2023年高考数学一轮复习教书用书第七章　立体几何与空间向量

立体几何与空间向量

耕(必修第二册+选择性必修第一册)

第1节立体图形及其直观图、简单儿何体的表面积与体积

©:课程标准要求

1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、

球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简

单物体的结构.

2.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.

3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.

©用散材夯实四基

必备知识•课前回顾

唯:知识梳理

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

0，Df

图形

ABAABAB

互相平行且全

底面多边形互相平行且相似

笠

相交于一点但不一定

侧棱平行且相等延长线交于一点

相等

侧面

平行四边形三角形梯形

形状

⑵旋转体的结构特征

名称圆柱圆*锥圆台球

图形Ae

平行、相等且垂直延长线交于

母线相交于一点

于底面—'八占、、\

全等的等腰三全等的等腰

轴截面全等的矩形

角形梯形M

侧面展

矩形扇形扇环

开图\

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：（1）原图形中x

轴、y轴、z轴两两相互垂直，直观图中，X,轴、y'轴的夹角为45°（或

135°）,z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.

⑵原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别壬后王坐标轴.平

行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变,平行于y轴的线

段长度在直观图中变为原来的一半.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

ri2W：

八个

侧面展开图r'户＜力

区总…加……j

侧面积公式S画柱侧二2兀r1S圆锥侧二兀r1S网台侧=兀（r'+r）1

4.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=S网+2S底V=S底•h

锥体（棱锥和圆锥）S表面积=S侧+S底

V=S底・h

台体（棱台和圆台）S表面积二S侧+S上+S下

V=h(S±+Sb+)

2

球S=4JIR

V=JIR3

_重要结论

1.特殊的四棱柱

2.球的截面的性质

⑴球的任何截面都是圆面.

（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面.

（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为

r=.

3.正方体与球的切、接常用结论

正方体的棱长为a,球的半径为R,

(1)若球为正方体的外接球,则2R=^a;

⑵若球为正方体的内切球,则2R=a;

⑶若球与正方体的各棱相切，则2R=^a.

4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则

_Va2+J>24-c2

NQKD一,

x/S而

5.正四面体的外接球的半径R=*a,内切球的半径r=iia,其半径R:

r=3：1(a为该正四面体的棱长).

空

6.直观图与原平面图形面积间关系S直观图二♦S原图形♦

对箱测

1.已知圆锥的表面积等于12五cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底

面圆的半径为(B)

3

A.1cmB.2cmC.3cmD.2cm

解析：设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则S表=弘r2+冗rl=兀/+冗

r•2r=3克r2=12n,所以r2=4,所以r=2(cm).故选B.

2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

(A)

32

A.12JIB.3JI

C.8JiD.4Ji

解析：由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长2V"即为球的直径,

所以球的表面积为4JiR2=(2R)2Ji=12TI.故选A.

3.(必修第二册P109例2改编)如图，直观图所表示的平面图形是

(D)

A.正三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

解析：由直观图中A'C'〃y'轴,B，C'〃x，轴,还原后AC〃y轴,

BC〃x轴，所以4ABC是直角三角形.故选D.

4.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分，其中EH〃A'D',

剩下的几何体是(C)

A.棱台B.四棱柱

C.五棱柱D.六棱柱

解析：由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.

5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，

则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为.

解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为

ill111

V,=3X2X2aX2bX2c=«abc,剩下的几何体的体积为V2=abc-

147

«abc=«abc,所以V1：V2=l：47.

答案：1：47

第一课时立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积

关键能力•课堂突破",者支.实°

脸考点一空间几何体的结构特征、直观图

1.（多选题）下列说法正确的是（AD）

A.棱柱的侧棱长都相等

B,棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面

C.棱台的侧面是等腰梯形

D.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面

解析:A正确;B不正确，如正六棱柱相对的侧面平行;C不正确，棱台的

侧棱长可能不相等;D正确,用一个平面截一个球,得到的截面是一个

圆面.故选AD.

