一元一次方程奥数专练

元一次方程奥数专练

第06讲一元一次方程概念和等式性质

考点•方法•破译

1.了解一元一次方程、等式的概念，能准

确进行辨析.

2.掌握一元一次方程的解、等式的性质并

会运用.

经典•考题•赏析

【例1】下面式子是方程的是（）

A.x+3B,x+yV3C.2x2+

3=0D.3+4=2+5

【解法指导】判断式子是方程，首先要含有

等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有

这两个条件的就是方程.2x2+3=0是一个无

解的方程，但它是方程，故选择C

【变式题组】

01.在①2x+3j-1.②2+5=15-8,③1

-lx=x+/,@2x+y=3中方程的个数是（）

1个2个C.3个D.4

个

02.（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙

处工作的有196人，如果要使乙处工作的人

2

数是甲处工作人数的g,应从乙处调多少人

到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则

下列方程正确的是()

A.272+x=l(196-x)B.1

(272-x)=196t

C.1X272+x=196—x：

(272+x)=196-x

03.根据下列条件列出方程：

⑴3与x的和的2倍是14(2)x的2倍与3的

差是5(3)x的1与13的差的2倍等于1

【例2】下列方程是一元一次方程的是()

A.x—2x—3=0B.2x—3y=4C.-

=3D.x=0

【解法指导】判断一个方程是一元一次方

程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②

未知数的次数都是1,只有这样的方程才是一元

一次方程.故选择

【变式题组】

3

4

01.以下式子：①一2+10=8；②5x+3=17；

③孙；④X=2；⑤3%=1；⑥==4x；⑦

X

（〃+/＞）c=ac+bc；⑧其中等式有

个；一元一次方程有

__________个.

02.（江油课友卖睑区）若（机一2）x»=5是一

元一次方程，则机的值为（）

A.±2B.-2C.2D.4

03.（天津）下列式子是方程的是（）

A.3X6=18B.3工一8c.5y+6

D,产5=1

【例3】若x=3是方程一乙+%+5=0的解，

则k的值是（）

A.8B.3C.一§D.§

33

【解法指导】方程的解是使方程左右两边

相等的未知数的值，所以-34+3+5=0,k

=|故选择

【变式题组】

01.（诲口）x=2是下列哪个方程的解（）

A.3x=2x—1B.3x—2x+2=0

5

C.3x—1=2x+lD.3x=2x—2

02.（自贡）方程3x+6=0的解的相反数是

（）

A.2B.-2C.3D.-3

03.（上诲）如果x=2是方程？+。=一1的根，那么

«的值是（）

A.0B.2C.—2D.—6

04.（施州）根据下列问题，设未知数并列出方

程，然后估算方程的解：

（1）某数的3倍比这个数大4；

（2）小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2

岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？

（3）一个商店今年8月份出售A型电机300

台，比去年同期增加50%,问去年8月份出售A

型电机多少台？

[例4]（太原）c为任意有理数，对于

等式;4=2X0.254进入下面的变形,其结果仍然

是等式的是（）

A.两边都减去一3cB.两边都乘以，

C

C,两边都除以2cD.左边乘以2右边

6

加上c

【解法指导】等式的性质有两条：①等式两

边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等;

②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0

的数，结果仍相等，故选择A.

【变式题组】

01.（青岛）如果也〃=mb,那么下列等式不一

定成立的是（）

A.ma+1=mb+1B.ma-3=mb~3

C.--ma=--mbD.a=b

22

02.（大连）由等式3〃-5=2a+b得到a=U

的变形是（）

A.等式两边都除以3B.等式两边都加

上（2〃-5）

C.等式两边都加上5D.等式两边都减

去（2〃-5）

03.（昆明）下列变形符合等式性质的是（）

A.如果2x-3=7,那么2x=7-xB,如

M3x-2=x+Z,那么3xr=1-2

C.如果一2%=5,那么％=—5+2。.如

果一；％=1,那么％=—3

7

【例5]利用等式的性质解下列方程：

（Dx+7=19⑵-5x=30（3）-

1=4

⑴解：两边都减去7得x+7-7=19-7

合并同类项得x=12

⑵解：两边都乘以一得％=-6

⑶解：两边都加上5得一/-5+5=4+5

合并同类项得一产=9

两边都乘以一3得%=—27

【解法指导】要使方程％+7=19转化为

x=«（常数）的形式，要去掉方程左边的7,因

此要减7,类似地考虑另两个方程如何转化为x

=a的形式.

