函数的单调性（教案）二

第页共页函数的单调性〔教案〕二函数的单调性〔教案〕二〔三〕例题讲解例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f〔x〕的图象，根据图象说出f〔x〕的单调区间，并答复：在每一个单调区间上，f〔x〕是增函数还是减函数？〔用投影幻灯给出图象．〕生甲：函数y=f〔x〕在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f〔x〕的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f〔x〕的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f〔x〕的单调减区间，那么，是否可认为〔-5，-2〕也是f〔x〕的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，考虑问题很严谨．容易证明：假设f〔x〕在[a，b]上单调〔增或减〕，那么f〔x〕在〔a，b〕上单调〔增或减〕．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．假设f〔x〕在[a，b]上单调〔增或减〕，且[，][a，b]，那么f〔x〕在[，]〔增或减〕．反之不然．例2证明函数f〔x〕=3x+2在〔-∞，+∞〕上是增函数．师：从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但假如每次都要画出函数图像就太费事了，而且有些函数不容易画出它的图像，一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。师：怎样用定义证明呢？请同学们考虑后在笔记本上写出证明过程．〔老师巡视，并指定一名中等程度的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比拟和的大小关系感到无从入手，老师应给以启发．〕师：对于和我们如何比拟它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，假如a＞b，那么它们的差a-b就大于零；假如a=b，那么它们的差a—b就等于零；假如a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：〔板演〕设，是〔-∞，+∞〕上任意两个自变量，当时，，所以f〔x〕是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开场设，是〔-∞，+∞〕内任意两个自变量，并设〔边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”〕，然后看，这一步是证明的关键，再对式子进展变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”〔同上，划线并标注”②→作差，变形”〕．但美中缺乏的是他没能说明为什么＜0，没有用到开场的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而＜0，即．”这一步可概括为“定符号”〔在黑板上板演，并注明“③→定符号”〕．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”〔在相应位置标注“④→下结论”〕．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，假如函数y=f〔x〕在给定区间上恒大于零，也可小．调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的.定义．比方取x1∈〔-∞，0〕，取x2∈〔0，+∞〕，显然成立，而，，显然有，而不是，因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在〔-∞，0〕和〔0，+∞〕上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在〔-∞，0〕和〔0，+∞〕每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增〔减〕区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．〔老师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可根据学生的问题，给出下面的提示：〔1〕分式问题化简方法一般是通分．〔2〕要说明三个代数式的符号：k，，．〔3〕假如用作商的方法，要注意说清与1的关系，还要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变。〔四〕课堂练习课本38页练习1、2、3.〔五〕课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？〔请一个思路明晰，擅长表达的学生口述，老师可从中给予提示．〕生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”