2.下列命题：

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为（B）

A.0B.1C.2D.3

解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确.对于命题④,

只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆

台,④不正确.故选B.

3.给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正确的命题为（填序号）.

解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错误；

对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明（如图），故②错误;对

于③,若底面不是矩形,则③错误;④由线面垂直的判定定理,可知侧

棱垂直于底面,故④正确.

综上,命题①②③不正确.

答案:①②③

4.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=谊,下底AB=3,以下底所

在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A，B，）＞的面积

为.

解析：如图⑴和⑵的实际图形和直观图所示.作E'F_LO'B'于

点F,

因为工1,由斜二测画法可知。E，6,E'F二T,〉C'

1+3yj2,V2

=1,A'Bz=3,则直观图A，B'C'D'的面积为S，=TxT^.

您

答案:记

一题后悟通

1.关于空间儿何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念,要

善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需

举一个反例.

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用

好轴截面中各元素的关系.

3.既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时一,

要注意“还台为锥”的解题策略.

4.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”（x轴

和y轴成45°或135°）和“二测”（平行于y轴的线段长度减半，平

行于x轴和z轴的线段长度不变）来掌握.

吟点二柱、锥、台体的表面积与体积

口角度-简单几何体的表面积

所）如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一

个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是圆柱上底面的圆心，圆柱的侧

面积是（）

显3谊2播

A.VJIB.丁冗C.亏nD.2JI

解析：如图所示,过点P作PE_L平面ABC,E为垂足，点E为正三角形ABC

的中心,连接AE并延长,交BC于点D.

2V3

AE=3AD,AD=T,

2依依

所以AE=3XT=3",

所以PE"同鹫.

耳

设圆柱底面半径为r,则r=AE=T,

所以圆柱的侧面积为S=2nr-PE=2RX¥X¥=VJI.故选C.

解题策略:

1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底

面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部

分的处理.

口角度二简单几何体的体积

…、-J13

OH)(1)已知三棱锥S-ABC中，ZSAB=ZABC=2,SB=4,SC=2V,AB=2,

BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是()

A.4B.6C.4VD.6V

⑵如图，长方体ABCD-AECD的体积是120,E为CG的中点,则三棱锥

E-BCD的体积是

解析：⑴因为NABC旦AB=2,BC=6,所以AC=山4/+B。=02+62=

2m因为NSAB旦AB=2,SB=4,所以AS="S821AB由

SC=2E,得AC2+AS2=SC2,所以AC±AS.又因为SA±AB,ACGAB=A,ACc

平面ABC,ABu平面ABC,所以AS_L平面ABC,所以AS为三棱锥S-ABC

的高,所以,三校椎5ABC=3X2X2X6X2电4遮故选C.

111

(2)设长方体中BC=a,CD=b,CC尸c,则abc=120,所以VE-BCD=5,5ab•2c=

1

12abe=10.

答案：⑴C(2)10

解题策略:

求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,

再利用“直接法”代入体积公式计算.

口角度三不规则儿何体的体积

CIO如图，四边形ABCD是边长为2的正方形,ED,平面ABCD,FC_L平

面ABCD,ED=2FC=2,则四面体ABEF的体积为()

E

12

A.3B.3

4

C.1D.3

解析：因为ED_L平面ABCD且ADu平面ABCD,所以ED1AD.

因为在正方形ABCD中，AD_LDC,而DCnED=D,DCu平面CDEF,EDu平面

CDEF,所以AD_L平面CDEF.连接EC,DF（图略），

ED

易知FC=T=I,VBAEF二VABCDEF-VF-ABCD-VA-DEF-

118

因为V-ABCD=ED正方形ABCD由

E-S-3=2X2X2X3=3c=BC-SAErc-3=2X2X

112

1X2X3=3,

8210§1.14

所以VABCDEF三亚又Vt.-ABCD=FC•正方尼4比D•工1X2X2义3=3V;VDEF=

111410442

AD•SADEF•3=2X2X2X2X3=3y^^3-3-3^3.故选B.

