(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(答案解析)

一、选择题1．在数列中，，，（），则（）A．10 B．17 C．21 D．352．已知数列中，，，若，则（）A．3 B．4 C．5 D．63．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（）（取，）A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元4．已知数列的前项和为，对任意的有，且，则的值为（）A．2或4 B．2 C．3或4 D．65．已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前项和为（）A． B． C． D．6．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是().A． B． C． D．7．已知数列的前项的和为，且，则（）A．为等比数列 B．为摆动数列C． D．8．已知是等比数列，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．59．根据下面一组等式：，，，，，，……可得（）A． B． C． D．10．正整数数列满足：，则（）A．数列中不可能同时有1和2019两项 B．的最小值必定为1C．当是奇数时， D．的最小值可能为211．如果数列的前项和，则()A．8 B．16 C．32 D．6412．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）A．153 B．190 C．231 D．276二、填空题13．已知数列满足对，都有成立，，函数，记，则数列的前项和为______．14．在数列中，已知，，则____________．15．在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，是的一个法向量已知数列满足：对任意的正整数n，点均在上，若，则的值为______．16．等比数列的各项均为正数，且，则___________.17．数列满足，且，则数列的前项和为__________.18．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.19．在数列中，，；等比数列的前n项和为．当时，使得恒成立的实数的最小值是_________．20．若等差数列中，，为前n项和，，则当最小时________．三、解答题21．已知数列的前项和为满足，数列是公比为正数的等比数列，满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和.22．已知等差数列，且，，首项为1的数列满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求数列前项和.23．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列是各项均为正数的等差数列，，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记_____________，求数列的前项和.24．设数列的前项和为，已知，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值．25．已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设，数列的前项和为，求的最小值.26．已知数列：，，…，满足：①；②.记.（1）直接写出的所有可能值；（2）证明：的充要条件是；（3）若，求的所有可能值的和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据等式关系得到数列为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可.【详解】（），，即数列是等差数列，，，即，则公差，则（），所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.2．B解析：B【分析】由已知，取，则，得出数列是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解．【详解】因为数列中，，，所以取，则，所以数列是以2为首项，2为公差的等比数列，所以，又，即，即，解得，故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令，得出数列是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．3．C解析：C【分析】设1月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，由题意可知，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出即得解.【详解】设1月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，，即，年利润为元，故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系构造数列，求出新数列的通项关系.4．A解析：A【分析】利用递推关系式求出的通项公式，再求出的前项和为，即可求出的值.【详解】对任意的有，可得：，解得：，当时：，两式相减得，即，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，，所以，所以，当和时不等式成立，所以的值为或，故选：A.【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前项和公式，属于中档题.5．A解析：A【分析】由题意可知，直线与直线垂直，且直线过圆心，可求得和的值，然后利用等差数列的求和公式求得，利用裂项法可求得数列的前项和.【详解】由于直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率为，则，可得，且直线过圆的圆心，则，可得，，则，，因此，数列的前项和为.故选：A.【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得，进而得到，即可作出判定．详解：在等差数列中，，则，整理得，即，所以，又由，所以，所以前项和中最大是，故选C．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前项和的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得，进而得到是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．7．D解析：D【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.【详解】因为①，当时，，解得：，当时，②，①-②得：，即，所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，所以，所以，所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，，故选项不正确，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8．A解析：A【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到，，两式相除得到，即，与联立求得结果.【详解】设数列的公比为，且，则，，两式相除得，所以，又，所以，故选：A.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.9．A解析：A【分析】求出第行最后一项，可得第行为第一项，求出第行最后一项，根据第是等差数列求出，即可求出.【详解】易得第行最后一项为，则第行第一项为，第行最后一项为，故第行为第一项，最后一项为，项数为的等差数列，故，所以.故选：A.【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n项和的求法，属于中档题.10．A解析：A【分析】根据题意知，数列中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.