数字信号课件（郑楚君）第3章1

第三章离散傅里叶变换及其快速算法2各种形式的傅里叶变换非周期实连续时间信号的傅里叶变换:频谱是一个非周期的连续函数

周期性连续时间信号的傅里叶变换:频谱是非周期性的离散频率函数

非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都是离散的、周期的四种傅立叶变换:时域频域1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期

()FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS

？切实理解四种FT之间的对应关系4各种形式的傅里叶变换示意图5傅里叶变换的一般规律如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的，离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都是离散周期的。得出一般的规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。6离散傅里叶变换的导出由于数字计算机只能计算有限长离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要。Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对有限长序列“时域有限”这一特点，导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT(DiscreteFourierTransform)。

３．1周期序列的离散傅立叶级（DFS）周期序列一个周期为N的周期序列，对于所有n满足式中N为正整数。定义n=0到N-1的周期区间为的主值区间，而主值区间内的N个样本值组成的有限长序列称为的主值序列，即这一过程称为取主值序列。对于一个有限长序列如将其以N为周期进行周期性延拓，则可得由于周期序列不是绝对可和的，无论z取任何值，其z变换都是不收敛的，即因此周期序列不能用z变换法或傅立叶变换来进行讨论。离散傅立叶级数令，则DFS变换对可写成正变换

反变换

离散傅立叶级数表明是以N为周期的周期序列，其基波成分为，k次谐波成分为，为DFS的k次谐波分量的复系数。由于的周期性，当已知0→N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确定其余的谐波分量，因此，无论时域或频域中都只有N个序列值是独立的。离散傅立叶级数的性质假定和是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为１、线性式中为任意常数，可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。

２、移位特性时域移位频域移位如果≥N,那么证明：

３、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即

m的取值由0～（N-1），因此称为周期卷积。05n000000555555mmmmmm111234图两个周期序列(N=6)的周期卷积过程周期卷积与DFS的关系如下：设若则有这就是时域卷积定理。证明：图3-2周期卷积3．2离散傅立叶变换ＤＦＴ由于长度为N的有限长序列可以看作是周期是N的周期序列的一个周期，因此利用DFS计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅立叶变换．设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列的一个主周期，而将看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即同理离散傅立叶变换的正变换反变换20离散傅里叶变换离散傅里叶变换的定义DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系DFT的隐含周期性21离散傅里叶变换的定义离散傅里叶正变换(DFT)定义0≤k≤N-1

0≤n≤N-1x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间离散傅里叶反变换(IDFT)定义式中22例1：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n)的傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。

解（1）x(n)的傅里叶变换

（2）x(n)的4点DFT例：离散傅里叶变换23（3）x(n)的8点DFTk=0，1，…，7

（4）x(n)的16点DFTk=0，1，…，15

24例1图形显示从图可见，同一序列不同点数的DFT是不相同的。比较可以发现，对原序列尾部补零后增加的谱线只是有规律地插在频谱的一个周期内。25DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系

设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为0≤k≤N-126三种变换的关系

0≤k≤N-10≤k≤N-1比较三式可得式(4.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n)的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第一个取样点应取在z=1处。式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间[0，2π]上的N点等间隔取样。27DFT和Z变换的关系0≤k≤N-1N＝8时，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。28DFT和序列的傅里叶变换的关系物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间

[0，2π]上的N点等间隔取样。

0≤k≤N-129DFT的隐含周期性

DFT变换对中，具有周期性：其中k，m，N均为整数

因此有结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。同理可得。30周期序列与周期延拓序列任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是的一个周期，即引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果

n=MN+n1，0≤n1≤N-1，M为整数

则((n))N=n1

31例:序列的周期延拓例如，N=8，，则有

x(?)=x(7)于是32主值序列如果x(n)的长度为N，且，则可写出的离散傅里叶级数表达式

式中结论：有限长序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列x((n))N的离散傅里叶级数系数的主值序列。DFS中，仍取无穷长，实际上没必要！改为：此即DFT!从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；为什么要由DFS过渡到DFT？

这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即和都是周期的！离散傅立叶变换（DFT）DFT的图形解释Z变换、DTFT、DFT的取值范围关系：正交阵