解题策略

求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时,常通过分割

或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何

体,然后再计算.

⑴利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱（也

可分割成四棱锥）.

⑵利用“补”的方法把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补

成四棱锥,把三棱柱补成四棱柱,把不规则几何体补成规则几何体,补

一个同样的几何体等.

［针对训练］

1.（多选题）等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一

边旋转一周,所形成的几何体的表面积可以为（）

A.JiB.（1+0n

C,nD.（2+qJi

解析:如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥的底面半径为1,高为1,

母线就是直角三角形的斜边,长为也,所以所形成的几何体的表面积

为S=HX1X0+JIX/=（1+乌JI.如果绕斜边旋转，则形成的是上、

您

下两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高姿,两个圆锥

的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以所形成的几何体的

表面积为S'=2XnXEx1=V41T.综上可知,所形成的几何体的表

面积是（1+企）冗或夜冗.故选AB.

2.已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧棱长均为曲.若圆柱的

一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四

棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.

解析：由题意知圆柱的高恰为四棱锥高的一半，圆柱的底面直径恰为

四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长

为所以底面正方形对角线长为2,所以圆柱的底面半径为力又因

为四棱锥的侧棱长均为遍,所以四棱锥的高为曲不于=2,所以圆

1・

柱的高为1,所以圆柱的体积为V=nX（2）2X1=V

.

答案:*

3.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图,

四面体P-ABC为鳖蠹PA，平面ABC,ZABC为直角，且PA=AB=BC=2,则

P-ABC的体积为.

_s

解析：由题意知PA,平面ABC,ZABC=2,PA=AB=BC=2,所以^ABC=

1114

2AB•BC=2,所以VP-ABC=3SAABC-PA=3X2X2=3.

答案：3

4.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形,

且aADE,ABCF均为正三角形，EF〃AB,EF=2,则该多面体的体积

为.

解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,

则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.

依题意,三棱锥E-ADG的高为EG=2,直三棱柱AGD-BHC的高为AB=1,

则AGZ晅J#®2今

取AD的中点M,贝

所以SAAGD=2X1X2=4,

所以V多面体

=^EADG+^FBHC+^ZGDBHC=2^EADG+^ZGDBHC=^xTxix2+^X1=T

您

答案与

快考点三折叠与展开问题

丽如图所示，圆台母线AB长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和

10cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳

子长度的最小值.

解:如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥，连接MB',在

圆台的轴截面中，因为Rt^OPAsRtaOQB,

OAPAOA5

所以。4+4西西所以。4+4见后,

所以0A=20(cm).

设NBOB，=a,由扇形弧""的长与底面圆Q的周长相等，得2X10X

.

Ji=OB・a,即20冗=(20+20)•a,所以a殳,所以在RtA

“即+。叫3解+4解=50(cm),即所求绳子长度的

B'0M中，B'M=

最小值为50cm.

解题策略:

求几何体表面上两点间的最小距离的步骤

⑴将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；

⑵将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；

⑶结合已知条件求得结果.

［针对训练］如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-ABCD的棱CC,的

中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.

解析：由题意，若以BC为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直

角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是

旧cm.若以BBi为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三

角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是旧cm,故

沿正方体表面从点A到点M的最短路程是再cm.

答案严

息备选例题

CW如图所示,正三棱柱ABC-ABG的底面边长为2,侧棱长为‘3D

为BC的中点，则三棱锥A-BQG的体积为（）

A.3B.2

C.1D.T

解析：由题意可知,AD_L平面BiDC,,

即AD为三棱锥A-BDG的高,且AD=2X2=v,

易求得以BM』x2X电件

所以“一片2三X蜴X电1.故选C.

C1力如图，已知多面体ABC-DEFG中，AB,AC,AD两两互相垂直，平面

ABC〃平面DEFG,平面BEF〃平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多

面体的体积为.

