2023届新疆乌鲁木齐地区高三二模数学（文）试题

2023届新疆乌鲁木齐地区高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合M，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，即，而，所以.故选：B2．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】运用复数除法的运算法则和复数加法的运算法则化简复数，最后判断出复数在复平面内对应的点的位置.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限内.故选：D.3．已知向量，，满足，，，，则（

）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】利用向量运算的坐标表示以及模长公式求解.【详解】设，因为，，，，所以，解得，所以，所以，故A，B，C错误.故选：D.4．中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线AB与地面所成的角为，且则甲、乙两地之间的距离约为（

）A．8千里 B．10千里 C．12千里 D．14千里【答案】C【分析】根据给定条件，求出甲地、乙地的日影长，即可计算甲、乙两地的距离作答.【详解】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸，于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸，所以甲、乙两地之间的距离是12千里.故选：C5．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合函数单调性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，因为，则故，解得：，则不等式的解集为.故选：A．6．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式求解作答.【详解】因为，，则，，所以.故选：A7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，设出双曲线方程并求出实半轴长a，再求出双曲线过的点的坐标，代入方程求解作答.【详解】依题意，设双曲线方程为，则，显然圆O的半径为3，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是，解得，所以双曲线的方程为.故选：A8．下图为2012年-2022年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（

）A．2012年-2022年电子信息制造业企业利润总额逐年递增B．2017年-2022年工业企业利润总额逐年递增C．2012年-2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速D．2019年-2022年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值【答案】C【分析】根据给定的折线图，逐项分析、计算即可判断作答.【详解】对于A，2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负数，从2017年到2018年利润总额下降，A错误；对于B，2019年工业企业利润总额增速为负数，从2018年到2019年润总额下降，B错误；对于C，2012年-2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，因此利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速，C正确；对于D，2019年-2022年工业企业利润总额增速的均值为，2019年-2022年电子信息制造业企业利润总额增速的均值为，，D错误.故选：C9．已知，则（

）A． B．9 C． D．16【答案】C【分析】根据给定条件，利用对数运算性质、指数式与对数式互化，及指数运算计算作答.【详解】因为，则，因此，所以.故选：C10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象B．在上的值域为C．若，则D．的图象关于点中心对称【答案】D【分析】利用三角恒等变换化简函数，再逐项分析、计算判断作答.【详解】依题意，函数，对于A，将的图象向右平移个单位长度得，A错误；对于B，，则，有，因此，B错误；对于C，由得：，则或，于是，即有，C错误；对于D，当时，，即的图象关于点中心对称，D正确.故选：D11．如图，在棱长为a的正方体中，M，N，P分别是的中点，Q是线段上的动点，则下列命题：①不存在点Q，使平面MBN；

②三棱锥的体积是定值；③不存在点Q，使平面QMN；

④B，C，D，M，N五点在同一个球面上．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】当Q为的中点时，证明判断①，证明判断③；利用等体积法分析判断②；构造长方体判断④作答.【详解】对于①，当Q为的中点时，连接，因为P是中点，则，而M，N分别是的中点，有，即四边形是平行四边形，因此，平面，平面，所以平面，①错误；对于③，当Q为的中点时，连接，因为平面，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，同理，因为，从而，而平面，所以平面，③错误；对于②，面积是定值，而点Q到平面的距离为棱长a，三棱锥的体积为定值，②正确；对于④，取的中点，连接，则几何体是长方体，所以B，C，D，M，N五点在长方体的外接球球面上，④正确，所以正确命题的序号是②④.故选：D12．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，点D在边BC上，且，则线段AD长度的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求出，再借助平面向量运算及均值不等式求解作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，则，整理得，而，于是，两边平方得：，而，，解得，因为点D在边BC上，且，有，因此，从而，当且仅当时取等号，所以当时，线段AD的长度取得最小值.故选：B【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】4【分析】根据给定条件，作出不等式组表示的平面区域，再借助目标函数的几何意义求解作答.【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，，所以的最大值为4.故答案为：414．函数的图象在处的切线方程为____________【答案】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求解作答.【详解】函数，求导得：，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为.故答案为：15．设分别为椭圆的左、右焦点，A为短轴一个端点，直线交椭圆C于另一点M，且，则椭圆C的离心率是____________．【答案】【分析】根据给定条件，利用勾股定理求出的长，再借助余弦定理建立关系式求解作答.【详解】令椭圆C的半焦距为c，依题意，，设，由椭圆定义得，则，因为，即有，则，即，解得，因此，，在中，由余弦定理得：，于是，即，所以椭圆C的离心率.故答案为：16．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所示的体心立方晶胞中，原子A与B（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，且原子B与8个原子A均相切已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为，则当图（1）中所有原子（8个A原子与1个B原子）的体积之和最小时，原子A的半径为____________．【答案】【分析】根据给定的几何体，用原子A的半径表示8个A原子与1个B原子的体积之和，再借助导数求解作答.【详解】因为正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为，设A原子的半径为，B原子的半径为，依题意，，即，于是8个A原子与1个B原子的体积之和，令，求导得：，由得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，即当时，取得最小值，所以8个A原子与1个B原子的体积之和最小时，原子A的半径为.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及几何体的体积最值问题，可以引入一个变量，把体积建立为该变量的函数，再借助导数探讨求解.三、解答题17．某校用随机抽样的方法调查学生参加校外补习情况，得到的数据如下表：