离散傅里叶变换(DFT)例求复数序列的DFT。解可求得42离散傅里叶变换的基本性质

线性性质循环移位性质循环卷积定理复共轭序列的DFTDFT的共轭对称性43线性性质设x1(n)和x2(n)长度分别为N1和N2，且取N=max[N1，N2]，则y(n)的N点DFT为

0≤k≤N－1

注意：如果N1和N2不相等，则以N为DFT变换长度时，其中相对较短的序列就通过补零增加到长度为N。

44循环移位性质序列的循环移位设x(n)长度为N，则x(n)的循环移位定义为２、序列的圆周移位有限长序列x(n)的圆周移位是以它的长度N为周期，将其延拓成周期序列，并将周期序列进行移位，然后取主值区间（n=0到N-1）上的序列值。因而一个有限长序列的右圆周移位定义为x(n)x((n))Nx((n-2))Nx((n-2))NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-1图3.6序列的周期移位(N=6)47时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即

则其中，0≤k≤N－1，时域循环移位定理48时域循环移位定理证明证明令n+m=n'，则有49频域循环移位定理频域循环移位定理如果X(k)=DFT[x(n)]，0≤k≤N-1，Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则证明方法与时域循环移位定理类似。50循环卷积定理循环卷积定理x1(n)和x2(n)的长度为N。如果Y(k)=X1(k)·X2(k)，则或51循环卷积定理证明令n－m=n'，则有证明圆周卷积时域圆周卷积设x1(n)和x2(n)都是N点的有限长序列，有若则此卷积过程与周期卷积和的过程是一致的，只不过这里要取结果的主值序列。公式中的只在0≤m≤N-1范围内取值，因而是圆周移位，因此这个卷积和称为圆周卷积和。

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因为上式中以N为周期，所以对其在任一周期上的求和结果不变，因此0≤k≤N-1上面讨论的为时域循环卷积定理。

时域循环移位定理讨论54复共轭序列的DFT复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，0≤k≤N-1(4.17)则且DFT对应周期信号，所以，，及都是周期的！循环矩阵为什么有循环卷积?能否通过循环卷积来计算线性卷积？1.循环卷积是周期卷积取主值序列

2.周期卷积是循环卷积的周期延拓序列3.循环卷积的计算是在主值区间中进行，而线性卷积不受这个限制。3.3用循环（圆周）卷积求线性卷积如果信号x(n)和单位抽样响应h(n)都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积的运算来代替线性卷积运算呢？下面就这个问题加以讨论：设x1(n)是M点的有限长序列，x2(n)是N点的有限长序列。①x1(n)和x2(n)的线性卷积：

②x1(n)和x2(n)的圆周卷积：假设x1(n)和x2(n)进行L圆周卷积,

L>max(M,N)，再讨论L等于何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。将两个序列都补零为长度为L点的序列，即则将任一序列（这里采用x2(n)）变成L点周期延拓序列，即因此L点的圆周卷积y(n)是线性卷积yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列

结论：若L≥M+N-1，则L点圆周卷积能代表线性卷积。

图两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积000nnn11234x1(n)⑤y(n)=x1(n)x2(n)0n340n4y(n)=x1(n)x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n)x2(n)0312(a)(b)(c)(d)(e)(f)x2(n)⑥⑦653.4频域取样

频域取样指对序列的傅里叶变换或系统的频率特性进行取样。由时域取样定理，在一定的条件下，可以通过时域离散取样信号恢复原来的连续信号。对有限长序列而言，由DFT的讨论可知，DFT是在频域内对序列傅里叶变换X(jω)的等间隔取样，即实现了频域取样。还可以利用内插公式由X(k)恢复原来的连续谱信号，即频率函数X(jω)。66频域取样

设任意序列x(n)存在Z变换，且收敛域包括单位圆在单位圆上对X(z)进行N点等间隔取样，得到

问题：能否利用取样值X(k)恢复原始的时域信号x(n)？

67将X(k)看成是长度为N的有限长序列的DFT，即0≤n≤N-1定义由于所以68代入频率取样值，得式中，x(m)＝x(n)。由于所以69

的意义