AC

\

D

E

解析：因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示,过点C作CH±DG

于点H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三

棱柱BEF-CHG.

y_q1-

由题意，知二棱柱DEH-4BC=△0•・AD=3X2X1义2=2,V三棱柱BEF-CHG=

1

SABEF•DE=2X2X1X2=2,故所求儿何体的体积为VABC-DEFG=2+2=4.

答案：4

.

若圆锥的表面积是15兀，侧面展开图的圆心角是可求圆锥的

体积.

■

解:设圆锥的底面半径为r,母线为1,则2兀r=^l,得l=6r.又S圆锥二兀

r2+nr,6r=7弘r2=15R，得r=、7,圆锥的高为

___________厄i

,VP-r2V36r2-j■重的话V35\i,-V3问维的什工□4VG2b

h===r=X*=5，圆锥的体积为1V=3nrh=

；竺25^

3JIXVX5n.

丽已知正三棱台（上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面

的射影是下底面的中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm,侧棱

长是限cm,试求该几何体的体积.

解:如图,0',0分别是上、下底面的中心，连接00',0'B「OB.在平

面BOO'Bz内作B，EJ_OB于点E.

△A'B'C'是边长为2的等边三角形,O'是中心,

2gR5

所以O'B'=3X2XT=V(cm).

空

同理0B=3cm,

2第i

则BE=OB-O'B'=~T(cm).

诟迪

在Rt^B'EB中，BB'="cm,BE=3cm,

^42^42

所以B'E=W"cm,即三棱台的高为与"cm,

所以三棱台的体积为

1同丹丹丝X16X匕X4也

V=3XVX(4X16+4X4+^44)=~1-(cm3).

灵荡寺笈名致然魁

课时作业

@选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

空间几何体的几何特

2,3,410

征、直观图

空间几何体的体积与

1,5,6,8,912,13

表面积

折叠与展开问题711

综合问题14,15

A级基础巩固练

1.《算术书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，

这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“困盖”的术:置如其周,

令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长

1

1与高h,计算其体积V的近似公式V^l2h,它实际上是将圆锥体积公

25

式中的圆周率门近似取3,那么，近似公式V^^l2h相当于将圆锥体

积公式中的“近似取（C）

2225157355

A.vB.ac.soD.U3

1111125157

解析:V=5兀r2h=3n・（V）2卜二京力.由京仁*,得弘七万.故选C.

2.（多选题）（2021・山东潍坊调研）下列关于空间几何体的叙述正确

的是（CD）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形

C.长方体是直平行六面体

D.存在每个面都是直角三角形的四面体

解析：A.当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥，不正

确;B.当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,

否则为椭圆或椭圆的一部分,不正确;C正确;D正确,如图，正方体

ABCD-ABCD中的三棱锥C「ABC,四个面都是直角三角形.故选CD.

3.（多选题）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角

度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是（AC）

A.四棱柱B.四棱台C.三棱柱D.三棱锥

解析:根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都

易证是平行四边形,因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC.

4.如凰一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角

为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是

（D）

/（A'）

A.2+VB.1+V

C.4+2aD.8+46

解析：由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形,如图所示.

由于O'D'=2,"C=2,

所以0D=4,DC=2,

在题图中过D'作D'HJ_A'B'（图略），易知A'H=2sin45°=应,

所以AB=A'B'=2A'H+以=2应+2,

故平面图形的面积为8=^--AD=8+4V2故选D.

5.（2021•山东聊城模拟）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且

有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,DA

_L平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB〃CD〃

EF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是

（C）

A.96B.72C.64D.58

解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥D-AGE,C-HBF和一个直三棱

柱GAD-HBC.

这个羡除的体积为V=2X3X2X2X6X4+2X6X4X4=64.故选C.

6.（2021•河南郑州调研）现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴

截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（D）

解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=l.