【详解】对于选项A，假设：，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环；假设：，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环，综上，数列中不可能同时有1和2019两项，故选项A正确；由选项A知，选项B、D都不对；对于选项C，令，则，，所以，故选项C不正确.故选：A.【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.11．B解析：B【分析】根据题意得到，（n），两式做差得到，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列的前项和，（n）,两式做差得到（n），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到=，解得=1，故得到数列通项为，令n=5得到故答案为B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.12．C解析：C【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第个六边形数为，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得，将代入求得结果.【详解】记第个六边形数为，由题意知：，，，，，，累加得，即，所以，故选：C.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得解析：【分析】由题意可得，为常数，可得数列为等差数列，求得的图象关于点对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和．【详解】解：对，都有成立，可令即有，为常数，可得数列为等差数列，函数，由，可得的图象关于点对称，，，可得数列的前项和为．故答案为．【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．14．【分析】（1）直接根据已知条件得到即进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】∵∴数列是以为首项以3为公比的等比数列当时不适合上式数列的通项公式为故答案为：解析：【分析】（1）直接根据已知条件得到，即，进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】∵，∴，，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，．当时，．不适合上式，数列的通项公式为故答案为：【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.15．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得，则数列为公比q为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．【详解】直线经过坐标原点，是的一个法向量，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，点均在上，可得，即有，则数列为公比q为的等比数列，可得．故答案为．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用解析：【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值，再利用对数的运算性质，求得结果.【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数，且，∴，则，故答案为：.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】将已知等式变形为利用累加法可求得数列的通项公式可求得的表达式进而利用裂项求和法可求得数列的前项和【详解】已知数列满足且所以因此数列的前项和为故答案为：【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（解析：【分析】将已知等式变形为，利用累加法可求得数列的通项公式，可求得的表达式，进而利用裂项求和法可求得数列的前项和.【详解】已知数列满足，且，，所以，，，因此，数列的前项和为.故答案为：.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.18．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】解析：【分析】根据题意可得数列的通项公式，代入表示，根据数列是递增数列，所以得恒成立，参变分离以后计算.【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.故答案为：.【点睛】关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解或者.19．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：【分析】分别求出、的通项，再构建新数列，求出最大项后可得实数的最小值.【详解】因为，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，．当时，，是等比数列，也适合，故即，．又恒成立等价于恒成立，，令，则，当时，，当时，，故，．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律，即可确定最小时对应项数.【详解】单调递增，因此即，最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1），；（2）.【分析】（1）由可求得数列的通项公式，由已知条件计算出等比数列的公比，进而可求得等比数列的通项公式；（2）计算得出，利用裂项求和法可求得.【详解】（1）当时，；当时，.满足，所以，对任意的，.设等比数列的公比为，则，，解得，；（2），.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.22．（1），；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，结合，列出关于首项与公差的方程组，求出首项和公差，可得数列的通项公式及其前项和；（2）先求得，得到是为首项，为公比的等比数列，可得数列的通项公式：，再用错位相减法可得数列的前项和.【详解】（1）依题意，设数列的公差为因为，所以，故．故，（2）依题意，，所以是为首项，为公比的等比数列，，从而所以.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识点是等差数列通项公式与求和公式、等比数列前项和公式、错位相减求和，综合性强，难度中档．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：（1）掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列）；（2）相减时注意最后一项的符号；（3）求和时注意项数别出错；（4）最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.23．（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得的通项公式；（2）选①，求得，利用错位相减法可求得；选②，求得，分和两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得；选③，可得，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）因为、、成等比数列，所以，设等差数列的公差为，则，则有，①又，所以，②联立①②解得，所以；（2）选①，则，，上式下式得，化简得；选②，则，当时，，；当时，.综上；选③，则.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.24．(1)；(2)6．【分析】(1)利用求通项公式；(2)把拆项为，然后求和．【详解】(1)因为，则，当时，，即，即．∵，取，则，对也成立．所以是首项和公比都为2的等比数列，从而，所以．(2)由题设，，则．由，得，即，即，则.所以正整数的最小值为6．【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法；(2)倒序相加法；(3)裂