••抛物线尸加+6+c的顶点为(-2,1),

二抛物线V=改2+法+C可化为y=a(x+2)2+1.

•.•抛物线与y轴交于点C(0,-3),-3=a(()+2)2+l.

二抛物线的解析式为y=-(x+2y+1=-x?-4x-3.

(2)

解：如图，令>=0,则-X2-4X-3W).

解得：X,=-1,X2=-3..•.点A(-3,0),点得T,0).

•.•点A(-3,0)与点3(-1,0)关于抛物线的对称轴x=-2对称，

连接AC,交直线x=-2于点P,此时APBC的周长最小.

VPA=PB,：.PB+PC=PA+PC=AC.

在&八4。。中，由勾股定理得：AO2+co2=ACt

AC=y/ACP+CO2=扬+32=35/2.

1

同理：BC=']BO+CO1=^I2+32=Vio.

...APBC的周长最小值为：PB+PC+BC=AC+BC=3y/2+4l0.

(3)

在抛物线上存在一点Q,使以点Q为圆心，以QC为半径的圆经过点A.

作AC的垂直平分线/,垂足为M,交抛物线于点。，作轴,

此时以点。为圆心，以QC为半径的圆经过点A.

OA=OC,

...点。也在AC的垂直平分线上.

在mA40C中，OA=OC,

：.M4=MO,NOAC=45°.

3

MN=AN=0N=-.

2

点M的坐标为［"I，-'I).

设直线/的解析式为y=".

•.直线/的解析式为丫=》.

y=*

由题意，得

y=-x2-4x-3

-5+V13-5->/13

X—x=----------

2

解得：,一成《

-5+V13-5-V13

V-c

22

.二八1VlM5+V53-5+>/13f—5—V13—5—

•.点Q的坐标为［―--,一--)或［—--，―--J.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、轴对称的性质、最短

路径问题、线段垂直平分线的判定定理的应用、解一元二次方程等，综合性强，熟练掌握知识点是解题的

关键.

2.(1)y=1x2-x+2；(2)C(2,2)；⑶l</<3.

【分析】（I）直接将4（。,2）和815代入、=；/+云+£；得出二元一次方程组求解即可得出答案；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，可求得对称轴，设点C的坐标为（七,%）,根据点C与点A（0,2）关于

M+0_i

抛物线的对称轴对称得出12求解即可得出答案；

.%=2

（3）根据题意可求得点。的坐标，设直线BC的方程为），=侬+〃（加HO）,再将8、C坐标代入求解即可得

出直线8c的方程为y=；x+l,分两种情况画出图象结合题意即可得出符合条件的，的范围.

【解析】解：（1）由题意，把A（0,2）和代入y=法+c中

c=2

（h=-l

解得：。

，抛物线的解析式为：y=g/-x+2

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=；x2-x+2

由-%+2=-（x-i）+-

可得抛物线的对称轴为直线X=1

设点C的坐标为（七,%）

・・・点c与点A（0,2）关于抛物线的对称轴对称

即点C与点A关于直线x=1对称

'^12=1

.­,■2

.%=2

二点C的坐标为（2,2）

（3）由（1）知抛物线的解析式为y=gV-x+2

把x=4代入y=；/一x+2,可得y=6

•点。在抛物线上，且横坐标为4

二点。的坐标为（4,6）

设直线BC的方程为,=恤+〃（7*0）

由（2）知点C的坐标为（2,2）

把41，T],C（2,2）代入y=/nr+”WwO）

|-3

得J2

2m+n=2

1

,,m--

解得：2

n=l

直线BC的方程为y=；x+l

当x=0时，y=l,即直线BC与y轴交点为（0,1）

•••抛物线在点A、。之间的部分（含点A、D）为图象G

图象G向下平移1个单位时，G变为G',点A、。分别变为A、"，则点A，在直线BC上

此时图象G'与直线8C有2个公共点，不合题意，如图1所示：

O*

图1

•当x=4时，y=；x4+l=3,点。的坐标为（4,6）

当图象G向下平移3个单位时，G变为G',点A、。分别变为D0,则点以在直线BC上

此时图象G'与直线只有1个公共点，合题意，如图2所示：

.•・当1</W3时，图象G向下平移r(r>0)个单位后与直线BC只有一个公共点.