分数等级人数不及格及格良好优秀学生人数8522911参加校外补习人数51573(1)从中任取一名学生，记“该生未参加校外补习”，“该生成绩为优秀”．求及；(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关？附：，其中【答案】(1)，【分析】（1）根据给定的数表，利用古典概率公式计算作答.（2）列出列联表，求出的观测值，再与临界值表比对即可作答.【详解】（1）依题意，

.（2）由已知得列联表：参加校外不参加校外合计成绩优秀或良好103040成绩不为优秀或良好204060合计3070100的观测值为所以不能在犯错误的概率不超过为0.1的前提下认为学生成绩优秀或良好与校外补习有关．18．在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用等差中项及等比数列通项公式计算即可.（2）运用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题意知，，又，∴，∴，故.（2）由（1）得，∴．19．如图，在三棱柱中，平面，，F是的中点，点E在棱上．(1)证明：；(2)若，，且点到平面的距离为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明一条直线垂直于另一条直线，只要证明该直线垂直于另一条直线所在的平面即可；（2）运用等体积法计算点到平面的距离.【详解】（1）在直三棱柱中，，又，F为中点，，又，平面，平面平面，平面，；（2）因为F是的中点，，又三棱锥，点到平面的距离等于点到平面的距离，即，由（1）知，平面，即也是三棱锥底面上的高，由条件可知：

，，设，在中，，在中，，由，即，

，得；综上，.20．已知点在抛物线的准线上．(1)求抛物线C的方程；(2)过点P作直线交抛物线于A，B两点，过A作斜率为1的直线l交抛物线C于另一点M．证明：直线BM过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由点P在抛物线的准线上，求出p值作答.（2）设出直线的方程，并与抛物线方程联立，设，求出直线BP的方程，再与抛物线方程联立，求出点A的纵坐标与的关系即可推理作答.【详解】（1）因为点在抛物线的准线上，则，即，所以抛物线C的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，由消去x得：，设，则，而直线的斜率，则直线的方程，由消去x得：，点A的纵坐标，即：点，直线的斜率，则，因此，有，即，直线的方程为又，即，显然直线过定点，所以直线过定点.【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.21．已知函数，其中．(1)求函数的极值；(2)若函数有4个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】(1)求导数等于零的解,判断在解的左右两边区间的导数符号，异号时才是极值点,进而求出极值.(2)可知要使有4个零点，则至少应有3个零点，令，至少有两个零点，再分类讨论并且得到函数的单调性,求出函数的极值，得出4个交点时的的范围.【详解】（1），当时，的关系如下表：1+0-↗极大值↘时，的极大值为，无极小值．当时，的关系如下表：1-0+↘极小值↗时，的极小值为，无极大值；（2）由题得，．令，可知要使有4个零点，则至少应有3个零点，至少有两个零点，，其中，①当时，，则在上单调递增，至多只有一个零点不合题意；②当时，，在为减函数，为增函数，要使有两个零点，，解得此时在存在一个零点，且.下面证明当时，，当时，令，令当时，，在上为增函数，在上为增函数，，即，，在存在一个零点，且时，时，在和上单调递减，在上单调递增，又，∴只需，在各有一个零点其中，，解得,（同理）.综上所述．【点睛】用导数求函数零点个数问题方法点睛：（1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从函数中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点，求．【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为(2)【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化关系，即可将C由极坐标方程