所以圆锥的母线为1*十期*+1次因此S圆锥门R1=1X百

Ji=‘Ji.故选D.

7.如图，正三棱柱ABC-AIBICI的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从

点A出发沿每个侧面爬到Ab路线为A-M-N-Ai,则蚂蚁爬行的最短

路程是（A）

4*+9949a2+炉

4商+9胪逅24万2

解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b,宽为

a,则其对角线AA.的长为最短路程，因此蚂蚁爬行的最短路程为

士+胡故选A.

8.（2020•浙江卷）已知圆锥的侧面积（单位:cm）为2冗，且它的侧面

展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位:cm）是.

解析:如图,设圆锥的母线长为1,底面半径为r,

则圆锥的侧面积S侧=nrl=2Ji,

所以r•1=2.

又圆锥的侧面展开图为半圆,

所以0nr=2JI,

所以1=2,所以r=l.

答案：1

9.如图，在4ABC中，AB=8,BC=10,AC=6,DB_L平面ABC,且AE〃FC〃

BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.

E

解:法一如图，取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何

体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.

所以V几何体二V三枝柱+V四棱锥・

由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为义8X6X3=72.

111

四棱锥D-MNEF的体积为V2=§-S梯形MNEF-DN=3X2X（1+2）X6X8=24,

则几何体的体积为V=V,+V2=72+24=96.

法二用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA'=BB，=CC'

111

=8,所以V几何体=2V三棱柱=2,SAABC,AA'=2X24X8=96.

B级综合运用练

10.（多选题）（2021•山东烟台调研）在一个密闭透明的圆柱筒内装一

定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内

的水平面可以呈现出的几何形状可能是（ABD）

A.圆面B.矩形面

C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面

解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部

分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不

可以呈现出梯形面.故选ABD.

11.（多选题）（2021・湖北武汉模拟）长方体ABCD-ABCD的长、宽、

高分别为3,2,1,则（BC）

A.长方体的表面积为20

B.长方体的体积为6

C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3企

D.沿长方体的表面从A到C.的最短距离为24

解析:长方体的表面积为2X（3X2+3X1+2X1）=22,A错误.长方体的

体积为3X2X1=6,B正确.如图1所示,长方体ABCD-AiBCDi

中，AB=3,BC=2,BBk1,将侧面ABBA和侧面BCCB展开,如图2所示.

连接AC„贝IJ有AC尸所5,即经过侧面ABB,A,和侧面BCCB

时,A到C,的最短距离是旧；将侧面ABBA和底面ABCD展开,如图3

所示,连接ACb则有AC尸门2+#=3企,即经过侧面ABB.A,和底面

ABCD时,A到C.的最短距离是3衣;将侧面ADDA和底面ABCD展

开,如图4所示.

LT______

A4Bi

图3图4

连接AG,则有ACL"+即经过侧面ADD.A,和底面ABCD

时一,A到G的最短距离是2*因为3伍2叫所以沿长方体表面

由A到G的最短距离是36,C正确,D错误.故选BC.

12.（2021•重庆诊断）一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展

出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，

罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8m,体积

0.5m3,其底部是直径为0.9m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至

少间隔0.3m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2m,气体每立方

米1000元，求气体的费用最少为（B）

A.4500元B.4000元

C.2880元D.2380元

解析：因为文物底部是直径为0.9m的圆形,文物底部与玻璃罩底边至

少间隔0.3m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长

最少为0.9+2X0.3=1.5（m）.又文物高1.8m,文物顶部与玻璃罩上底

面至少间隔0.2m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m),则正四棱

柱的体积V=l.52X2=4.5(m3).因为文物的体积为0.5m3,所以罩内气

体的体积为4.5-0.5=4(m)因为气体每立方米1000元,所以气体的

费用最少为4X1000=4000(元).故选B.

13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已

知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,

则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.

解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=6X2X22Xsin60°=6丫》(加),

正六棱柱的体积为V尸6*X2=12有(01力，圆柱的体积为V2=弘

.

xo.52X2=2(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的体积为

百-23

V=V1-V2=(12*-)(cm).