的取值范围为：l<r«3.

【点评】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的性质与图象、二次函数的平移以及待定系数法

求二次函数的解析式是解题的关键.

9301Q

3.(1)y=-x2+2x+3(2)-；(3)(0,一)或(0,一)或(3,-)

i4444

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)设点P(x,-f+2x+3),则点。(x,-x+3)(0<x<3),贝1］尸。=-1-胃+；,即可求解；

(3)分别得到P,D,C的坐标，分P3为平行四边形的边和对角线，根据平行四边形的性质可得坐标.

【解析】解：(1)(-1,0),则04=1,

又：CO=3AO,

；.OC=3,C(0,3),

-\-b+c=0

把A,C两点的坐标代入y=-^bx+c得

c=3

b=2

解得:

c=3

・・・抛物线的解析式为)=-/+2x+3；

(2)由-/+2x+3=0得点8(3,0),设直线8c的解析式为产京+b,

f3Z+b=0伙=T

将点B(3,0),C(0,3)代入得L,，解得：八，，

\h=3\h=3

・・・直线BC的解析式为尸j+3,

设点P(x,-f+2x+3),则点。(x,-x+3)(0<x<3),

PD=(・f+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x=x--+—,

I2)4

39

・•・当x=7时，PQ有最大值i；

(3)由(2)可得：

3

将分别代入y=-x+3和y=-x2+2x+3中，

得y=|"，27

33315

•9•D(—■,—),P(—,—),又C(0,3),

2224

•.•以点P、C、D、。为顶点的四边形为平行四边形，如图,

若PO为平行四边形的边，

则四边形POCQ2和四边形PC。/。为平行四边形,

：.PD=CQ2=CQhPD//CQ2//CQh

321

可得Q(0,-),Q2(0,亍)；

若尸。为平行四边形的对角线，

则四边形PCQ。为平行四边形，

则”二。。3，CP//DQ3,

9

则。3(3,—),

3?|9

综上：点Q的坐标为(0,7或0了)或⑶-).

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，有一定的综合性，难

度适中.

4.(1)y=—x2—2x+3；(2)见解析，P(-l,2)；(3)t―――,?

28

【分析】(1)先求点C的坐标，再将点B、点C的坐标分别代入二次函数的解析式，求出待定系数氏c的

值，问题即解决；

(2)根据轴对称的性质，先画出点P的位置，求出直线AC的函数关系式，则直线AC与抛物线的对称轴

的交点即为P的坐标；

(3)四边形4QCB的面积由aABC和△AQC的面积组成，其中△4BC的面积为定值，可知需要把△AQC

的面积用含f的代数式表示出来，再求四边形AQCB的最大值.

【解析】(1)I•二次函数y=-/+bx+c的图象的对称轴为直线4-1,

b=-2.

;点、B(1,0)在二次函数y=-f+6x+c•的图象上，

-l2+(-2)xl+c=0.

c=3.

...二次函数的解析式为k7-2X+3.

(2)由(1)知二次函数的解析式为y=-f_2x+3.令x=0,得y=3.

.•.点C的坐标为(0,3).

由题意，可得点8(1,0)与点A(-3,0)关于直线x=-l对称.

.•.要在直线x=-1上找一点P使N8C的周长最小的问题，也就是要在直线x=-1上找一点尸使PC与朋的

和最小的问题.

•.•在连接AC的线中，线段AC最短.

直线4c与直线户-1的交点就是所要找的点尸(如图1)

设经过A、C两点的直线为直线y=，nx+〃,

[-3m+n=0,

则有，

[n=3.

.fm=l,

u[n=3.

：.y=x+3.

fy=x+3,

由,得点P的坐标为(-1,2).

[x=l

(3)如图2.

过点。作QF，x轴，垂足为尸,

直线AC与直线。尸交于点E.

则S四边形AQCB=SAABC+S&ACQ.

S4ABC=；.AB.OC=；x4x3=6,

q—Q+q

°AACQ-°AAQE十0ACQE

=~QEAF+^QEOF=^QEOA=^QE.

又♦..点Q的横坐标为f.

点。和点E的纵坐标分别为---2/+3和f+3.