【变式题组】

01.（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程,

去的速度是仆回来的速度是“则他的平均

速度为（）

A.4B.CjD.上

2匕+岭2匕匕v\+v2

02.（杭州）已知是方程2x-ay=3的一个解,

8

那么«的值是（）

A.1B.3C.-3D.-1

03.（郑州）下列变形正确的是（）

A.由x+3=4得x=7B.由〃+方=0,

得a=b

C.由5x=4x-2得x=2D.由二=0,得

6

x=0

04.（南京）解方程一夫《（）

4.同乘以-|B.同除见C,同乘以

D.同除以;

22

【例6】根据所给出的条件列出方程：小华在

银行存了一笔钱，月利率为2%,利息税为20%,

5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存

人的本金是多少元？（只列方程）

【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是

中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含

义，清楚本息和：本金+利息（除税后）是解题

的关键.题中的利息税是把利息的20%扣除作

为税上交国家.

解：设他存入的本金是“元，则5个月的利

9

息是2%X5x=0.Lr元，需交利息税O./xX2O%

=0.02x元，根据题意得：x+0.Zx-0.02x=

1080.

【变式题组】

01.（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200

元的商品，在打八折的基础上，再打八折销

售，则该商品现在售价是（）

A.160元B.128元C.120元

Z）.8元

02.（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：

（1）某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7,

求某数；

（2）长方形的周长是50厘米，长与宽之比为

3：2,求长方形面积，

[例7]（“希望杯”邀请赛试题）已知p、q

都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程

px+5q=97的解是，,求代数式40P+l0lq+

4的值.

【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式,

再综合运用整数知识：偶数+奇数=奇数、奇数

10

+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数.

解：把x=l代入方程px+5q=97,得p

+5q=97,故p与5q中必有一个数是偶数：

（1）若p=2,贝！）Sq=95,q=19,40P+

mq+4=40X2+101X19+4=2003；

⑵若5q为偶数,则q=2,p=87,但

87不是质数，与题设矛盾，舍去・・・・40p+lQlq

+4的值为2003.

【变式题组】

01.（广东省竞赛题）已知同=3%+1,则（64/

+48x+9）2009=.

02.（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有

理数〃、b、c、d,定义新运算：""=ad-

ca

be,已知2"-4=18,贝!]“=（）

X1

A.-1B.2C.3D.4

演练巩固反馈提高

01.下面四个式子是方程的是（）

A.3+2=5B.x=2C.2x-5

D.a2+2ab^b2

02,下列方程是一元一次方程的是（）

A.x2—2x-3=0B.2x_3y=3

11

22

C.x-x-l=x+lD.l-i=o

X

03."x的一半比省的相反数大7”用方程表达这

句话的意思是（）

A.L=7-xB.3+7=-xC.1+

222

7="“『+7

04.（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大

小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余

四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣

粉多少克？若设装满的每个瓶子有阳洗衣

粉，列方程为（）

A.5x+15=1200B.5x-15=1200

C.4x+15=1200D.4（x+15）=1200

05.在方程①3JL4=7；②]=3；③5%-2=3；

@3（x+1）=2（2x+l）中解为x=l的方

程是（）

A.①②B,①③C.②④D.③

④

06.如果方程2〃+）=〃-1的解是〃=一4,那么

b的值是（）

A.3B.5C.一5D.-13

12

07.若是新规定的某种运算符号，设〃△

b—42+方贝1]（-2）Ax=10中x为（）

A.—6B.6C.8D.—8

08.（武汉）小刚每分钟跑〃加，用6分钟可以跑

完3000机，如果每分钟多跑第m，则可以提

前1分钟跑完3000m,下列等式不正确的是

（）

A.（〃+10）3-1）=abB.（〃-10）3+7）

=3000

C.您=〃+10D.3=）一1

b-\。+10

09.已知关于%的方程（加+2）/+4=2加-1是

一元一次方程，则％=.

10.在数值2,-3,4,一5中，是方程4%-2=

10+%的解是.

11.（福州）已知，-1=?〃，试用等式的性质比

44

较加、〃的大小.

12.（西宁）已知方程〃-2%=-4的解为x=4,

求式子«3-«2-«的值.

13

13.三个连续自然数的和是33,求这三个数.

