2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（理）试题

2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则集合中的子集个数为（

）A．1 B．2 C．16 D．无数个【答案】B【分析】首先求集合，再求集合的运算.【详解】先求，，所以，则，所以子集的个数为.故选：B2．已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先化简复数，再结合复数模的几何意义，利用数形结合，即可求解.【详解】，则表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最大值为3.故选：C3．已知是第二象限角，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.【详解】因为是第二象限角，所以，，进而硧定，.所以点在第四象限.故选：D4．关于椭圆C：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】先假设某两个正确，则另两个必有一个正确一个错误，从而判断出答案．【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，故丁是假命题.故选：D5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是S，若，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用循环语句研究数列的前99项和，利用裂项相消求和得到，得到．【详解】由程序框图可知，本题要求的是，即．故选：C6．数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（

）A．240 B．480 C．360 D．720【答案】A【分析】先分组再分配，平均分组注意消序，最后根据分步乘法计数原理，即可得到可能的安排方案的种数.【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，则可能的安排方案的种数为种，故选：A.7．在正方体中，下列说法不正确的是（

）A．直线与直线垂直B．直线与平面垂直C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一D．直线与直线垂直【答案】D【分析】AB选项，根据线线垂直得到线面垂直，进而得到AB正确；C选项，设出棱长，利用正方体体积减去四个三棱锥体积求出三棱锥的体积；D选项，求出异面直线的夹角为，D错误.【详解】AB选项，因为在正方体中，，，且，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，，因为，平面，所以平面，所以A，B正确；D选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，故与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；C选项，设棱长为1，则四棱锥的体积等于正方体体积减去4个三棱锥的体积，即，所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．故选：D8．已知向量，，且，则实数的值为（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.【详解】因为，，.所以.所以.故选：A9．点是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出正方体外接球的半径，再得出四棱锥高的最大值，代入四棱锥的体积公式即可求得体积最大值．【详解】由正方体棱长与其外接球半径的关系知：，即，则四棱锥的高的最大值为，所以四棱锥的体积的最大值为，故选：B．10．已知数列满足，，若，则（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】首先赋值，判断数列是等差数列，并求通项公式，利用等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】因为，令，所以，故数列是首项和公差均为2的等差数列，所以，所以，解得k=10.故选：A11．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则（

）A． B．1 C．3 D．【答案】C【分析】先根据周期T的范围确定ω的范围，再利用对称性确定ω的值，进而求出的值即可．【详解】因为，所以，即，又因为的图象关于对称，所以，，，所以，，又因为，所以当时，满足要求，其他均不合要求，所以．故选：C12．已知，且，则实数t的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先将化成，再利用函数在R上单调递增得到，进而转化为求的最小值即可．【详解】解：因为可化成，又因为函数在R上单调递增，所以，所以，所以，令，解得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，．故选：C.二、填空题13．直线与抛物线交于A，B两点，则=______．【答案】16【分析】联立直线与抛物线方程，利用两点距离公式计算即可.【详解】联立方程解得或，不妨令，则，即．故答案为：1614．已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______.【答案】【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.【详解】设圆的方程为，令，，则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，所以，所以圆的方程为.故答案为：15．若二项式的常数项为－80，则______.【答案】5【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为零，求出r，从而利用常数项建立方程求解.【详解】二项式的通项为，由题意，且r，n为整数，解得，故答案为：5三、双空题16．已知函数，若函数，则函数的图像的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______．【答案】

8088【分析】对于空①，可通过构造函数，由函数奇偶性的判断方法可知为奇函数，再通过函数图像平移变换，可得到关于点中心对称；对于空②，利用等差数的性质和函数的对称性可得到，从而求出结果.【详解】令，因为，所以为奇函数，图像关于原点中心对称，又，所以的图像可由的图像先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，所以关于点中心对称；因为，由等差数列前项和公式得，，得到，所以由等差数数列的性质可得到，故点与点关于点对称，由函数的对称性知，，又，所以．故答案为：