答案：(12曲-初

C级应用创新练

14.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B,为PB的中点,立为PD的中点，则棱

锥A-BCQ与棱锥P-ABCD的体积之比是(A)

A.1：4B.3：8C.1：2D.2：3

解析:如图，棱锥A-BCDi的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减

去角上的四个小棱锥的体积得到.

因为R为PB的中点，以为PD的中点,所以棱锥BrABC的体积和棱锥

1

D-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的工棱锥C-PB.D）的体积与

1

棱锥A-PBD的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的彳,则中间剩下的

Y29V

棱锥A-Bg的体积上/8』"3><和"=和一则则r/5：

Vp-ABCD=1:4.故选A.

15.（2021•广东佛山质检）已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点

A,B满足ASAB为等边三角形,且面积为4曲,又知圆锥轴截面的面积

为8,则圆锥的侧面积为

B

解析:设圆锥的母线长为1,由4SAB为等边三角形,且面积为力小,所

I-JQ

以2「sin3=4丫》,解得1=4.

又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.

又r2+h2=16,解得r=h=2^,

所以圆锥的侧面积S=wrl=Ji•2'^义4=8°R.

答案：82

第二课时球及其表面积与体积

美夕溶支波实四翼

关键能力•课堂突破

感考点一球的表面积与体积

1.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一

个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深

为6cm,若不计容器厚度,则球的体积为(A)

500VB66v

A.3cm3B.3cm3

1372-a2048V

C.3cm3D.3cm3

解析：如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2(cm),BM=2AB=2X8=

4(cm).设球的半径为Rcm,则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,所以R=5,所以V球

4500

3

=3JIX5二亏(cm).故选A.

c

2.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的

水中，若取出这个铁球,测得容器的水面下降了Qcm,则这个铁球的表

面积为cm2.

45

解析:设该铁球的半径为r,则由题意得多nr3=nX102X3解得r3=5;\

所以r=5,所以这个铁球的表面积S=4JrX52=100(cm').

答案：1007

一题后悟通

1.求球的体积与表面积的方法

(1)要求球的体积或表面积,须通过条件能求出半径R,然后代入体积

或表面积公式求解.

(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积

或体积的相关题目也就易如反掌了.

2.球的截面问题的解题技巧

⑴有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中

圆的问题.

⑵解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构

成的直角三角形，即R2=d2+r2.

戚考点二球的接、切问题

。角度一“相接”问题

已知球0是三棱锥P-ABC的外接球,PA=AB=PB=AC=2,CP=2衣，

点D是PB的中点，且CD=5,则球0的表面积为（）

A.亏B.石

28低!1&■

C.~^7~D.石

解析:依题意，由PA=AC=2,CP=2四，

得AP_LAC.

连接AD,由点D是PB的中点且PA=AB=PB=2,得AD=避，

又CD",AC=2,可知AD±AC,

又APCAD=A,APu平面PAB,ADu平面PAB,所以AC_L平面PAB.

以4PAB为底面,AC为侧棱补成一个直三棱柱,则球0是该三棱柱的外

1

接球，球心0到底面4PAB的距离d=2AC=l.

PA2

由正弦定理得4PAB的外接圆半径产石高诃=存，

所以球0的半径R=^钎

故球0的表面积S=4JiR2=B.故选A.

解题策略

处理“相接”问题,要抓住空间几何体“外接”的特点，即球心到多面

体的顶点的距离等于球的半径.

口角度二“相切”问题

70(1)已知正四面体p-ABC的表面积为Si,此四面体的内切球的表

三

面积为S2,则与=.

⑵已知正方体的棱长为2,则与正方体的各棱都相切的球的表面积

是.

且

解析：(1)设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为&=4X彳•a2

=Va2,其内切球半径r为正四面体高的&即r^xTa^a,因此内切

U2

球的表面积为S2=4Tir,-=6,贝！J$z=6=■.