14.某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑

冰的有33人，这两项都不会的有6人，这

两项都会的有多少人？

15.甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使

两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队

调多少个司机到乙车队？

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01.下列判断中正确的是()

A.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x

同解，

B.方程2x-3=1与方程x(2x-3)=x

没有相同的解.

14

C.方程x(2x-3)=X的解是方程2x-3

=1的解.

D.方程2x-3=1的解是方程x(2x-3)

=x的解.

02.方程*+六+…+^^2009的解是()

1x22x32009x2010

A.2008B.2009C.2010D.2011

03.(江苏省竞赛题)已知〃是任意有理数，在

下面各题中

(1)方程ax=0的解是x=l⑵方程ax

=a的解是

(3)方程=1的解是x=i(4)|小〜的

a

解是x=±l

结论正确的的个数是()

A.0B.1C.2D.3

04.(“希望杯”邀请赛)已知关于工的一元一次

方程(3〃+8方)x+7=0无解，则ab是

()

A.正数B.非正数C.负数

D,非负数

05.(第十一届“希望杯”邀请赛试题)已知a

是不为0的整数，并且关于x的方程ax=

15

2a3—3a2—5a+4有整数解，则a的值共有

（）

A・1个3个C・6个D.9

个

06.（“祖冲之杯”邀请赛）方程一|+（x-5）=

0的解的个数为（）

A.不确定B.无数个C2个

O.3个

07.若％=9是方程上一2卜〃的解，则〃=；

又若当a=l时，则方程那一2卜.的解是

_____•

08.方程|卜+2卜,一||=0的解是，方程3（国一1）省+1

的解是.

09.（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知|39蛆+1995|

=1995,那么％=.

10.（“希望杯”邀请赛试题）已知|力x+2,那么

19x"+3x+27的值为.

11.（广西竞赛）解关于X的方程把*+北叱+e上

cab

=—3.

12.〃为何值，方程*"4-幻-6）有无数个解.

52o

16

13.（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，

每人根本，则余14本；每人9本，则最后一人

只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？

14.（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出

16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人

数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问

乙队原有多少人？

第07讲一元一次方程解法

考点•方法・破译

1.熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并

会灵活运用.

2.会用一元一次方程解决实际问题

经典•考题•赏析

【例1】解方程：5x+2=7x—8

【解法指导】当方程两边都含有未知数时,

通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到

方程的右边，注意移项要变号.

解：移项，得5x—7x=-8—2

合并同类项，得一2x=-10

系数化为L得x=5

【变式题组】

01.（广东）关于X的方程2G—1）—。=0的根是

17

3,则a的值是()

A.4B,-4C.2D.-1

02.(陕西)如果a.b是已知数，则一7x+2〃

=-5%+2》的解是()

A.a——bB.——a——bC.b——a

D.b+a

03.解下列方程：

(l)2x+3x+4x=18(2)3x

+5=4x+l

【例2】解方程：ll-2(x+l)=3x+4(2x-3)

【解法指导】此题中含有括号，应先按去

括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括

号前是“+”号不变号；括号前是“一”，各项

均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要

漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1,

从而求出方程的解.

解：去括号，得ll-2x-2=3x

+8x-12

移项，得一2x—3x—8x=一

12-11+2

合并同类项，得一13%=-21

系数化为L得

18

【变式题组】

01.(广州)下列运算正确的是()

A.-3(x-1)=—3x-1B.—

3(x—1)=-3x+1

C.-3(x—1)=—3x—3D.—

3(x—1)=-3x+3

02.(黄冈)解方程：一2(“一1)一4(%—2)=1去

括号结果，正确的是()

A.—2x+2—4x—8=1B.一

2x+l-4x+2=l

C.-2x—2—4x—8=1D.一

2x+2-4x+8=l

03.(广州)方程2%+1=3(*—1)的解是()

A.x=3B,x=4C•3

D,x=—4

04.解下列方程：

(1)7(2x—1)—3(4x—1)=5(3x+2)—1

⑵3(100—2x)=400+15%

【例3】解方程：工1一⑼±1=2_]

364

【解法指导】方程中含有字母，去分母是首

19

先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母

时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不

要漏乘没有分母的项

解：去分母时，得4(2x—1)—2(10x

+l)=3(2x+l)-12

去括号，得8x—4—20x=

6x+3—12

移项，得8x—20x—6x

=3-12+4+2

合并，得一18%=-3

系数化为L得

回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程

的基本方法步骤：

(1)去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并;

⑸系数化为1.