QE=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t.

.(3/2329/33275

••Sc四边形AQCB=6+](_f-3r)=--t--t+6=--(t+^)+y.

由题意知：-3<f<0.

375

・,・当时，S四边形AQCB有最大值，此时S四边形AQCB的最大值为—.

23

【点评】此题考查了二次函数的图象与性质，根据轴对称找到特殊点及作与坐标轴垂直的直线来表示四边

形的面积，是解决本题的关键.

5.(1)(1,-3)；(2)点C到直线A8的距离为-色里；(3)根的值为1或10+2a6

a2

【分析】(1)由配方法可求顶点坐标；

(2)设点C到直线AB的距离为d,求出点C坐标，代入解析式可求解；

(3)先求出a值，分三种情况考虑：①当小>2利-2,即〃?<2时，x=2,〃-2时y取最大值，利用二次函

数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值;②当2m-5<m<2m-2,即2<m<5

时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于川的一元一次方程，解之可求出〃?

的值；③当，即机>5时，尸2机-5时)，取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关

于，〃的一元一次方程，解之可求出，"的值.综上即可得出结论.

【解析】解：(1)当机=1时，抛物线的解析式为尸加-2ax+a-3,

,."_y=ar2-2ax+a-3=a(x-1)2-3,

二顶点坐标为(1,-3);

(2)如图，过点C作CQ，AB,交A8的延长线于。，

%

NABC=135。，

ZCBD=45°,

CDA.AD,

NDBC=NDCB=45。,

BD=CD,

y—ax2-2ainx+am2+2m-5=a(x-/n)2+2m-5,

顶点坐标为(in,2m-5),

AB=4,

点8的横坐标为“+2,

点8在抛物线y=a(x-/n)2+2/n-5±,

y—a(m+2-tn)2+2m-5=4a+2m-5,

点BCm+2,4a+2m-5),

设点C到直线A3的距离为d,

:・BD=CD=d,

・••点C(加+2+d,4〃+2/w-5-2),

•・•点。在抛物线G-加2+2m-5±,

4a+2m-5-d=a(m+2+d-m)2+2/n-5,

整理得：ad2+4ad+d=3

,.,芬0,

.4〃+l

・・d=--------,

a

：.点C到直线AB的距离为-坦里；

a

(3)・.•点C到直线AB的距离为1,

•44+1

•--1,

a

.9.a=-g,

・・・抛物线的解析式为y=-1(x-/n)2+2加-5.

分三种情况考虑：

①当m>2m-2,即m<2时，有一g(2加-2-m)2+2m-5=2,

整理，得：小146+39=0,

解得：mi=l-VTo(舍去)，/H2=7+JiU(舍去)；

②当2m-50机02根-2,即20机05时，有2根-5=2,

八7

解得：加=5；

③当m<2m-5,即m>5时，有一g(2/n-5-nz)2+2m-5=2,

整理，得：“2-20^+60=0,

解得：机3=io-2>/i5(舍去)，叱=10+2715.

综上所述：，"的值为1■或10+2J6.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解一元二次方

程以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；(2)利用参数

求出点C的坐标；(3)分m<2、2S彷5及m>5三种情况考虑.

6.(1)抛物线丫=一。2+0+3,直线A8解析式为丫=一。+3；(2)P(2,4.5)；(3)巫

4443

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

11(393、3

22

⑵由S=SAPNA+S^PNB二一xPNxOA=-x4x-■-x+—x+3-l--x-3=--x+6x,即可求解；

221444J2

4?

⑶在y轴上取一点M使得0M，=§,构造相似三角形，可以证明AM，就是E'A+yEB的最小值.

【解析】解：(1)。・,抛物线)=欣-3如；+〃(〃zwO)与工轴交于点C(TO)与>轴交于点3(0,3),

fn=3

则有&解

[m+3m+n=0

3

,tn——

解得4,

〃=3

QQ

・・・廿也物线y=—=炉+=工+3,

44

39

令y=0,得至IJ——X2+-X+3=0,

44

解得：％=4或-1,

.•.4(4,0),8(0,3),

设直线A3解析式为丫=5+)，

仿=3

则L

[4fc+Z?=0

,=_3

解得_4,

6=3

•••直线AB解析式为y=-。+3；

4

(2)如图1中，设P(x,-；/+：x+3)则点N[,-：X+3),

则设面积为S,

则$=&小+SA/w=gxPNxQA=3x4x(-32+++3+|x-3)=-y+6x,

3

V--<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为6,止匕时P(2,4.5)；

4

(3)如图，在y轴上取一点AT使得。用'=§,连接40',在W上取一点£使得

OE'=OE.