⑵过正方体的对角面作截面如图.

故球的半径厂

所以其表面积S=4冗X（虫）2=8n.

673

答案：⑴,⑵8”

解题策略

处理“相切”问题，要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.

［针对训练］

1.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2,AB=AC=1,BC=^,则该三棱锥的外

接球的表面积为（）

竺432^3

3

A.8冗B.JIC.3JID.27JI

解析:如图,由PA=PB=PC=2,过P作PGJL平面ABC,垂足为G,则G为三

角形ABC的外心.

在4ABC中，由AB=AC=1,BC=可得NBAC=120°.

由正弦定理可得就也》。=2AG,即AG=1,

所以PG二师褥照

取PA的中点H,作HO±PA交PG于点0,连接0A,则点0为该三棱锥外

接球的球心.

PHPGPH-PA1x22^3

由△PHOS/^PGA,可得而=而,则PO=PG=W=V,

2^3

即该三棱锥外接球的半径为与"，

2g16

所以该三棱锥外接球的表面积为4口义（亏）2=5九故选B.

2.在三棱锥P-ABC中，PAd_平面ABC且PA=2,AABC是边长为由的等

边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.3B.4nC.8bD.20b

解析：由题意得,此三棱锥外接球即为以4ABC为底面、以PA为高的

正三棱柱的外接球.因为4ABC的外接圆半径r=TxV5X3=l,外接球

PA

球心到4ABC的外接圆圆心的距离d=3=l,所以外接球的半径

R"十丝佟所以三棱锥外接球的表面积为S=4五R2=8冗.故选C.

3.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的

体积为.

解析:当球为圆锥的内切球时,球的半径最大.

如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.

其中球心为0,设其半径为r,AC=3,OC=1,

所以AO尸1c%整

因为00i=0M=r,

所以A0=A0「00i=2°-r,

又因为△AMOS^AOC,

OM_AOr2岳ryf2

所以而=茄，即2H解得r=T,

所以该圆锥内半径最大的球的体积为

♦^2

V=3JlX(万')3=可.

答案:行

M备选例题

CWD一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离

是4cm,则该球的体积是()

100*208・

A.3cm:iB.3cm1

500*416g.

C.3cm3D.3cm3

解析:根据球的截面的性质，得球的半径R="二+.=5(cm),所以V球二

500M

nRJ3(cm3).故选C.

CW球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为a,则球的表面积

为

解析:正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面（正方形）

的中心,经过四个切点及球心作截面,如图，

a

所以有2r=a,r=2所以S=4nr2=五a2.

答案：短2

灵活》医漕致提髭

课时作业

2选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

球的体积与表面积1,2,3,5

球的切、接问题4,6,7,8,9

综合问题10,11,12,13,1415,16

A级基础巩固练

1.已知底面边长为1,侧棱长为‘2的正四棱柱的各顶点均在同一个球

面上，则该球的体积为（D）

A.亏B.4兀C.2JiD.不

解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所

-V12+12+（V2）2—,—

以半径尸2^十,十”勾=1,所以V球=3X13=3.故选D.

2.（2021•安徽安庆调研）已知在四面体PABC中，PA=4,BC=2,,

PB=PC=2避,PAJ_平面PBC,则四面体PABC的外接球的表面积是

（C）

A.160JiB.128JiC.40nD.32n

解析：因为PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PB±PC,又PA,平面PBC,所以

PA±PB,PA±PC,即PA,PB,PC两两相互垂直,以PA,PB,PC为从同一顶

点出发的三条棱补成长方体,所以该长方体的体对角线长为

胸2+PB2+POV12+12+16=2旧故该四面体的外接球半径

为收.于是四面体PABC的外接球的表面积是4nX（向）MOn.故

选C.