这五个步骤要注意灵活运用.

【变式题组】

01.(厦门)如果关于X的方程浮=字的解不

是负值，那么。与b的关系是()

A,a>-bB.b>-aC.5。23万

55

20

D.5a=3b

02.（银川）甲、乙两船航行于A、笈两地之间，

由A到5航行的速度为每小时35千米，由

3到A航速为每小时25千米，今甲船由A

地开往3地，乙船由8地开往A地，甲先

航行2小时，两船在距B地120千米处相

遇，求两地的距离，若设两地的距离为％千

米，根据题意可列方程（）

Ax-120_120।25X-1201120

•35一石,35―石

「x-120120cnx-120c120

C•=——+2LJ,+2=——

25352535

03.（四川）解方程：—―]=（1

04.（大连）若方程甘1一交=*1与方程

252

2X+==£2X的解相同，求的值.

23a

【例4】解方程：写萨-言=3

【解法指导】原方程的分子、分母有小数，

可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方

程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分

子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左

21

边、右边而言，要注意区别防止出错.

解：原方程变形为:10(X0.lx-0.2)10(%-1)

100x0.0210x0.5

即50(0.lx-0.2)-

2(%+1)=3

去括号，得5x—50—2x—2=3

移项，得5x-2x=3+10+2

合并，得3x=15

系数化为1,得x=5

【变式题组】

01.对方程言―2x=专丝变形正确的是()

x+2

A四-2x

37

B.区-20x

3

10x+1cx+2

c------2x=----

O10x+102彳_元+2

*-3*-"V

02.(郑州)解方程：昌-黑“2

12x-107x-92—x8x—9

【例5】解方程:-----------------1------------------------1-------------

21201514

【解法指导］对于解一元一次方程五步骤应

灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接

22

去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类

通分，可以减少计算量.

解：移项得12108x—9_2—x7x—9

~2A一~1520-

两边分别通分得:7_35-25x

42--60-

即1_7-5x

6-12

解得X=1

【变式题组】

01.（大连）解方程躬.0）=7,较简便的是（）

54

A.先去分母B.先去括号C.先两边

都除以［D.先两边都乘以［

02.解方程：需‘（平+4）+6］+8-1

03.解方程：9+*卷+卷+56

26122042

【例6】有一些分别标有6,12,18,24,…的

卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大

23

6,小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的

数之和为342.

(1)小明拿到了哪3张卡片？

(2)你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡

片上的数之为是86吗？

【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这

三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解.⑵

属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方

式，掌握解题技巧及策略.

解：设小明拿到的三张卡上的数字为

6,x+12

(1)依题意得：x+x+6+x+12=342

合并，得3x+18=342

移项，得3*=324

系数化为L得％=108

答：这三个数为108,114,120

(2)不能使这三张卡片上的数字和为86,

理由是

(3)假设x+x+6+x+12=86

合并，得3x+18=86

移项，得3x=324

系数化为L得.警

24

因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故

不可能为墨

【变式题组】

01.下图是按一定规律排列的数构成的一个数

表：

14710

1316/——i2

25283134

37404346

49525558

61646770

•••

⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个

数，若这9个数的和是549,求方框中最

后一个数；

⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且

这9个数的和是360,则斜框中的第一个

数是什么？

XXX

25

XXX

XXX

【例7】（河南省竞赛题）若关于”的方程9%一

17=丘的解为正整数，则上的值为左=

【解法指导】把x的值用k的代数式表示,

利用整除性求出k的值.

