2023届四川省雅安市高三零诊考试数学（文）试题

2023届四川省雅安市高三零诊考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】解出不等式，求出，然后根据补集运算可得答案.【详解】因为，集合，所以，故选：C2．复数（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】．故选：A.3．某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（

）A．8月每天最高气温的平均数低于35℃B．8月每天最高气温的中位数高于40℃C．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差【答案】D【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方差的意义逐项分析判断作答.【详解】由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，对于A，8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃，25日至28日的每天最高气温的平均数大于35℃，29日至31日每天最高气温大于20℃小于25℃，与35℃相差总和小于45℃，而每天最高气温不低于40℃的有7天，大于37℃小于40℃的有8天，它们与35℃相差总和超过45℃，因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃，A不正确；对于B，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月每天最高气温的中位数低于40℃，B不正确；对于C，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C不正确；对于D，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D正确.故选：D4．已知且，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件判断出角所在的象限，再运用同角关系算出即可.【详解】由题意，，角在第四象限，；故选：A.5．函数在上的图象大致是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和特殊值求得正确答案.【详解】，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AB选项.，所以，所以，排除C选项.所以D选项正确.故选：D6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（

）A．20 B．40 C．70 D．112【答案】C【分析】根据程序框图的步骤，进行计算，可得答案.【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；第一次循环，由，则，又由，则进入循环；第二次循环，由，则，又由，则进入循环；第三次循环，由，则，又由，则进入循环；第四次循环，由，则，又由，则输出.故选：C.7．中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少．”意思是“今有竹9节，下部分3节总容量4升，上部分4节总容量3升，且自下而上每节容积成等差数列，问中间二节容积各是多少？”按此规律，中间二节（自下而上第四节和第五节）容积之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列的第5项及公差列出方程组，求解作答.【详解】依题意，令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为，其公差为，于是得：，即有，解得，所以中间二节容积之和为.故选：A8．已知函数．若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）．A．2 B． C．5 D．8【答案】C【分析】由可求得函数图像的对称中心，结合正弦型函数的性质，可求的最小值.【详解】函数，由可知函数图像的一个对称中心为，所以有，解得，由，当时，有最小值5.故选：C9．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由几何概型公式可知，所求概率为阴影部分面积与矩形面积之比.【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1，则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的，再减去一个小正方形，阴影部分面积为，矩形的面积为6，由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为，故选：C10．如图，在等腰直角中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】设，然后可得，然后根据二次函数的知识可得答案.【详解】因为在等腰直角中，斜边，所以，因为、，所以，设，则，所以当时，取得最小值，故选：B11．已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A为一个顶点，D，F，F分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据给定的正三棱柱，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断每个图形即可作答.【详解】令棱长均相等的直三棱柱为，令的中点为O，的中点为，，连接，显然，而平面，则平面，而，以点O为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，对于①，点A，D，F分别与点P，O，重合，点E为棱中点，则，，有，因此，图①满足；对于②，点A与点P重合，点D，E，F分别棱的中点，有，，，与不垂直，图②不满足；对于③，点A，D，E分别与点P，，O重合，点F为棱的中点，有，，，与不垂直，图③不满足；对于④，点A，F分别与点N，重合，点D，E分别棱的中点，有，，，因此，图④满足，所以满足直线的图形个数是2.故选：B12．设，，，则的大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】观察，构造函数约定，求导证明函数在是增函数，根据可以判断；同时令构造函数约定，利用导数判断函数在亦是增函数，根据可得，进而得到.【详解】由，，令，构造函数，，则，因为，所以得，下面说明，因为，所以，即，所以，所以当时，，所以在是增函数，因为，所以，即，整理可得，即，因为，，令，构造函数，，则，令，则，故在是增函数，所以，所以在是增函数，所以，即，所以，即，综上，.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.二、填空题13．若实数x，y满足，则的最大值是______．