不等式+考点过关训练 高三数学一轮复习

不等式一、单项选择题1．关于x的不等式－x2＋3x－4<0的解集为()A．RB．∅C．(－1，4)D．(－∞，－1)∪(4，＋∞)2．设a，b∈R，则“eq\f(1,b)>eq\f(1,a)”是“a>b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x<0，则x＋eq\f(1,x)的最大值为()A．－2B．－2eq\r(2)C．－eq\f(3,2)D．24．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a的值为()A．eq\f(15,2)B．±eq\f(15,2)C．eq\f(5,2)D．±eq\f(5,2)5．若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为()A．{x|x<eq\f(a－1,2)或x>eq\f(a＋1,2)}B．{x|x<eq\f(a＋1,2)或x>eq\f(a－1,2)}C．{x|eq\f(a－1,2)<x<eq\f(a＋1,2)}D．{x|－eq\f(a＋1,2)<x<－eq\f(a－1,2)}6．若ab>0，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a2>b2B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2D．eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)7．若关于x的不等式ax2－(a2＋6a＋9)x＋a＋1<0的解集是{x|m<x<n}，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．8B．6C．4D．28．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是()A．eq\f(1,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(2\r(5),5)D．2二、多项选择题9．下列选项正确的有()A．若a>b，c>d则a＋c>b＋dB．若a>b>0，c>d>0则ac>bdC．若a>b，c<d则a－c>b－dD．若a>b>0，c<d<0则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)10．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则()A．2a2＋b≥eq\f(7,8)B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4C．ab≤eq\f(1,4)D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)11．下列说法不正确的是()A．若x>0，y>0，满足x＋y＝4，则xy的最大值为4B．若x<eq\f(1,2)，则函数y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最小值为3C．若0<x<1，则函数y＝eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))的最小值为2D．函数y＝eq\f(4,x)＋eq\f(1,1－x)(0<x<1)的最小值为912．已知正数x，y满足x＋2y＝4，若存在正数x，y使得eq\f(1,2x)＋x≤t－2y－eq\f(1,y)成立，则实数t的可能取值是()A．2B．4C．6D．8三、填空题13．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋eq\f(3,8)>0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为________．14．已知存在x∈[1，3]，使不等式x2－kx＋4≤0有解，则实数k的取值范围为________．15．已知函数f(x)＝2x＋eq\f(a,2x＋1)的最小值为5，则实数a＝________．16．已知正实数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为________；a2＋ab＋a＋b－eq\f(2,ab)的最大值为________．1．答案：A解析：由－x2＋3x－4<0，得x2－3x＋4>0，因为Δ＝（－3）2－4×4＝－7<0，所以不等式x2－3x＋4>0的解集为R.故选A.2．答案：D解析：取a＝－1，b＝1，则eq\f(1,b)>eq\f(1,a)成立，但a>b不成立，故充分性不成立；取a＝1，b＝－1，则a>b成立，但eq\f(1,b)>eq\f(1,a)不成立，故必要性也不成立；所以“eq\f(1,b)>eq\f(1,a)”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选D.3．答案：A解析：当x<0时，－x>0，∴x＋eq\f(1,x)＝－[（－x）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))]≤－2eq\r(（－x）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x))))＝－2（当且仅当－x＝－eq\f(1,x)，即x＝－1时取等号），∴x＋eq\f(1,x)的最大值为－2.故选A.4．答案：D解析：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为（x1，x2），∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个不同的实数根，且Δ＝4a2＋32a2>0，∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，∵x2－x1＝15，∴152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2，a2＝eq\f(152,36)，解得a＝±eq\f(5,2).故选D.5．答案：C解析：由题可知，原不等式可转化为[2x－（a＋1）][2x－（a－1）]<0，因为eq\f(a＋1,2)>eq\f(a－1,2)，所以不等式的解为eq\f(a－1,2)<x<eq\f(a＋1,2).故选C.6．答案：C解析：对于A，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而a2＝1<b2＝4，所以A错误，对于B，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而eq\f(1,a)＝－1<eq\f(1,b)＝－eq\f(1,2)，所以B错误，对于C，因为ab>0，所以eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b时取等号，而a>b，所以取不到等号，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2，所以C正确，对于D，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而eq\f(a＋b,2)＝－eq\f(3,2)<eq\r(ab)＝eq\r(2)，所以D错误．