对空间和平面力系平衡条件的认识

PAGEPAGE6对空间与平面力系平衡条件的认识（北京科技大学土木与环境工程学院，100083）摘要：作者在理论力学课程学习过程中，对空间与平面力系平衡条件的多种形式及其限制条件的产生了兴趣，经过一段时间的文献学习和研讨，已初步了解到了前人的一些研究成果，也对此问题进行过一些探讨。本文将介绍作者从学生角度对空间和平面力系平衡条件的一些认识，期望它会对理论力学的课程教学有所帮助。关键词：静力学；空间和平面力系；平衡；限制条件，理论力学教学1问题的引出在理论力学课程里静力学内容的学习过程中，作者对空间与平面力系平衡条件的多种形式及其限制条件的产生了兴趣。例如，空间任意力系的六矩式的限制条件是什么？而在教科书中并没有给出明确的限制条件来。作者带着这些问题经过一段时间的查阅文献和理论探讨，初步了解到了一些已有的研究成果[1-6]。受启发教深的是参考文献[1]中有关空间任意力系平衡判定的多矩式存在性和限制条件的研究。作者在参考文献[1]的基础上，进一步讨论了空间和平面力系多矩式形式下平衡判定的限制条件。力系平衡的限制条件：2．1空间任意力系平衡的限制条件记、、表示力分别在x、y和z轴上的投影，、、分别表示力对x、y、z轴的矩。已知直线的方向失量为，并且它经过空间一点的坐标为。设一空间任意力系有n个力组成，记力在直线轴上的投影为，对轴的矩为。整个力系对轴的矩为[2]：(1)整个力系在直线轴上的投影为(2)设在空间任意力系的6个平衡条件中，有k个力矩式，个力的投影式。记直线，，…，为取矩轴，直线，，…，作为投影轴。并且引入列向量：和矩阵则表达式（1）和（2）可写成如下形式：（3）若的行列式不等于0，则有。因此，等价于。即在的行列式不等于0的条件下，如果计算所得到的合力矩与合力列向量为零向量（合力矩与合力共6个量均为零），则可判定此空间力系平衡。同时由矩阵的形式也可知，空间力系平衡判定最少要有三个取矩轴，即，否则矩阵不可逆（不满秩）。颗2男．芒2现平面任意鸟力系平衡畜的限制条甲件哨3杯平面力系助平衡条件夕：导将只(1胃)贼，墙(2母)矿式退化至昨平面力系羡，用才表示力解对原建点冲O迷的矩，用泄、返表示力躺分别笋在伤x奸轴奉、伯y咬轴您和晋z听轴上的投笨影。用隔表示力往对轧的矩，用韵表示其在旧方向向量限为浓的直线殿上的投影驴，则有：令：杠3.1远针对点温和直线梢，鹿的一矩二颂力式：令：，爹则有缘，若平面衔力系的平瘦衡判定合碍理，则湖可逆，即爬的行列式玉不道为蠢0恰，解得：上，此即直鸣线往，障不平行的柜等价条件供。虑3.2盾针对点慎，呀和直线腿的二矩一米力式：令：，掠则有未，若平面放力系的平县衡判定合器理，同上枕解得：碎，此即过冈两点的直谋线与直线植不垂直的残等价条件厚。僵3.3伞针对点饶，易和态的三矩式逆：令：，至则有杨，若平面间力系的平希衡判定合俯理，同上宫解得：猎，此即希三点不共牌线的等价庄条件。券空间力系冈平衡的一拨个必要条僵件的几何蜜表述狭：可将空间力则系向原点摩化简，得捧到一个合投矩慨与一个合叮力别，膛设死与割x债轴的方向挂向量夹角键为呢，则良，如果份与商x征轴垂直，岔显然无论搏是否耳为焰0晚，辈都将富为影0麻。同理，衫求困对于任意抖直线半的矩的分粒量计，若如果锯与岸垂直，无闲论假是否恳为烘0弓，瑞都将长为迟0值。如果属与念在空间中何共面，显困然喂对于驻的矩也夸是禾0选。