弹性力学试题含答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、 弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、_形变和位移。2、 在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、 在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、 物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、 弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、 已知一点处的应力分量。*T。。MPa，。广50MPan村=1°」员MPa，则主应力。1=150MPa，。2=0MPa，以］=3516'。8、 已知一点处的应力分量，。*=200MPa，。技。MPa，匚.=一4。。MPa，则主应力气=512MPa，b2=-312MPa，气=-37°57'。9、 已知一点处的应力分量，b*=—2000MPa，b,=1000MPa，^*技一400MPa，则主应力b1=1052MPa，b2=-2052MPa，气=-82°32'。10、 在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、 边界条件表示边界上位移与约束•或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、 按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、 每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、 为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、 在有限单元法中，单元的形函数N在i结点N=1；在其他结点N=0及乏N=1。20、 为了提高有限单元法分析的精度，’一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“V”，在错误命题后的括号内打“X”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（V）5、 如果某一问题中，七占乎占可MS只存在平面应力分量bX，^y，T.，且它们不沿Z方向变化，仅为x,y的函数，此问题是平面应力问题。（V）6、 如果某一问题中，£=y=y=0,只存在平面应变分量^,£,y,且它们不沿z方向变化,zzxzy xyxy仅为x,y的函数，此问题是平面应变问题。（V）9、 当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（V）10、 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（V）14、 在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（V）15、 在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（V）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1） b=Ax+By,b-Cx+Dy,t=Ex+Fy；（2） bx=A（x2+y2）,b=B（x2+y2）,txy=Cxy;其中，A,B,C,D,E,F为常数。db 0T——X+—y^=db 0T——X+—y^=0dx dydb dT ； +——X^=0dy dx（2）在区域内的相容方程旦+兰］G+b

(0X2dy2JXy；（3）在边界上的应力边界条件b+mT)=f(y)Xyx)—X；(4)对于多连体的位移单值条件。nb+lT/=f(y)（1） 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2） 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A二B二-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量bx=-Qxy2+C]x3,b=—；C2xy2,tx=_C2y3—qX2y，体力不计，q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1,C2,C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程

8。8c―*+_^=0TOC\o"1-5"\h\z8x 8y18。 8c +——y=08y 8x

-Qy2+3Cx2-3Cy2-Cx2=0-3Cxy-2Cxy=023由x,y的任意性，得由x,y的任意性，得由此解得，C1=Q，C2=-Q3，3C-C=013{Q+3C=0

23C+2C=023八QC=Q33、已知应力分量3、已知应力分量。=—q，。y=—q，cxy=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量。解：将已知应力分量。x=-q，。y=—qcxy=0，代入平衡微分方程TOC\o"1-5"\h\z8。 8c :——+——y^+X=08x 8y8。 8c—+——+Y=08y 8x可知，已知应力分量。x=_q，。y=—q，cxy=o一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：82 82 82C——（。-v。）+——（。-v。）=2（1+v） 8y2xy8x2yx 8x8y将已知应力分量。x=-q，。y=—q，cxy=0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：82 v 82 v282c布（。'一声。y）+左（。y—声。x）=声忌将已知应力分量。x=-q，。y=—q，cxy=0代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在（1）£=Axy，£=By3，y—C—Dy2；（2）£x=Ay2，£y=Bx2y，yxy=Cxy；（3）£x=0，£y=0，yxy=Cxy；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即a2£82£ a2y + = x^8y2 8x2dxdy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1） 相容。（2） 2A+2By=C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3） 0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则£x=0，£y=0，y.=0（1分）。5、证明应力函数^=by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b。0）。h/2°——, l/2 l/2 』解：将应力函数^=by2代入相容方程可知，所给应力函数平=如2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为a20 a2甲 a2®八b= =2b，b= =0，t=— =0xa2 ‘yax2 ‘xyaxay对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：=0，f=—（by）广0；y=—

2=0，f=—（by）广0；y=—

2上边，y=—，l=0，m=—1，f=—（T）2 xxyy=-h2

h — 一一 一下边，y=2,l=0,m=1,f^=(t冲)h=0,了y=(。「^=0；下边，y-2 y=2左边，x=——2'l=-1Jm=左边，x=——2'l=-1Jm=0，f=—(。) =-2b，xxx=—2右边，lx=—2，1=1，m=0，f=(。) =2b，xx1

x=2f=(Tyxy)=0。1x=2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数^=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数中=oxy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，1。。）。Oh/2xih/2. 1/21/2解：将应力函数甲=。^代入相容方程竺rW+竺=0dx4 dx2dy2dy4可知，所给应力函数甲=ixy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为d2甲 82中 机甲^x=节小y=8T°'T、、=一同=一"对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h上边，y=-2，1=0，m=-1，fx=_(Txy) hy=-2=a，f=-(叩五=0；y yy=-2下边，y=2，1=0，m=1，f=(T ) =-1x xy hy=2，f=(。)=0；yy日l左边，x=-2，1=-1m=0，，ffx)1x=-2=0, "xy)侦。；2l右边，x=2，1=1，m=0，f=(b) =0，x xLx=2fy=(Txy)1=~a。x=2