4

：OE=2,OM'O8=-x3=4,

3

0E,2=OM,OB,

.OEOB

*OM,~~OE,"

:ZBOE=4M'OE,

\/SM'OEsAE'OB,

.MEOE_2

BE1~~OB~3f

2

\ME=—BE',

3

2

•・KE+—BE'=AE'+E"=A",

3

2

此时+最小(两点间线段最短，A,M\E共线时)，

最小值=乎.

【点评】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解

2

题的关键是构造相似三角形，找到线段AM，就是EA+]EB的最小值，属于中考压轴题.

7.(1)a=\,b=\-(2)①，〃=-2或机=-1；②当，〃=—^时，；③〃1=-1；

20A24

【分析】(1)将点A(L-l),8(-3,3)代入抛物线＞=以2+公-3中，利用待定系数法解题；

(2)①分两种情况讨论：当NQPA=90。时，或当NQAP=90。时，分别作出适当的图形，结合一元二次方

程与勾股定理解题即可;

②利用两点间的距离公式，结合勾股定理解得PQ+等BQ=-疗rw+6,结合二次函数的最值解题；

③作点D关于原点的对称点E,连接EC作=交x轴于点尸，交抛物线于点P,由待定系数法

3

解得直线AC的解析式，继而得到其与1轴的交点，解得。。=2,利用全等三角形的判定与性质，得到

EH=DO=j,再利用相似三角形的判定与性质及勾股定理，解得C尸的长得到点尸的坐标，接着解得直线

b的解析式，最后与抛物线联立成方程组，解得交点尸的横坐标，即可解题.

【解析】解：（1）将点41,-1）,8（-3,3）代入抛物线、=办2+床一3中，得

J。+。-3=-1

\9a-3b-3=3

[a=1

解得一

[b=l

y=x2+x-3,

故答案为：a=1力=1；

（2）①当△APQ为等腰直角三角形时，

第一种情况：当NQPA=90。时，点P的纵坐标为・1,

x~+x—3=-1

(x+2)(%-1)=0

••Xy=-2,X[=1

，P(-2,-1),0(-2,2)

此时|网=3,|PQ|=3

:.m=-2

第二种情况：当NQAP=90。时，即必，AB,

OA=A/12+12-V2，

设线段”与y轴交于点”，

:.OH=y/2OA=2

H(0,-2)

设直线AP的解析式为：yAP=>nx+n(ln^0),代入点A(l,T),"(0,-2)得

"2+〃二一1

n=-2

.../n=1

[n=-2

•■•y“=x_2

\AP\=V[l-(-l)]2+[-l-(-3)]2=2>/2

\AQ\=7[l-(-l)]2+[-l-l]2=2&

•：AP=AQ,故是等腰直角三角形，

此时尸的横坐标为：加=-1,

综上所述，m=-2或相=-1；

②PQ=—+加-3)=—irr—2m+3

BQ=y](-3-m)2+(3+w)2=后(m+3)([%>-3)

PQ+-yBQ=-m2-m+6

令丁=_机2-机+6,可知，此抛物线开口向下,

当机=-(=-g时，PQ+^BQ最大，

此时作辅助线AG_Ly于点尸,

.丝—空」

'~OA~~FA~2

••・当"，=一;时，取最大，:

22QA2

③设直线力c二丘+堆w0),代入A(l,-l),C(0,-3)得

[k+b=-\

\b=-3

[k=2

,[h=-3

加=2一

令y=。，得2元一3=0

=3

/.x一

2

3

D(-,0)

2

作点D关于原点的对称点£,连接EC作NOCE=NEC尸交不轴于点尸，交抛物线于点尸，如图,

/.OtL=—

2

3

・•・£(--,0)

2

此时NPC4=3NACO

vZEWC=ZDOC=90°,ZECH=ZDCO,EC=DC

:^EHC=^DOC(AAS)

3

,\EH=DO=-

2

作

•//EHF=£FOC=90°,ZOFC=NOFC

.•AEFH〜△CR?