故选C.7．答案：A解析：根据题意可得x＝m和x＝n是方程ax2－（a2＋6a＋9）x＋a＋1＝0的两根且a>0，即m＋n＝eq\f(a2＋6a＋9,a)，mn＝eq\f(a＋1,a).故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(a2＋6a＋9,a＋1)＝eq\f(（a＋1）2＋4（a＋1）＋4,a＋1)＝（a＋1）＋eq\f(4,a＋1)＋4≥4＋4＝8，当且仅当a＝1时，等号成立．故选A.8．答案：B解析：因为5x2y2＋y4＝1，所以x2＝eq\f(1－y4,5y2)，因为x2≥0，所以y2∈（0，1]，所以x2＋y2＝y2＋eq\f(1－y4,5y2)＝eq\f(1＋4y4,5y2)＝eq\f(1,5)（4y2＋eq\f(1,y2)）≥eq\f(1,5)×2eq\r(4y2·\f(1,y2))＝eq\f(4,5)，当且仅当4y2＝eq\f(1,y2)，即y2＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,10)时取等号，所以x2＋y2的最小值是eq\f(4,5).故选B.9．答案：ABC解析：∵a>b，c>d，相加即得a＋c>b＋d，A正确；对于C，∵c<d，∴－c>－d，且a>b，相加即得a－c>b－d，C正确；∵a>b>0，c>d>0，两式相乘，即ac>bd，B正确；对于D，当a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1时，代入不符合题意，D错．故选ABC.10．答案：ACD解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以0<a<1，所以2a2＋b＝2a2－a＋1，二次函数的抛物线的对称轴为a＝eq\f(1,4)，所以当a＝eq\f(1,4)时，2a2－a＋1的最小值为eq\f(7,8)，所以2a2＋b≥eq\f(7,8)，所以选项A正确；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝（eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)）（a＋b）＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4成立，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号），故选项B错误；∵1＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)成立，（当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号），故选项C正确；∵（eq\r(a)＋eq\r(b)）2＝a＋b＋2eq\r(ab)≤2（a＋b）＝2，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)（当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号），故选项D正确．故选ACD.11．答案：BC解析：对于A，因为x>0，y>0，满足x＋y＝4，则xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最大值为4，故选项A正确；对于B，因为x<eq\f(1,2)，则1－2x＞0且eq\f(1,1－2x)>0，所以y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－[（1－2x）＋eq\f(1,1－2x)]＋1≤－2eq\r(（1－2x）·\f(1,1－2x))＋1＝－1，当且仅当x＝0时取等号，所以函数y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值为－1，故选项B错误；对于C，因为0＜x＜1，所以y＝eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2eq\r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2，当且仅当x＝1时取等号，则等号取不到，所以ymin>2，故选项C错误；对于D，因为0＜x＜1，∴y＝eq\f(4,x)＋eq\f(1,1－x)＝（eq\f(4,x)＋eq\f(1,1－x)）[x＋（1－x）]＝5＋eq\f(4（1－x）,x)＋eq\f(x,1－x)≥5＋2eq\r(\f(4（1－x）,x)×\f(x,1－x))＝9，当且仅当eq\f(4（1－x）,x)＝eq\f(x,1－x)，即x＝eq\f(2,3)时取等号，故函数y＝eq\f(4,x)＋eq\f(1,1－x)（0<x<1）的最小值为9，故选项D正确．故选BC.12．答案：CD解析：由题可知存在正数x，y使得eq\f(1,2x)＋x＋2y＋eq\f(1,y)≤t成立，所以t≥（eq\f(1,2x)＋x＋2y＋eq\f(1,y)）min，因为正数x，y满足x＋2y＝4，所以eq\f(1,2x)＋x＋2y＋eq\f(1,y)＝4＋eq\f(1,4)（eq\f(1,2x)＋eq\f(1,y)）（x＋2y）＝4＋eq\f(1,4)（eq\f(5,2)＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)）≥4＋eq\f(1,4)（eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))）＝eq\f(41,8)，当且仅当x＝y时，取等号，∴t≥eq\f(41,8).故选CD.13．答案：（－eq\r(3)，eq\r(3)）解析：由题意Δ＝k2－4×2×eq\f(3,8)<0，－eq\r(3)<k<eq\r(3).14．答案：k≥4解析：由于x∈[1，3]，分离参数后问题转化为：k≥x＋eq\f(4,x)在x∈[1，3]上有解，只需要k≥（x＋eq\f(4,x)）min，由基本不等式x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当x＝eq\f(4,x)时，即x＝2取得等号，而2∈[1，3]，（x＋eq\f(4,x)）min＝4，故k≥4.15．答案：9解析：方法一由题意可知f（x）＝2x＋eq\f(a,2x＋1)≥5对任意的x∈R恒成立，即a≥（5－2x）（2x＋1）恒成立，因为（5－2x）（2x＋1）＝－（2x）2＋4·2x＋5＝－（2x－2）2＋9≤9，当且仅当2x＝2时，即当x＝1时，等号成立，所以，a≥9.方法二