2014初中数学青年教师解题大赛试题参考答案

年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014年12月4日下午1:30—4:00）一、选择题（每题6分，共36分）姓名姓已知，则的值为（C）姓名姓A.B.C.D.2.已知满足，则的值为（D）A.4B.6C.8D.4或83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时（B）.A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍学校学方程的解的个数是4，则的取值范围为（B）学校学A.B.C.D.5.平面上动点满足，，,则一定有（B）．．．．6.函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+g=0的解集不可能是(D){1,3}B.{2,4}C.{1,2,3,4}D.{1,2,4,8}二、填空题（每题8分，共32分）7.设集合｛+b︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为M、m,则M-m的值为5-2√3。县市化简：=n2+3n/4(n+1)(n+2)。县市在中，,则的面积的最大值为16/3.10.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为434/10000.三、解答题（共82分）11.（本题12分）如图，点是正方形边上一点（不与点重合），连接并将线段绕点顺时针方向旋转90°得到线段，交边于点，连接．（1）求证：；（2）求的度数；（3）当的值等于多少时，？并说明理由．证明:(1)在正方形ABCD中，∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90°∴∠EPB+∠APD=90°∴；(2)作EG⊥AB交AB的延长线于G,∴∠PGE=∠A=90°又∵，DP=PE∴⊿ADP≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE∴AB-PB=PG-PB即AP=BG∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45°∴∠CBE=45°(3)当的值等于1/2时，证明：∵∠A=∠PBF=90°、∴⊿ADP∽⊿BPF∴DP/PF=AP/BF当的值等于1/2时，AP=PB∴DP/PF=PB/BF∴DP/PB=PF/BF∵∠DPE=∠PBF=90°∴12.（本题15分）请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具）解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为y=1/2x2-1/2x-1直线BC的表达式为y=1/2x-1证明：（2）∵点P的横坐标为，即x=时yP=-10/9yD=-2/3∵ED=yD-yP=2/3=OE∴∠EOD=∠EDO=45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA=45°∴∠OAC=∠EOD又∵∠OBD=∠ABC∴△OBD∽△ABC.（3）OE=2PEOE=xPE=-y=-1/2x2+1/2x+1)2(-1/2x2+1/2x+1)=x解得x1=-√2(舍去)x2=√2即OE=√2PE=√2/2，DE=yD=√2/2-1PD=PE-DE=1s△POD=1/2PD×OE=√2/2(4)点P的坐标为：（2√5/5，3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）.或（4/5，-37/25）或（1，-1）15.（本题15分）证明：不存在整数使得成立。证明：假设存在整数使得成立，则关于x得一元二次方程x2+3xy-(2y2+122)=0在y是整数时有整数解，于是⊿=（3y）2+4(2y2+122)=17y2+488是完全平方数，设m2=17y2+488=17(y2+28)+12m2-12=17(y2+28)故m2-12能被17整除，显然，整数m不能被17整除，再设整数m=17n+p,其中n为任意整数，|P|=1、2、3、…8m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12其中17（17n2+2nP）能被17整除而当|P|=1、2、3、…8时，p2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52都不能被17整除，所以m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12一定不能被17整除，这就与前面所说m2-12能被17整除相矛盾，所以假设“存在整数使得成立”是错误的；所以不存在整数使得成立。初中组13题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明EE方法1:用相似三角形记AB、PC得交点为E设正三角形边长为a，易证：⊿PAE∽⊿PCB⊿ACE∽⊿PCA∴PA×PB=PE×PCAC2=CE×PC∴PA×PB+AC2=PE×PC+CE×PC=PC(PE+CE)=PC2∴PC2-PA×PB=AC2=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：PC×AB=AP×BC+BP×AC即aPC=aAP+aBP所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a,在△APC、△BPC、△APB中，∠APC=∠BPC=60°∠BPA=120°根据余弦定理得：a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°=PA2+PC2-PA×PC(1)a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°=PB2+PC2-PB×PC(2)a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°=PA2+PB2+PA×PB(3)由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（PB2+PC2-PB×PC）=0整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)所以