3

-

“

且E2

-1,

coc3=一

2

:.CF=2EF

设团的长为x(x>0),

/.OF=—+x

2

在R/AFOC中,

FC1=OC-+OF1

.'.(2A:)2=32+(|+X)2

整理得，x2-x=^-

4

53

解得玉=%2=-：(舍去)

・•・F(TO)

设直线CF的解析式为人产二奴+优。工0),代入C(0,-3),b(-4,0)得

Jb=-3

[~4a+b=Q

'3

a=—

4

b=-3

•二ycF=-》—3

与联立抛物线联立得卜=一7‘一3

[y=x2+x-3

x2+x-3=--x-3

4

7

整理得，%(%+-)=0

7

二.玉=一“々=0(舍去)

7

「.P的横坐标为：-二

7

m=——.

4

【点评】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法解二次函数解析式、求一次函数解析式、勾股定理、相

似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键.

2

8.(1)y}=x—6x+5,y2=-x—1；(2)见解析；(3)1

【分析】(1)把G(0,5)代入抛物线y1=a(x-1)(x-5)求出a值，即可求抛物线力和直线丫2的解析式;

(2)求出抛物线yi的顶点坐标，代入直线y2的解析式，即可作出判断；

(3)过A.、B两点作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点，利用平行线分线段成比例定理可求解.

【解析】(1)把G(0,5)代入抛物线yi=a(x-1)(x-5)解得a=l,

2

所以抛物线解析式为yi=x-6x+5；

直线解析式为y2=-x-l；

(2)yi=a(x-1)(x-5)与x轴交点为(1,0)和(5,0),

所以其对称轴为直线x=3,

，顶点坐标为(3,-4a),

把x=3代入直线解析式y2=-ax-a

得y=-4a,

所以直线y2=-ax-a始终经过该抛物线的顶点(3,-4a),

(3)过A.、B两点作x轴的垂线，垂足分别为M、N两点,

令y2=-ax-a中y=0,解得x=-l,

即E(-1,0),

再联立两个解析式:a(x-1)(x-5)=-ax-a,

解得xi=2,X2=3,

所以M(2,0)、N(3,0),

由OF//AM/BN得EF:FA:AB=EO:OM:MN=1:2:1.

所以竺

【点评】本题考查了二次函数几何综合，涉及知识点有用待定系数法求解析式和平行线分线段成比例定理，

通过作平行辅助线得到比例线段是难点.

9.(1)y=-/+3x+4；⑵AOWN周长的最大值为4夜+4，0(2,6)；(3)P2±芋0,&1牛叵)

【分析】将A(4,0)、8(-1,0)、。(0,4)代入)，=0^+公+。中，建立方程组求解即可；

(2)延长OM交x轴于点H,通过分析证明AEVWN是等腰直角三角形，得到GD“N=(血+1)OM,用待定

系数法求得直线AC的解析式，设。(机，-机2+3机+4),点例(见-加+4),求得。历的表达式，配方求得

最大值，分析得到周长的最大值和点D的坐标;

(3)过点Q作QE，x轴于点E,由面积比求得当=1，由平行线段分线段成比例得到煞=华=],从

AQ5AEAQ5

而知道点Q的横坐标，代入直线AC求得纵坐标，用待定系数法求得直线0。的解析式，与抛物线建立方程

组即可求得点尸的坐标.

【解析】解：(1),・♦抛物线丁=加+公+。3工0)经过A(4,0)、B(-1,0)、C(0,4)三点

16。+4。+c=0

・•・将4(4,0)、8(-1,0)、C(0,4)代入y=⑪2+bx+0中得：a-b+c=0

c=4

a=-l

解得：”=3

c=4

抛物线的解析式为：y=-f+3x+4

•.•4(4,0)、C(0,4)

•**OA=OC=4

又丁ZAOC=90,

:.ZOCA=ZOAC=45°

・・・OM〃》轴

AZAHM=90SZAMH=ZACO=45

・•・/DMN=ZAMH=4S

■:DN1AC

・•・4DNM=90

/NDM=45°

•••△OMN是等腰直角三角形

..DN=MN=—DM

2

设直线AC的解析式为丫="+优心0)