【答案】4【分析】首先画出可行域，再根据中的几何意义求最大值.【详解】根据满足的条件画出可行域，所以当直线过点时，取得最大值，由解得，所以的最大值是．故答案为：14．给出两个条件：①，；②当时，（其中为的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数______．（写出一个满足条件的函数即可）【答案】（答案不唯一）【分析】由条件①可选指数函数，由条件②可选单调减函数，结合①②写出函数式作答.【详解】由，知，函数可以为指数函数，因当时，，则函数在上单调递减，所以函数可以为.故答案为：15．已知数列的前n项和为，且．若对任意，恒成立，则t的取值范围是______．【答案】【分析】利用求得，结合等比数列的知识求得的取值范围.【详解】，当时，；，当时，，两式相减得，也符合，所以，，，所以是等比数列，，是首项为，公比为的等比数列.，对任意，恒成立，所以，所以的取值范围是.故答案为：16．如图所示的三棱锥中，为等腰直角三角形，且，侧棱，，则经过该三棱锥四个顶点的球的表面积为______．【答案】【分析】根据给定的条件，确定的外接圆圆心及半径，再探求三棱锥外接球球心O的位置，求出球半径即可计算作答.【详解】在中，，，，由余弦定理得，等腰中，，的外接圆圆心为的中点，为正三角形，其外接圆圆心是正的中心，，如图，连，，等腰中，，，则，令三棱锥外接球球心为O，连接，则平面，而平面，有，同理，而平面，因此平面，因平面，于是得平面，显然平面与平面有公共点，即平面与平面重合，即有平面，而，从而得，而平面，有，因此三棱锥外接球半径R，，所以三棱锥外接球的表面积.故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.三、解答题17．某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：良好及以下优秀合计男450200650女150100250合计600300900(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？(2)事先在本次体测等级为“优秀”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．附表及公式：其中，．【答案】(1)有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系(2)【分析】（1）按由题可得，进而即得；（2）利用列举法结合古典概型概率公式即得。【详解】（1）由题可得，故有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）由题可得所抽取的6名学生中女生2人，记为，，男生4人，记为，，，．从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．其中至少有一名女生的基本事件，，，，，，，，，有9个．所以，抽到的2人中至少有1名女生的概率．18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若的面积为，求周长l的最小值．【答案】(1)(2)12【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）利用的面积求得，结合基本不等式求得周长l的最小值．【详解】（1）由，根据正弦定理，得，即，则有，由于，所以．（2）由题，，则．又由（1）知，则周长，当且仅当取“”，同时解得，所以，周长l的最小值为12．19．如图①，为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC上靠近A的三等分点，现将沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，满足，如图②所示．(1)若H为PC上靠近P的一个三等分点，求证：直线平面PBE；(2)求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由面面平行或线线平行证明线面平行，证平面平面PBE或证即可.（2）棱锥的底面为等腰梯形，证明面面垂直作出棱锥的高，分别计算棱锥的底面积和高即可.【详解】（1）方法1，在BC上取靠近B的三等分点Q，连接FQ，HQ，，则，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，又知，所以，又平面PBE，平面PBE，所以平面PBE，平面FHQ，平面FHQ，，所以，平面平面PBE，平面FHQ，所以，直线平面PBE．方法2，连接AP，则AP是平面PAB与平面PAC的交线，可知，所以，又平面PBE，平面PBE，所以，直线平面PBE．（2）取BC中点G，连接AG，并交EF于点D，连接PD，为等边三角形，，∴，，平面PDG，平面PDG，，可知平面PDG，平面，∴平面平面PDG．由余弦定理，，则，可知，为等边三角形，边长为．作于O，则平面BCFE，可得，即四棱锥的高．设四棱锥的体积为V，则．20．已知数列的前n项和为，且，，．(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】(1)要证明数列是等比数列，需要把已知递推公式变形为等于非零常数，求出数列的通项，再利用累加法求的通项公式.(2)求出，不等式等价于恒成立，令，利用单调性求的最大值即可.【详解】（1）由，得，则，又，则，所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．则，则时，．当时，满足上式，所以，的通项公式为．（2）由（1）可知，数列的首项为1，公比为2的等比数列，则，由，即恒成立．令，则，则时，，即数列递增；当时，，即数列递减，则的最大值为，所以，实数的取值范围是．21．已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若时，求证：．【答案】(1)极大值；极小值0(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得的的单调区间，进而求得的极值.（2）利用多次求导的方法求得在处取得极大值，且极大值，从而证得成立.【详解】（1）当时，，则，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增．所以，时，取得极大值；时，取得极小值．（2）由得，，．令，则，又设，则，则时，即单调递增；时，即单调递减，所以在处取得极大值，且极大值．因为时，所以，所以，即单调递减，又，则时，，单调递增，时，，单调递减，可知在处取得极大值（也即是最大值），且极大值，所以．【点睛】利用导数研究函数的最值，若一次求导无法求解出时，可考虑多次求导的方法进行求解.求解过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系.22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当时，(1)求E的极坐标方程；(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且，求的面积的最大值．【答案】(1)；(2)．