解：V9工-17=丘

・・・（9一左）％=17

Vx为正整数，，9一无为17的正整

数因数

:.9一儿=1或9一欠=17

/.k=8或儿=-8故女=±8

【变式题组】

01.（成都）要使一元一次方程一履=无的解为x

=-1,必须满足的条件是（）

A.可取一切数B.k<0C.k

26

WOD.k>G

02.（“五羊杯”竞赛题）已知关于x的方程9x

-3=h+14有整数解，那么满足条件的所

有整数k=_______

演练巩固•反馈提高

01.（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价

降低了15%,则原价是（）

A.40元氏35元C.28.9

元D.5.1元

02.（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上

行驶,开向寂静的山谷,驾驶员掀一下喇叭,

4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已

知空气中声音的传播速度约为340米/秒，

汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为

（）

A.2x+4X20=4X340B.2x-4X

20=4X340

C.2x+4X72=4X340D.2x-4

X20=4X340

03.（陕西）一件标价为600元的上衣，按8折销

售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x

元，根据题意，下面所列的方程正确的是

27

（）

A.600X0.8-X-20B.600X0.8=x~

20C.600X8-x=20Z>.600X8=x-20

04.（长沙）一轮船往返于A、3两港之间，逆水

航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速

度是3千米/时，则轮船在静水中速度是

（）

A.18千米/时B.15千米/时C.12

千米/时D.20千米/时

05.（武汉）已知关于X的方程4x—3机=2的解

是x=机，则机的值是（）

A.2B,-2C.|-I

06.（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月

5日起，上调人民币存款利率，一年定期存

款利率上调到3.06%.某人于2007提6月5

日存入定期为1年的人民币5000元（到期

后银行将扣除20%的利息税），设到期后银

行向储户支付现金为x元，则所列方程正确

的是（）

A.x-5000=5000X30.6%

B.x+5000X20%=5000（l+3.06%）

28

C.x+5000X3.06%X20%=5000(1+

3.06%)D.x+5000X3.06%X20%=

5000X30.6%

07.（南通）关于x的方程mx—l=2x的解为正

数，则m的取值范围是（）

A,机22B.m&2C.m>2D.m

<2

08.若x=2不是方程2x+方=3x的解，则力不

等于（）

4V氏?C.2-2

09.（天津）若屋?+2%=3是关于X的一元一次方程,

则这个方程的解为

10.（广东）若2x-l=3,3j+2=8,则2x+3j

1L（南京丘为何值时，式子13与式子一尹1满足

下列条件：

⑴相等

⑵互为相反数

⑶式子楙一3比式子一91的值小1

29

12.（随州）一个两位数，个位数是十位上的数

的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对

调，那么所得到的两位数比原两位数大36,

求原两位数，根据下列设法列方程求解.

⑴设十位数上的数为X；

⑵设个位数上的数为

13.（北京）国外营养学家做了一项研究，甲组同

学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐

外,每人还增加六百亳升牛奶.一年后发现,

乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平

均身高的增长值多2.01cm,甲组同学平均

身高的增长值比乙组同学平均增长值的：少

4

0.34cm,求甲、乙两组同学平均身高的增

长值.

30

14.（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻

炼的平均达标率（达到标准的百分率）是

60%,如果一班达标率是40%,二班达标率

是78%,求一、二班的人数各是多少？

15.某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽,

平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10

个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺

帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？

（每个螺栓配两个螺帽）

培优升级•奥赛检测

01.（南昌）把〃千克的纯酒精溶在8千克水里,

再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含

酒精的千克数为（）

A.aB.£C.金。•生

a+b。。a-\-b

31

02.下列四组变形中属于移项变形的是（）

A.5x+4=0贝!|5x=-4

B.>5得y=10

C.权-（3-2丁）=4贝!jgy-3+2y=43%=4贝!|x=g

03.（第18届“希望杯”赛题）方程

XXXx

-----1--------1---------+1的解是“=

315352005x2007

A2006B2007c2007p1003

・2007•2006*1003*2007

04.（广西竞赛题）若方程（疗一l）d—mr+8=*

是关于x的一元一次方程，则代数式机2008—

I机一11的值为（）

A.1或一1B.1C.一1D.2

05.如果2005—200.5=”一20.05,那么“等于

（）

A.1814.25B.1824.55C.1774.45

D.1784.45

06.若x=0是关于x的方程%—3〃=1的根，则

〃等于（）

A.-1B.1C.3D.-3

33

07.（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学

32

生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前

进，每小时走4500米，一列火车以每小时120

千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相

遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如

果队伍长500米，那么火车长（）米

A.2070B.1575C.2000D.1500

08.（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙

港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再

从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，

则乙港返回甲港需航行（）

A.0.5小时B.1小时C.1.2小时

D.1.5小时

09.（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中

一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本,

一班与二班捐出的本数之比为4：3,班与三班

捐书的本数之比为6：7,那么二班捐出

本.

10.（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千

米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往

返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，

每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车,

每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车

33

第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆

汽车分别行驶了千米和千米.

