2023届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题

2023届四川省绵阳市高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，再求交集即可.【详解】由，可得，由，可得，所以.故选：B2．若命题:“，”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由不等式恒成立转化为求的最小值，从而得参数范围．【详解】因为命题“，”是真命题，所以，因为，所以，所以，所以实数的取值范围是.故选：A．3．若，则一定有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦函数、指数函数、反比例函数和幂函数单调性依次判断各个选项即可.【详解】对于A，在上单调递增，当时，，A错误；对于B，在上单调递增，，即，B错误；对于C，在上单调递减，，C错误；对于D，在上单调递增，，D正确.故选：D.4．设，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由换底公式化简后，对数式改写为指数式即可．【详解】因为，∴．故选：A．5．已知是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用等差数列前项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入即可得到..【详解】因为数列为等差数列，，解得.故选：B6．在中，点为边上一点，，若，则（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.【详解】由得，所以，所以，即，故选：C.7．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在处函数值的正负排除B和C,得出结果.【详解】,为偶函数,排除A.,排除B和C.故选:D.8．已知曲线在点处的切线方程为,则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.【详解】根据导数的运算公式,当时,,,即.满足方程,即,.故选:A.9．若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，由于，则，因为，所以可得：，故选：C10．某地锰矿石原有储量为万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的（，且为常数）倍，那么第（）年在开采完成后剩余储量为，并按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半．若开采到剩余储量为原有储量的70%时，则需开采约（

）年．（参考数据：）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根据题意得关系式，进而根据指数与对数式的互化即可求解.【详解】设第年开采完后剩余储量为，则，当时，，所以，，故，进而，设第年时，，故，故,故选：B11．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用三角诱导公式化简表示出，然后运用正切的半角公式可求.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D.12．若函数的定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的是（

）A．的一个周期为 B．C．的一条对称轴为 D．【答案】D【分析】令，则得是偶函数，的图象关于点对称，然后得出的图象关于直线对称，又关于点对称，再根据周期性、对称性、奇偶性推理可得．【详解】令，则是偶函数，关于点中心对称，为偶函数，则的图象关于直线对称，，关于点成中心对称，则的图象关于点对称，，，是奇函数，是周期函数，周期是4，2显然不是函数的周期，也不是的周期，A错；，，∴，不是函数图象的对称轴，也不是图象的对称轴，C错；，因此，D正确，，，，，∴，B错．故选：D．【点睛】结论点睛：（1）函数的图象关于直线对称，又关于点对称，则是周期函数，是其一个周期；（2）函数的图象既关于直线对称，又关于直线对称，则是周期函数，是其一个周期；（3）函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则是周期函数，是其一个周期．二、填空题13．在正方形中，，则正方形的边长为___________.【答案】5【分析】利用向量的数量积的定义直接求得.【详解】在正方形中，.设，则，解得：.所以正方形的边长为5.故答案为：5.14．若等比数列的各项均为正数，且，则___________.【答案】31【分析】设出公比，根据等比数列通项公式基本量计算得到公比和首项，代入前项和公式即可.【详解】设等比数列的公比为，因为所以，因为，解得：，又因为，解得，则.故答案为：31.15．函数，则满足不等式的的取值范围为___________.【答案】【分析】根据函数的解析可判断函数的单调性，从而可得关于的不等式，故可求其取值范围.【详解】当时，，故在上为增函数，当时，，故在上为增函数，而，故为上的增函数，故，解得或，答案为：.16．某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为______米．【答案】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，根据三角函数的定义有，地面与坐标系交线方程为，则第10分钟时他距离地面的高度大约为米.故答案为：三、解答题17．已知函数.(1)求函数的单调递减区间;(2)求在上的解.【答案】(1)(2)【分析】（1）现根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数得性质结合整体思想即可得出答案；（2）由，得，再求出得范围，从而可得出答案.【详解】（1）解：，令，解得，函数的单调递减区间为；（2）解：由，得，，，解得.18．已知等差数列满足：(1)求数列的通项公式;(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“基本量”法，即可求解.（2）利用裂项相消,即可求和.【详解】（1）解：由题意得：，解得：，所以，（2）解：，所以数列的前项和.19．在锐角中，角所对的边为，且.(1)证明:(2)若，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由正弦定理化简可得，即可证明.（2）因为△ABC为锐角三角形，可求出的范围，即可求出的范围，由正弦定理化简，可求出的取值范围.【详解】（1）∵，由正弦定理，得，即，∴，∴或（舍），即，（2）由锐角△ABC，可得，，．即，∴．由正弦定理可得：，所以.所以的取值范围为：.20．已知函数.(1)当时，求函数的极值;(2)若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)极大值0，极小值(2)【分析】(1)求导，根据导函数与零的大小关系判断函数的单调性即可求解；(2)根据导函数的零点得出函数在上恰有两个零点，则满足，再根据零点存在性定理，列出不等式组，解之即可求解.【详解】（1）由题意得.当时，由，得或.由，得.函数在上单调递减，在和上单调递增.当时，函数取极大值，函数的极大值为，当时，函数取极小值，函数的极小值为.（2）由（1）可知：当或时，函数在上为单调函数，最多只有一个零点.当时，函数在上单调递增，在上单调递减.要使函数在上有两个零点，则需满足:且解得：.21．已知函数.(1)讨论函数在区间上的单调性;(2)当时，，求.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由导数与单调性的关系求解，（2）构造函数证明不等式后转化求解，【详解】（1），则①当时，，故在上单调递增，②当时，由得，解得，当或时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，（2），则令，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，即，当且仅当时等号成立，当时，不等式恒成立，当时，，不等式即恒成立，得当时，，不等式即恒成立，得综上得，下面进行检验，当时，由得或，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，，故时满足题意．22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．(1)判断直线和圆的位置关系，并说明理由；(2)设是圆上一动点，，若点到直线的距离为，求的值．【答案】(1)直线和圆C相离；理由见解析(2)【分析】（1）把直线方程和圆的方程都化为普通方程，利用圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系.（2）用参数方程表示点坐标，利用点到直线距离求值，再计算向量坐标和向量数量积.【详解】（1）圆的参数方程为（为参数），消参得圆C的普通方程为，圆心坐标为，半径为3．直线的参数方程为（为参数），消参得直线的普通方程为．∵圆心C到直线的距离，∴直线和圆C相离．（2）设，由点到直线