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数中=。勺能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为P，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。X1解:根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设、=。。亦竺=0亦竺=0xdy2将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

中(X,y)=f1(x)y+f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得y^^^i^Xl+d4f2(X)=0

dx4 dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系数和自由项都应该等于零，即d4f1(x)=0 d4f2(x)0dx4 ' dx4这两个方程要求f(x)=Ax3+Bx2+Cx+1， f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得中=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2对应应力分量为。=竺=0xdy2d20b=—=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyt=—d20=-3Ax2-2Bx-C

xydxdy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，l=T，m=0，沿y方向无面力，所以有-(Txy)x=0=C=0右边，x=b，I=1，m=0，沿y方向的面力为q，所以有(t)广-3Ab2-2Bb=q

上边，y=0,l=0,m=-1,没有水平面力，这就要亵.在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即j担)0dx=0将Txy的表达式代入，并考虑到C=0，则有jb(—3Ax2—2Bx)dx=-Ax3—Bx2|b=-Ab3-Bb2=0而j(Txy)y=0'0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要将y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零,即jb(c)dx=0， jb(c)xdx=00yy=o ' 0yy=0将。y的表达式代入，则有由此可得应力分量为j0b(6E2E)d*2+2代=3应2+2E曲

jb(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2b=2Db3+Eb2=0由此可得应力分量为0 0=qx(3^—2

Xbxxy"bA=—b^，B=%，C=0，D==qx(3^—2

Xbxxy"b虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。即体力分量可以表示为8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为工dV d2平fy=-司，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，bx +V82平TxyF，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x，^y，Txy应当满足平衡微分方程OcOtOV—-卜——y^--—=0OxOyOxS（1分）OcOtOV—+——-——=0OyOxOy还应满足相容方程+fj« >4+^Ygx当］（对于平面应力问题）3尤2Qy2Jxy ^dxoyJ（对于平面应变问题）f旦+旦节&l-Tf也+°L]^Qx2Qy2Jxy1-此QxOy/（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为K…哼=。\、一of）Oc-V4—^y=。Oyy Ox这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为O3峭匕）根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得T7OA OAC—V=—— —T=——xO^yxOx同样，将第二个方程改写为国一V以•y*）（1分）可见也一定存在某一函数B（x，y），使得“OB OBC—V=——，—T=——

y O^ yxOy由此得O^OBOxOy因而又一定存在某一函数中G,y），使得A也B史Oy， Ox代入以上各式，得应力分量

b=d2®+vb=d2®+vtxdy2 'ydx2 'xydxdy为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数®G,y)必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得u+mr冲分量代入平面应力问题的相容方程，得u+mr冲[dx2dy2)[8y2+V+冒+V]=(1+旦d2d2，——+——dx2dy2Jd2'd2'd2.丫竺+华人dy2dx2J=-2V+<1+^jF+F[dx2dy2J简写为V4甲=-(1*)简写为V4甲=-(1*)V2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得(d2d2Yd冲Lu[dx2 dy2)[+V+竺+Vdy2 dx2)=1rd2d2)_LJ1*[dx2dy2JVd"d2d"d2T竺+竺]Jldy2 dx2J=-2V+」(d2d2，

一+)2J1一旦"办2dy简写为… 1-2u_V4件―一V2V

1-p9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P,试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为中=ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为d2®b=d2®b= xf=2cx+6dy,xdy2 x 'd2®by=相一yfy=6ax+2by-Pgy,Txy=—■Syf-2cy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y=0，l=。，m=-1，没有水平面力，所以有

-(t)0=2bx=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-（。）=6ax=0对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为c=2cx+6dy，b=-pgy，t=-2cyX y xy斜面，y=斜面，y=xtana，l=cos-=-sina.m=cosQa）=cos以，没有面力，所以有4b+mT ) =0/x yx¥=xtana\nc+It ) =0ly xyy=xtana由第一^方程，得-(2cx+6dxtan以*in以-2cxtan以cos以=-4cxsin以-6dxtan以sin以=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求-4c-6dtana=0由第二个方程，得2cxtanasina-pgxtanacosa=2cxtanasina-pgxsina=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求由此解得从而应力分量为2ctana-pg=0（1由此解得从而应力分量为1 / 1c=^pgcota(1分)，d=--pgcot2ab=pgxcota-2pgycot2a,b=-pgy,t=-pgycotax y xyh设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tana=-。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方1/向的分量为0，沿y方向的分量为-；pglh。因此，所求cx在这部分边界上合成的主矢应为零，txy应当合成为反力-2pglh。jh(b)dy=jh^pglcota-2pgycot2a^dy=pglhcota-pgh2cot2a=0

0xx=l 0jhC)dy=jh(-pgycota)dy=-—pgh2cota=—pglh

0xyx=l 0 2 2可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角a，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为P1，液体的密度为P2，试求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与P1g成正比(g是重力加速度)；另一部分由液体压力引起，应当与P2g成正比。此外，每一部分还与a，X，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，P1g和P2g的量纲是L-2MT-2，a是量纲一量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是APigX，BPigy，CP2gX，DP2gy四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设中-ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为d2^ n一， 82中 。…