11.（宁波）已知关于X的方程一=笄的解是工

23

=2,其中且方W0,求代数式的值.

ba

12.（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车

到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车

开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则

比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在

火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩

托车的速度应该是多少？

13.（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路

上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度

为3.6千米/时，骑车人速度为10・8千米/时，

如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用

22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身

长为多少米？

34

第08讲实际问题与一元一次方程

考点•方法•破译

1.会分析实际问题中的数量关系，从而建

立数学模型•

2.熟练掌握运用方程解决实际问题•

经典•考题•赏析

【例1】（贵阳）根据调查的统计，个体服

装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但

老板们常以高出进价50%〜100%标价，假如购买

一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内

还价？

【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：

⑴商品利润=商品售价一商品进价：⑴商品利润

率=附|；⑶商品售价=进价X（1+利润率）

商品进价

解：设原进价为“元，根据题意得

①当利润为50%时：（1+50%）x=400

解得％=空

②当利润为100%时：（1+100%）%=400

35

解得x=200

所以：空X（1+20%）=320（元）200X

（1+20%）=240（元）

答：应在240〜320元范围内还价•

【变式题组】

01.（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴

一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一

次性购物超过100元但不超过300元一律九

折；⑶一次性购物超过300元一律八折•王

波两次购物分别付款80元、252元•如果王

波一次性购买与上两次相同的商品，则应付

款（）

A.288元B.322元

C.288或316元D.332或363

元

02.（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的

进价是每件8元售价是每件10元•为了扩大

销售量把每件商品的售价降低百分之x出

售要求卖出一件所获得的利润是降价前所

获得的利润的百分之90,则“等于（）

A.1B.1.8

36

C.28D.29

03.（蒲泽）某书店把一本新书按标价的九折出

售，仍可获利20乐若该书的进价为21元,

则标价为（）

A.26元b.27元

C.28元D.29元

［例2］（南京）某停车场收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车

费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽

车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小

型汽车各有多少辆？

【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车

总数=中型停车费+小型停车费•

解：设中型车辆有％辆，则小型车辆有（50

—x）辆，根据题意得6x+4（50—x）=230,解得x

=1550—x=35

答:中小型车辆分别是15辆、35辆・

【变式题组】

01.（东营）学校计划将若干名学生平均分成24

个读书小组，若每个小组比原计划多1人,

则要比原计划少分出6个小组,那么学生总

数是（）

37

A.144人庆72人

C.48人O.36人

02.（湖南）某学校在对口援助边远山区学校活

动中,原计划赠书3000册，由于学生的积极

响应，实际赠书3780册其中初中部比原

计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了

30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？

03.（佛山）小敏准备用21元钱买笔和笔记本，

已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他

买了两本笔记本之后，还可以买几支笔

（）

A・1支B.2支C.3支

4支

【例3】（北京）京津城际铁路于2008年8月1

日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程

直达运行的时间为半小时•某次试车时，试验列

车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6

分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同

38

•如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市

平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由

北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

【解法指导】在行程问题中,通常要运用“路

程=速度X时间”关系探求数量关系和相等关系

解：设这次试车时，由北京到天津的平均速

度是每小时“千米，由天津返回北京的平均速度

是每小时（x+40）千米

根据题意得誓X：（）

602x+40

解得％=200

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度

是每小时200千米♦

【变式题组】

01.（长沙）汽车在中途受阻耽误了6分钟，然

后将时速由原来的每小时40千米提为每小

时50千米，那么要想将耽误的时间补上，

则需要这样走（）

A.10千米B.20千米C.40千米

D.50千米

02.（南昌）某市出租车的收费标准时：起步价

5元，（即路程不超过北机的车费为5元），

39

3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共

付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多

是（）

A.8ktnB.9kmC.6kmD

03.（南宁）小李骑自行车从A地到3地，小明

骑自行车从B地到A地二人都均速前进，

已知二人在上午8时同时出发，到上午10

时，两人还相距36左孙到中午12时，二人

又相距364山，求A、8两地间的路程•

【例4】（课本变形题）有一些相同的房间

需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房

间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；

同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之

外，还多刷了另外的40小墙面•每名一级技工

比二级技工一天多粉刷10小墙面，求每名一级

技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙

面？

【解法指导】在工程运用问题中，通常要运

40

用“工作量=工作效率X工作时间”关系探求数

量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作

解：设每一名一级技工一天刷“小的墙面，

则每名二级技工一天刷（“一10）源的墙面.

根据题意得3=-4。

810

解得x=122则X-10=122-10=112

答:每一名一级技工一天刷122加的墙面，

则每名二级技工一天刷112加的墙面.

