高三数学复习不等式第三节

高三数学复习不等式第三节第1页，共72页，2023年，2月20日，星期四三年13考高考指数:★★★1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.第2页，共72页，2023年，2月20日，星期四1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.第3页，共72页，2023年，2月20日，星期四1.基本不等式：(1)基本不等式公式成立的条件是________.(2)等号成立的条件是：当且仅当_____时取等号.(3)其中称为正数a,b的___________，称为正数a，b的____________.a>0,b>0a=b算术平均数几何平均数第4页，共72页，2023年，2月20日，星期四【即时应用】判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写√或×)(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)

()(2)ab≤(a，b∈R)()(3)≤(a,b∈R)()(4)≥2(a,b均不为零)()第5页，共72页，2023年，2月20日，星期四【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，即a2+b2≥2ab，故(1)正确.(2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,即ab≤,故(2)正确.(3)由=≤0,故(3)正确.(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则=-2<2,故(4)错.答案：(1)√(2)√(3)√(4)×第6页，共72页，2023年，2月20日，星期四常用的重要的不等式和基本不等式1．若a∈R，则a2≥________，|a|≥________(当且仅当a＝0时，取“＝”)．2．若a，b∈R，则a2＋b2≥______(当且仅当a＝b时取等号)．3．若a，b∈R＋，则a＋b≥________(当且仅当a＝b时取等号)．4．若a，b∈R＋，则(当且仅当a＝b时取等号)．002ab第7页，共72页，2023年，2月20日，星期四第8页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，等号当且仅当_____时成立.(简记：和定积最大)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥_____，等号当且仅当_____时成立.(简记：积定和最小)a=ba=b第9页，共72页，2023年，2月20日，星期四基础自测1．已知正数a，b满足ab＝4，那么2a＋3b的最小值为()A．10B．12C．4D．4D第10页，共72页，2023年，2月20日，星期四2．(2010年德州模拟)下列结论中正确的是()B第11页，共72页，2023年，2月20日，星期四3．(2010年湛江市一中月考)若x>0，则x＋的最小值为______．解析：∵x>0⇒x＋