4k+h=0

将A(4,0)、C(0,4)两点坐标代入得：

b=4

k=-\

解得:

6=4

直线AC的解析式为：y=-x+4

设D（m,-m2+3m+4）,则点A/（利,-机+4）

DM=-ITT+36+4—（一m+4）=一m2+4机=一（6一2）~+4

...当〃?=2时，取的最大值2,此时。(2,6)

•••A/WN为等腰直角三角形

JDMN=DN+MN+DM=^DM+今DM+DM=E+1）DM

AOMV周长的最大值为：4(应+1)=40+4,此时0(2,6)

(3)如图2：过点。作轴于点E

*'AQ~5

・.・0E_Lx轴

・・・NAQE=90°

XVZACO=90

.・.QE//CO

.OECQ3

"AE-A2-5

又：0A=4

33

・・・OE=^XQ=-

•••点。在直线AC上

・345

..y=——+4=—

oQ22

35

•••。弓a)

设直线0Q的解析式为:y=mx{m片0)

将点。代入得：，”=l

5

，直线。。的解析式为:y=-x

3

又♦..点P是直线OQ与抛物线的交点

5

y=—x

3

y=-x2+3x+4

-4x-12=0

3X2-4X-12=0

即(x-6)=0或x+2=0

解得：3=空叵,=2匚叵

3-3

又•:P为抛物线第一象限上的点

・•・点尸的横坐标为：xJ+2版

「3

.52+2V10lo+ioVio

・・y=-X------=----------

P339

.(2+2厢10+lOx/io"

139J

【点评】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和

性质，二次函数的最值求法等知识点，能够数形结合分析是解题关键.

10.(I)y=-f-2x+8；(II)存在，点。的坐标为(-1,6)；(III)存在，点P的坐标为(-2,8),

△P8C面积的最大值8.

【分析】(I)直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；

(II)首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；

(III)根据SABPC=S四边形BPCO-SABOC=S四边形BPCO-\6,得出函数最值，进而求出P点坐标即可.

f—4+2b+c=0

【解析】解：(I)将A(2,0),B(-4,0)代入得：W八,

[-16-4/?+c=0

[b=-2

解得，

[c=8

则该抛物线的解析式为：y=-f-2x+8；

(II)存在，理由：

如图1,点A关于抛物线对称轴的对称点为点8,

设直线BC的解析式为：y=kx+d,

[d=8\k=2

将点B(-4,0)、C(0,8)代入得：.，八，解得，,

[-4Z+d=0[d=8

故直线3C解析式为：y=2r+8,

直线8c与抛物线对称轴元=-1的交点为。，此时△QAC的周长最小.

fy=2x+8[x=-\

解方程组1，解得乙，

[x=-\[y=6

故点。的坐标为(-1,6)；

(III)存在，理由：

设P点的坐标为(x,-x2-2x+8)(-4<%<0),

VSABPC—S四边形BPCO-S^BOC—S四边形BPCO-16,

若S四边形BPCO有最大值，则S/PC就最大，

；，S峨般BPCO=SABPE+S直分梯般PEOC=3BE+PE+gOE(PE+OC)=；(x+4)(-/-2r+8)+J(-x)

(-f-2x+8+8)=-2(x+2)2+24,

当x=-2时，5磔媛BPCO最大值=24,

...SzBPC最大=24-16=8,

当x=-2时，-K-2x+8=8,

.,.点P的坐标为(-2,8).

【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合一次函数的图象性质求解是解题的关键.

..八、1->2\/3~/c、，12n/I、27+9-^3,3-^315

11.⑴尸——^+―J—x+3；(2)I———一m+43〃？；(3)---------,n—)

333824

【分析】(1)由抛物线)，=加+以+3的表达式知：C(0,3),根据NOBC=30。，得8(3白，0),而0B=

30A,得A(-G，0),再用待定系数法即可得尸-述x+3；

33

(2)延长PF交x轴于点E,先由8(36,0),C(0,3)得直线BC的表达式为y=-3/3,设点P(〃?，