送对于欧，设嗽与房x忆轴的方向捧向量夹角粗为民，则候，如果矛与酒x行轴垂直，忘显然无论兄是否伴为扩0值，按都将帝为扔0扣。同理，擦求穷在任意直往线份上的分量鸽，形如果顾与然垂直，无大论姓是否叛为普0院，坛都将互为轰0帮。接因此，如唉果对于空贸间力系的柳平衡判定撑中，如果柄存在一条渐直线垂直谅于所有的首取矩轴（塌此条件等犁价于存在乳一个平面纹平行于所暖有的取矩请轴），空肠间力系向共此直线上堤的一点化壳简，若得傍到的合矩息位于此直胳线上，则煌不论其是绑否束为神0雀，在所有代的取矩轴坚上的分量膀均围为雅0驼，此条件故下的空间渡力系平衡砌判定不合铃理。索同理，如严果对于空薄间力系的惊平衡判定微中，如果浆存在一条胳直线与所熊有的取矩证轴分别共凶面，且与惹所有的所眠求力的投呀影方向均奋垂直时，盐空间力系卷向此直线忽上的一点卡化简，若风得到的合尘力位于此稼直线上，蛛则不论其构是否刻为热0聋，对所有紧的取矩轴细求矩均风为遍0除，在所要贫求的投影赶方向上的鞋力的分量卡也化为舌0飞，此条件茄下的平衡羊判定不合翻理。界故空间力夕系的平衡华判定若合蠢理，则有剪如下必要赚条件：喂空间中不写存在一条说垂直于所剑有的取矩铁轴的直线劈（或存在匙某一个平猛面平行于竖所有的取寇矩轴），途且空间中每不存在一百条与所有瑞取矩轴均鸽共面且与赔所有投影多方向均垂孔直的直线和。否则空弹间力系的团平衡判定励不合理。兔空间力系揪平衡判定抗中，当塘有四条隐（抛至地）及以上狼共点的矩皇轴敬时抢（设交点看为鉴O做）劳，根据此钩四条矩轴防列出的方茄程必线性锹相关，独径立方程不摔足匀6闹个，午平衡判定拒不合理。议下面利用姑以上的必猴要条件证鹅明此结论僵。雪对于四矩亦式，过研点夫O傻分别作与引力的投影桨所在直线遥，粒垂直的平走面。由于洒两平面有列公共点，痛显然至少呀有一条交码线田，当空间荐力系的合据力在此直础线上时，正对所有矩脑轴取矩和冠对所有投撑影方向的闯合力分量珍均佳为砌0浸。狗对于五矩蜂式，没点视O抬与洁确定平面满，过铺点叹O掏作与所求室力的投影已所在直线塑垂直的娃平面模。由于两每平面有公宽共点，显胸然至少有傅一条交线昆。结论同到上面的四形矩式。优对于六矩羡式，赌点订O陵与弯确定平面连，岛无论与此取平面平行另还是相交隶，都御能在龄平面束找到一条符内过刷点谢O堤的直线与停共面。当怜空间力系哈的合力在法此直线上开时，对所信有矩轴取车矩结果均上为拉0健。哈显然共点本矩轴多于狭四个时，束证明过程伐类似。故晒当空间力稍系平衡判巨定中脱有四条傲及以上舒共点的矩愈轴仅时，菠平衡判定明不合理。母利用上面垦的必要条观件和本文耀第胞2宽部分中的案结论可得禾到文献宰中部分结窝论的等价裁结论而相补互印证。毯参考文献命：毕[1]扯滔余辉，王投晓军。静弹力平衡方红程的独立奥性。常州骗工学院学住报坑，以200约6辫年钻第夫1置9绢期停第场2足期农：桶31~3器5范。柳[2]鸟订李越铭，奥李丰良。酱空间任意值力系平衡骑方程的独慧立性伴。仅200研2徐年虹第抗2欧0票卷角第探2凶期米：桶66~7竿1断。体[3]架锅赵永刚，蛛李世荣。柴空间力系框矩式平衡缴方程相互竞独立的几静何条件。惜甘肃工业农大学学报脑，洋199姓4惊年草第盈2绪0细卷翅第徐4聚期猜：虎97~1痒0泛1眠。萝[也4冒]栋团李珠，梁本成。空间雪力系三、霞四、五、却六力矩平哀衡方程最狠简形式与原矩阵判据群。太原工榆业大学学今报脑，假199棍3窃年枝第驴2塑4犯卷午第站3叼期京：山95~9哨9爆。揭[剪5斤