8088四、解答题17．在中，是边BC上的点，AD平分，的面积是的面积的两倍.(1)如图1，若，且，求的面积；(2)如图2，若点在边AB上，且，，求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）由条件，结合三角形面积公式，得，并结合三角形面积的关系，列式求，即可求的面积；（2）首先根据边的关系，结合勾股定理，判断为直角，在和中，根据正弦定理，求，即可求解.【详解】（1）因为的面积是的面积的两倍，，且，平分.所以，所以，又因为，所以，所以，所以的面积为；（2）由（1）知.设，则，又因为，，所以是以为直角的直角三角形，在中，由正弦定理可得在中，由正弦定理可得，因为，所以，又因为，均为锐角，所以，所以的值为1.18．在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，，通过等腰三角形三线合一结合勾股定理可证，，再利用面面垂直的判定方法可得平面平面.（2）建立合适的空间直角坐标系，首先得到点的轨迹是的中位线，点的轨迹是的中位线，从而得到线面角的正弦表达式，利用函数单调性即可求出其最值.【详解】（1）取的中点为，连接，.因为，，则，而，，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，且平面，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，因为，则.结合（1）中的平面，且平面，则，故直线两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系.则，，，，故，，.因为，所以，又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），所以点的轨迹是的中位线，设，则，，设与平面所成角为，则，，当时，取得最小值，所以与平面所成角的正弦值的最小值为.19．为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩（xi，yi）（i=1，2，…，10）如下表：xi729096102108117120132138147yi39495359616969798090(1)请用相关数据说明该组数据中y与x间的关系是否可用线性回归模型拟合；(2)求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；（结果保留三位小数）(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.附：参考数据与参考公式11226487596313073444196相关系数，，.【答案】(1)可用线性回归模型拟合(2)(3)【分析】（1）由已知数据计算出相关系数后可得；（2）根据公式求出，即得；（3）利用组合知识求得从10人任取2人的基本事件的个数、至少有一名同学物理成绩不少于60分的基本事件个数后可计算出概率．【详解】（1）因为，而0.9964非常接近于1，所以可用线性回归模型拟合.（2）因为，，所以物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为.（3）记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件A”，则一次试验中所含有的基本事件的个数，事件A中所含有的基本事件的个数.所以从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为.20．已知双曲线的离心率为，且双曲线C过点，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．(1)求双曲线C的标准方程；(2)求证：直线l与直线平行．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由离心率设出双曲线方程，结合双曲线上的点的坐标，求出答案；（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由两直线倾斜角互补得到斜率之和为0，列出方程，求出，并证明出结论.【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，所以双曲线的方程可表示为，又因为双曲线C过点，所以，所以，，所以双曲线的标准方程为；（2）根据题意可知直线l的斜率一定存在，故可设直线l的方程为，将代入得，，所以，，又因为直线AP，AQ的倾斜角互补，设P点坐标为，Q点坐标为，所以，即，所以，所以，化简得．又因为，所以，又因为，所以，所以，所以直线l：与直线平行．【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.21．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论.【答案】(1)当时，在上单调递增，无减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；(2)当或时，在上有唯一零点；当时，在上没有零点；当，在上有两个不同的零点.【分析】（1）对函数求导，对a进行分类讨论，根据导数和单调性的关系，即可求得函数的单调性.（2）研究函数的单调性，通过单调性分析函数的变化趋势，从而可得到函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以在上单调递增，当时，令，得，若，则，从而，若，则，从而，从而函数在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，，，又因为在上是连续不间断的，所以在上有唯一零点，所以当时，在上有唯一零点，当时，在上有唯一零点，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上没有零点，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上有唯一零点，当时，.又因为当时，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，又因为，所以，又因为在和上均是连续不间断的，所以在和上各有唯一零点，所以当，在上有两个不同的零点.综上所述，当或时，在上有唯一零点；当时，在上没有零点；当，在上有两个不同的零点.【点睛】关键点点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为．(1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；(2)求直线l被抛物线C截得的弦长.【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根据消参法将参数方程转化为普通方程，根据极坐标方程与