3.已知A,B,C为球0的球面上的三个点，为AABC的外接圆.若。

。1的面积为4jAB=BC=AC=0Ch,则球。的表面积为（A）

A.64nB.48弘C.36冗D.32n

解析:如图所示,设球0的半径为R,OOi的半径为r,因为OOi的面积

AB

为4九所以4冗二冗/,解得r=2,又AB=BC=AC=00i,所以51n60。=2r,解得

AB=2@故00尸2遍,所以R2=0O1+r2=（2^）2+22=16,所以球0的表面积

S=4JiR2=64n.故选A.

4.（多选题）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线

段MN的最小值为6-1,则（ABC）

A.正方体的外接球的表面积为12Ji

B.正方体的内切球的体积为了

C.正方体的棱长为2

D.线段MN的最大值为2避

解析:设正方体的棱长为a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一

半，即Ea,内切球的半径为棱长的一半，即2因为M,N分别为外接球和

V3«生后

V

内切球上的动点,所以MNrain=Ta-2=^-a=-1,解得a=2,即正方体的

棱长为2,C正确；正方体的外接球的表面积为4m义（百）2=12北，A正

确；正方体的内切球的体积为WB正确;线段MN的最大值为

舟£百

V

2a+2=+1,D错误.故选ABC.

5.如图，在圆柱0。内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均

相切.

记圆柱oa的体积为v„球o的体积为%,则皈的值是.

解析:设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱oa的底面圆的半

■R2-2R

巴~

径为R,高为2R,故/=3=2

3

答案3

6.(2021•湖南长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-ABG内有一个体积

为V的球.若AB±BC,AB=6,BC=8,AA,=3,则V的最大值是.

解析：由AB±BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大,则球与直

三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切，设底面AABC的内切圆的

11

半径为r,则2X6义8=2*(6+8+10)•r,所以r=2,2r=4>3,不符合题意.

3

则球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大，则2R=3,即R=2

49

故球的最大体积V=3JIR=2方.

9

答案：5n

7.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个

32

球的体积是5n,那么这个三棱柱的体积是

432

解析：设球的半径为r,则三盯一=父JI,得r=2,则正三棱柱的高为2r=4.

又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正

三角形的边长为4仃,所以正三棱柱的体积为

V=¥x(4*)2*4=486.

答案：48曲

8.(2021•新高考八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为

10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积

为.

解析：因为圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图

所示.设球的球心为0,圆台上底面的圆心为0',则圆台的高

00’«OQ2c.也2*=3,据此可得圆台的体积为V旦n

X3X(52+5X4+42)=61n.

答案：61五

9.在半径为15的球。内有一个底面边长为12百的内接正三棱锥

A-BCD,求此正三棱锥的体积.

解：（1）如图甲所示的情形,显然0A=0B=0C=0D=15.设H为ABCD的中心,

则A,0,H三点在同一条直线上.因为HB=HC=HD=3X2X12V=12,所以

0M呵9,

所以正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.

2百y=I。*

又SABCD=4X(1

所以V三梭锥A-BCD=1*108^^X24=864^^.

（2）对于图乙所示的情形，同理,可得正三棱锥A-BCD的高h，

V

=15-9=6,SABCD=1080

所以V二棱锥A-BCD=3*108^^X6=216^^.

综上,可知正三棱锥的体积为864机或216百.

B级综合运用练

10.已知aABC是面积为7■的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.

若球0的表面积为16口，则0到平面ABC的距离为（C）

里

C.1D.T

2

解析:设球0的半径为R,则4nR=16JI,解得R=2.设4ABC外接圆的

半径为r,边长为a.因为4ABC是面积为丁的等边三角形,所以

1更些-/a2--?/5

2a?•2=4,解得a=3,所以厂三•、,=§><、=，所以球心0到

平面ABC的距离d=^k=忏可=1.故选C.

11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0的球面上,PA=PB=PC,AABC

是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点，NCEF=90°,则球0

的体积为（D）

A.8"贰B.4诉nC.2fD.诉n

解析:因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF〃PB,

因