【变式题组】

01.（随州）某城市计划用两年时间增加全市绿

化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长

20%,则两年后城市绿化面积是原来的（）

A.1.2倍B.L4倍C.L44倍

D.L8倍

02.（天津）一个水池有甲、乙两个水龙头，单

独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独

开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满

水池的：/3要同时开甲、乙两龙的时间

（）

A.1小时B.3小时C.4小

41

时D.1小时

03.（乐山）某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,

准备加工后上市销售，该公司的加工能力

是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨,

现计划用15天完成加工任务，该公司应安

排几天精加工、几天粗加工？

［例5］在一次有12个队参加的足球单循

环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场

得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在

打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总

积分为18分，问：该队战平了几场？

【解法指导】根据题意分别用含一个未知数

的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几

分列出方程•

解：设该队负“场，则胜（%+2）场，平的场

数为11—x—（x+2）=（9—2x）场

根据题意得3（x+2）+lx（9—2x）=18

解得x=3.\9-2x=9-2X3=3

答：该队战平了3场.

42

【变式题组】

01.（长沙）足球比赛的积分规则为胜一场得3

分,平一场得1分,负一场得0分,一支足球

队赛14场，负5场共得19分，那么这支球

队胜了（）

4.3场B.4场C.5场

Z）.6场

02.在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不

含发球得分）已知他投进的3分球比2分球

少4个，则他投进了几个3分球和几个2分

球？

【例6】（聊城）某地生产一种绿色蔬菜，

若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经

粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加

工后销售，每吨利润涨至7500元・

当地一家农工商公司收购这种蔬菜140

吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜

43

进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行

精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能

同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15

天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司

研制三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来

得及加工的在市场直接销售.

方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加

工，并恰好15天完成.

你认为选择哪种获利多？为什么？

【解法指导）理解本题的题意是解本题的前

提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种

利润的大小即可求解•

解：对方案一：获利为4500X140=

630000（元）

对方案二：15天细加工：6X15=90（吨）说

明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利

7500X90+1000X50=725000（元）

对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则

（140—%）吨进行粗加工，根据题意得

解得x=60140-x=140-60=80

44

故获利为7500X60+4500X80=810000（元）

由此，选择方案三

【变式题组】

01.（第17届“希望杯”竞赛题）老师带两名学

生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一

辆摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车

可带一名学生，带人速度为20千米/时，学

生步行速度为5千米/时，请你设计一种方

案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间

不超过3小时•

02.4市和3市分别有某种机器12台和6台，现

决定支援。市10台，。市8台，已知从A

市调一台到。市和。市的运输费分别为400

元和800元；已知从B市调一台到C市和

D市的运输费分别为300元和500元•问共

有几种调运方案？其中最低费用是多少

元？

45

【例7】（黄冈竞赛）某人沿电车路线行走，

12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆

电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，

4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分

钟从起点站开出一辆？

【解法指导】根据“路程=速度X时间”，

所以当路程相同时与时间成正比•

解：设站点每隔x分钟开出一辆根据题

意，得口"解得“=6

答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆・

【变式题组】

01.（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x

米，以等速前进，它进入300米的隧道经历

T25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车

上照了10秒，求A

46

02.（武汉选拔赛）若关于x的方程|除一2|-1|

=〃有三个整数解，则a的值为（）

A.0B.2C.1D.3

3.（第16届江苏竞赛）如果|%—2|+x—2

=0,那么”的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.

D.xW2

演练巩固•反馈提高

01.（天津）东方商场把进价为1980元的商品按

标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品

的标价为（）

A.2160元B.2613.6元C.2640元

D.2722.5元

02.（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都

卖64元，其中一个盈利60%,另一个亏本

20%,在这次买卖中，这家商店（）

A.不赔不赚B,赚了8元C赔了8

元D.赚了32元

03.（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：

利息税=利息X20%,银行一年定期储蓄的

47

年利率为2.25%,今年小刚取出一年到期的

本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚

一年前存入银行的本金为（）

A.1000元B.2000元C.4000元

D.3000元

04.（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一

年后女生增加3%,男生在校生增加4%,这

样在校学生将增加3.6%,那么该校现有女

生和男生人数分别是（）

A.200和300B.300和200C.320

和180D.180和320

05.（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加

活动，原来每组8人，后来由于器材不够重

新编组，每组12人，这样比原来少2组，

问这些学生有（）

A.48人B.24人C.36人D.60

人

06.（银川）一列火车通过890米的大桥需要