≥2，当且仅当x＝

⇒x＝时取等号．答案：2第12页，共72页，2023年，2月20日，星期四【即时应用】(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为_______.(2)已知x,y>0,且x+2y=1,则的最小值为_______.(3)函数f(x)=的最大值为_______.(4)已知m>0,n>0且mn≥81，则m+n的最小值为_______.【解析】(1)由2=x+3y≥,得故xy≤，等号当且仅当x=1,y=时取得.(2)由x,y>0，x+2y=1得第13页，共72页，2023年，2月20日，星期四≥等号成立的条件是：x=-1.(3)∵x≥0，①当x=0时，f(0)=0；②当x＞0时，f(x)=当且仅当，即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为.(4)∵m＞0,n＞0,mn≥81,∴≥9,∴m+n≥2≥18，故m+n的最小值为18.答案：(1)(2)(3)(4)18第14页，共72页，2023年，2月20日，星期四利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的问题(1)若直接满足基本不等式成立的条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式成立的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.第15页，共72页，2023年，2月20日，星期四【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式成立的条件.(2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立.第16页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例1】(1)若x>-3，则的最小值为________.(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则的最小值为_____.【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)将与中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.第17页，共72页，2023年，2月20日，星期四【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0,又x+=x+3+-3≥-3，等号成立的条件是x+3=,即x=-3.(2)∵a>0,b>0,a+b=1,∴,同理∴≥5+4=9,等号成立的条件为答案：(1)(2)9第18页，共72页，2023年，2月20日，星期四【互动探究】若将本例(1)中x>-3去掉，而求的取值范围又将如何求解？【解析】分情况讨论，由题意得x≠-3,(1)当x>-3时，由例题可知≥.(2)当x<-3时，x+3<0，故-(x+3)>0,=-［-(x+3)+］-3≤-2-3，第19页，共72页，2023年，2月20日，星期四等号成立的条件是x故的取值范围是(-∞,］∪［,+∞).第20页，共72页，2023年，2月20日，星期四【反思·感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”与“积”的定值.2.基本不等式求最值，常为有条件最值问题.如本例(2)，其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.第21页，共72页，2023年，2月20日，星期四【变式备选】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是____.【解析】xy=2x+y+6≥令xy=t2(t>0),可得t2--6≥0，注意到t＞0，解得t≥,故xy的最小值为18.答案：18第22页，共72页，2023年，2月20日，星期四4．(2010年柳州一模)如果正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是_______．答案：第23页，共72页，2023年，2月20日，星期四第24页，共72页，2023年，2月20日，星期四第25页，共72页，2023年，2月20日，星期四变式探究1．已知a>0，b>0，且a≠b，则的大小关系是________．答案：第26页，共72页，2023年，2月20日，星期四设a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()第27页，共72页，2023年，2月20日，星期四第28页，共72页，2023年，2月20日，星期四第29页，共72页，2023年，2月20日，星期四变式探究A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a2＋b2≥2ab中参数的取值不只是仅可以取正数．均值不等式≥才需应满足a>0，b>0.答案：A第30页，共72页，2023年，2月20日，星期四变式探究3．若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()第31页，共72页，2023年，2月20日，星期四1．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.第32页，共72页，2023年，2月20日，星期四第33页，共72页，2023年，2月20日，星期四3．利用均值不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．第34页，共72页，2023年，2月20日，星期四第35页，共72页，2023年，2月20日，星期四A．8B．4C．1第36页，共72页，2023年，2月20日，星期四基本不等式的实际应用【方法点睛】基本不等式实际应用题的特点(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.第37页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.第38页，共72页，2023年，2月20日，星期四【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米.则总造价f(x)=400×()+248×2x+80×162第39页，共72页，2023年，2月20日，星期四=1296x++12960=1296()+12960≥1296×+12960=38880(元)，当且仅当x=(x>0),即x=10时取等号.∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.第40页，共72页，2023年，2月20日，星期四(2)由限制条件知∴10≤x≤16.设g(x)=x+(10≤x≤16),由函数性质易知g(x)在［10，16］上是增函数，∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10+)+12960=38882(元).∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元.第41页，共72页，2023年，2月20日，星期四【反思·感悟】1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围，它可直接决定最值能否取到.2.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法.第42页，共72页，2023年，2月20日，星期四【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为万元.第43页，共72页，2023年，2月20日，星期四设汽车的年平均费用为y万元，则有y==1+≥=3,当且仅当，即x=10时，y取得最小值.答：汽车使用10年时，它的年平均费用最少.第44页，共72页，2023年，2月20日，星期四基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式应用的广泛性以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体提供条件而后转化为基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意范围的变化影响.第45页，共72页，2023年，2月20日，星期四【例3】(1)(2012·揭阳模拟)已知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为g(x),且有g(a)g(b)=8，若a>0,b>0，则的最小值为________.(2)已知函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1恒过一定点P，且点P在直线=2(a,b∈R+)上，则3a+2b的最小值为________.【解题指南】(1)求出a+b后，再利用基本不等式可求.(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.第46页，共72页，2023年，2月20日，星期四【规范解答】(1)g(x)=2x,∵g(a)·g(b)=8,∴2a·2b=2a+b=8=23,∴a+b=3,a>0,b>0,∴==3(当且仅当时取“=”).答案:3第47页，共72页，2023年，2月20日，星期四(2)由函数f(x)=log2［k(x+4)+2］+1可知，当x=-4时，f(x)=2,即P点坐标为(-4，2)，又P在直线=2(a,b∈R+)上，故=2，即=1,∴3a+2b=(3a+2b)()=8+≥等号当且仅当3a2=4b2，即a=b=+1时取得.答案：8+4第48页，共72页，2023年，2月20日，星期四【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点P(-1，2)，依题意，P在直线上，故即=1,∴3a+2b=(3a+2b)()=等号当且仅当a=+1时取得.所以3a+2b的最小值为第49页，共72页，2023年，2月20日，星期四【反思·感悟】解决与其他章节知识综合的基本不等式题目，其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系，本例(1)中其关键是求出a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.第50页，共72页，2023年，2月20日，星期四【变式备选】设x,y满足约束条件若目标函数z=abx+y(a＞0,b＞0)的最大值为8，则a+b的最小值为______.【解析】已知x,y满足约束条件其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，(，0)，(1，4)，易见目标函数z=abx+y(a＞0,b＞0)在(1，4)取最大值8，所以8=ab+4，即ab=4，∴a+b≥2=4,第51页，共72页，2023年，2月20日，星期四当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4第52页，共72页，2023年，2月20日，星期四1．(2010年成都新都一中测试)若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()D

2．(2010年广东实验中学月考)若直线2ax－by＋2＝0(a>b>0)，始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则的最小值是______________．4第53页，共72页，2023年，2月20日，星期四【易错误区】忽视题目的基本含义导致误解【典例】(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.【解题指南】由题目已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式可解.第54页，共72页，2023年，2月20日，星期四【规范解答】由题意可知f(x)=的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P(x,)与Q(-x,-)，由两点间距离公式可得|PQ|=≥4等号当且仅当x2=2时取得.答案：4第55页，共72页，2023年，2月20日，星期四【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.(2)有些同学设出直线方程与之联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解时出现运算繁琐情况，导致错解.第56页，共72页，2023年，2月20日，星期四备考建议解决此类问题时还有以下几点在备考时要高度关注(1)理解函数的图象性质，明确其表达的含义.(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式.(3)思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.第57页，共72页，2023年，2月20日，星期四1.(2011·重庆高考)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5【解析】选C.由a+b=2,得=1,∴(等号当且仅当b=2a时取得).第58页，共72页，2023年，2月20日，星期四2.(2011·陕西高考)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()(A)a<b<(B)a<<b(C)a<(D)<b【解析】选B.方法一,已知a<b和比较a与，因为a2-=a(a-b)<0,所以a<，同理由b2-=b(b-a)>0得<b;作差法：b->0，所以<b,综上可得a<<b;故选B.第59页，共72页，2023年，2月20日，星期四方法二,本题还可用特值法求解.取a=2,b=8,则=4,=5，故a<<b，故选B.第60页，共72页，2023年，2月20日，星期四3.(2011·北京高考)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()(A)60件(B)80件