2023届北京市顺义区高三二模数学试题

2023届北京市顺义区高三二模数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.【详解】根据并集的运算可知，.故选：A.2．若圆与y轴交于A，B两点，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.【详解】联立得，故A、B坐标为，即.故选：D3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；对于B，设，函数的定义域为R，且满足，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，又函数在上单调递减，故D不符合题意.故选：B.4．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，由条件列方程求.【详解】抛物线的准线方程为，双曲线的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为，因为抛物线的准线过双曲线的一个焦点，所以，所以，故选：C.5．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数值，作出函数的图象，数形结合，即可求得答案.【详解】由可得定义域为，则，且在上单调递减，令，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，当时，趋近于负无穷小，故，且，故可作出函数的图象如图：由此可知不等式的解集是，故选：C6．如图，在矩形中，，点P为的中点，则（

）A．0 B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性加减法法则运算与数量积公式运算即可求解.【详解】\故选：B.7．在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（

）A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条【答案】D【分析】过点作，垂足为，连接，当，高度一样，即时，一定有，进而求解.【详解】过点作，垂足为，连接，当，高度一样，即时，一定有，理由如下：在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，所以，即.所以当，高度一样，即时，一定有，此时满足条件的直线有无数条.故选：D.8．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据已知条件及两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为，且角与角的终边关于轴对称，，.所以.故选：B.9．已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为是无穷等差数列，若为递增数列，所以公差，令，解得，表示取整函数，所以存在正整数，有，故充分；设数列为5，3，1，-1，…，满足，但，则数列是递减数列，故不必要，故选：A10．2022年足球世界杯在卡塔尔举行，32支参赛队通过抽签分为八个小组．每个小组分别有4支球队，共打6场比赛，每支球队都必须和同组其他3支球队进行且只进行一场比赛．小组赛积分规则为：胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分，每个小组积分前两名的球队出线．若小组赛结束后，同一小组的甲、乙两支球队分别积6分和5分，则（

）A．甲、乙两队一定都出线 B．甲队一定出线，乙队可能未出线C．甲、乙两队都可能未出线 D．甲、乙两支球队至少有一支未出线【答案】A【分析】根据甲、乙两支球队的分数确定这两支球队的得分情况，再结合另外二队的比赛情况分类讨论进行判断即可.【详解】设同一组的另两支球队分别为丙、丁，因为每支球队要进行三场比赛，甲、乙两支球队分别积6分和5分，所以甲球队二胜一负，乙球队一胜二平，显然乙球与丙、丁两支球队平，胜甲，甲球队胜丙、丁，此时丙丁两队一负一平，积分1分，若丙胜丁，最后丙得4分，丁得1分，若丙与丁平，最后丙丁都得2分，若丁胜丙，最后丙得1分，丁得4分，因为每个小组积分前两名的球队出线．所以甲、乙两队一定都出线，故选：A二、填空题11．已知复数,则_____．【答案】【分析】根据复数的计算及模长意义即可求出．【详解】复数z，则|z|，故答案为．【点睛】本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题．12．在的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可.【详解】设展开式中通项为：令，则.故答案为：三、双空题13．设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________．【答案】

【分析】由等比数列通项公式可求出从而求出,再代入等比数列前项和公式即可求出.【详解】由,又因为,所以;所以；故答案为:8；.四、填空题14．能说明“若对任意的都成立，则在上单调递增”为假命题的一个函数是_________．【答案】（答案不唯一）【分析】举例，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】令，则对任意的都成立，但在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上不是增函数.故答案为：.15．已知，均为正数，并且，给出下列四个结论：①中小于1的数最多只有一个；②中小于2的数最多只有两个；③中最大的数不小于2022；④中最小的数不小于．其中所有正确结论的序号为_________．【答案】①②③【分析】对于①②③，用反证法可以证明；对于④，举出反例说明其错误.【详解】对于①,假设存在两个小于1的正数,不妨设,则,则,这与矛盾,故中小于1的数最多只有一个,①正确;对于②,假设存在3个小于2的正数,不妨设,则,则，这与矛盾,故中小于2的数最多只有两个,②正确;对于③,假设,则,则与矛盾,故中最大的数不小于2022,③正确;对于④,不妨假设中最小数为,取,则取,则,即说明中最小的数可以小于,④错误,故答案为:①②③【点睛】方法点睛：对于关于最多或最少类命题的解决方法，一般可采用反证法；对于多个数中的最大数或最小数的范围判断问题，可以用反证法说明反面不成立，证明原命题成立，也可以举反例说明命题不成立.五、解答题16．在中，．(1)求b；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解，（2）根据题目要求可知只能选择条件②或③，根据余弦定理求解，即可根据三角函数的性质求解正弦，进而由面积公式即可求解.【详解】（1）因为，在△中，由正弦定理，可得：，又因为，所以.（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①选择条件②设边上的中线为，则，，在△中，由余弦定理得：，因为，，所以，所以△的面积为.选择条件③方法1：由题设，因为，所以，因为，所以因为，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因为，，所以，所以△的面积为.方法2：由题设，因为，所以，因为，所以在△中，因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，因为，所以，所以△的面积为.方法3：因为且，所以或，因为，所以，又因为，所以即，所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，由勾股定理，所以△的面积为.17．如图，在长方体中，，，E是的中点，平面与棱相交于点F．(1)求证：点F为的中点；(2)若点G为棱上一点，且，求点G到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法1：利用面面平行的性质可得，由已知条件可证，进而利用中位线证明即可；方法2：由已知条件可证，根据线面平行的判定定理可证平面，再利用线面平行的性质证明，最后利用中位线证明即可；（2）方法1：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据垂直关系的数量积坐标运算得到G点坐标，利用点到平面的向量坐标运算公式求解即可；方法2：连接，利用线面垂直的判定定理可证平面，根据线面垂直的性质可得，利用垂直关系可得，进而求出，求出各边长度，利用余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，，利用等体积法和三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：方法1：因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，连接，因为，，所以四边形是平行四边形.所以，.因为是的中点，所以点为的中点.方法2：连接.因为，，所以四边形是平行四边形.所以因为平面，平面，所以平面，因为平面ACE，平面平面，所以.所以.因为是的中点，所以点为的中点.（2）方法1：因为，，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，设，则，由，得，即，所以，则，所以点到平面的距离.方法2：连接，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面，又平面，所以.在平面内，由，可得，由勾股定理求出，，，在中由余弦定理得，则，，，设点到平面的距离为d，由，得，所以点到平面的距离为.18．精彩纷呈的春节档电影丰富了人们的节日文化生活，春节小长假期间大批观众走进电影院．某电影院统计了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下数据：影片排片场次上座率（％）A1236

42

45

50

57

62

68

73

80

85

88

94B1035

40

46

52

65

65

78

84

90

95C935

38

47

55

60

65

73

82

85D934

37

46

54

60

64

72

81

84(1)从以上所有排片场次中随机选取1场，求该场的上座率大于70%的概率；(2)假设每场影片的上座率相互独立．从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，求这3场中至少有2场上座率大于70%的概率；(3)将影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的方差分别记为和，试比较和的大小．（结论不要求证明）【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)找出所有场次中的上座率大于70%的场次除以样本总数即可.(2)从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，求出每场的上座率大于70%的概率，用相互独立事件的乘法计算公式计算即可.(3)观察影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的波动性，即可比较大小.【详解】（1）记“从以上所有排片场次中随机选取1场，该场的上座率大于70%”为事件.影片A，B，C，D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15，所以.-（2）记“从影片A，B，C的以上排片场次中各随机抽取1场，每场的上座率大于70%”分别为事件.其中，，;这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为.（3）设影片C和影片D在该电影院正月初一的上座率的均值为；；；，故.19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最大值和最小值；(3)设，证明：对任意的，有．【答案】(1)y=1(2)最小值1，最大值.(3)证明见解析【分析】（1）先求出在处的导数，再根据点斜式直线方程求解；（2）求导，判断导数的符号，求出的单调性，根据单调性求解；（3）运用同构的思想构造函数，根据单调性证明.【详解】（1），，在点处的切线方程为.（2），是偶函数，则，单调递增，，

，

在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取最小值1，当或时，取最大值.（3）要证明对任意的，有，只需证明对任意的，有，，，在上上单调递减，，.20．已知椭圆过点和，且．(1)求椭圆的方程；(2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由题意可得的值，即可得椭圆方程；（2）设直线的方程为，设，，与椭圆联立得交点坐标关系，从而可得两点的横坐标，由可得，进行坐标运算即可得的值．【详解】（1）由题意可知：所以椭圆C的方程为.（2）直线的方程为，设，，直线与椭圆方程联立可得：，消去可得：，则.直线的方程为：，令可得，直线的方程为：，令可得.，法一：易知与异号法二：

【点睛】，，然后由得，利用坐标关系化简，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21．已知实数集，定义．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．【答案】(1)(2)或者.(3)13【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；（3）分中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.【详解】（1）;（2）首先，；其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.记，不妨设或者--①当时，，相乘可知