中科大《线性代数与解析几何》讲义4线性空间

1第四章线性空间(LinearVectorSpace)?4.1n维数组空间每一个方程可以与一个n+1维向量一一对应因此,一个线性方程组对应于一组n+1维向量．对方程组做初等变换对应于对向量做加、减、数乘等运算定义4.1n维数组向量(对平面、空间向量的推广)及数组向量的运算加、减、数乘．运算法则:(i)加法交换律(ii)加法结合律(iii)分配律(iv)零向量(v)负向量(vi)乘法结合;(vii)1·a=a.定义4.2线性组合与线性表示初等变换即对方程做线性组合．线性组合的线性组合仍为线性组合．线性方程组可以表示为向量形式x1a1+···+xnan=b.其中a1,···,an,b为m维列向量．齐次方程的通解可以表示为x=t1β1+···+tn−rβn−r.m考虑集合:(a1,···,am):={λiai|λi∈F}i=1k该集合拥有性质b1,···,bk∈(a1,···,am),则μibi∈(a1,···,am).i=1定义4.3生成子空间与生成元生成子空间的几何考察．n=3,(a1)={λ1a1|λ1∈F}一般表示一条直线 (a1,a2)={λ1a1+λ2a2|λ1,λ2∈F}一般表示一个平面 (a1,a2,a3)={λ1a1+λ2a2+λ3a3|λ1,λ2∈F}一般表示整个三维几何空间．⎛1⎞⎛5⎞⎛1⎞⎛2⎞例4.1a1=3,a2=,a3=3,b=12问b∈(a1,a2,a3)??4.2线性相等与线性无关考察下列线性方程组⎪⎪⎧l1:=a11x1+···+a1nxn−b1⎪⎪l2:=a21x1+···+a2nxn−b2=0⎪⎪⎪lm:=am1x1+···+amnxn−bm=0如果li是其余方程的线性组合,即li=方程组等价:⎧l1=0⎪⎪⎪l2=0⇔⎪⎪⎪⎪(lm此时称l1,l2,···,lm=0是线性相关的．ji⎨(λjlj,则去掉方程li=0,原方程组与现l1=0li−1=0li+1=0lm=0例4.2⎨(x+y+z=12x+y+5z=2是否线性相关?x−3y+13z=1解:l1=x+y+z−1,l2=2x+y+5z=−2,l3=x−3y+13z−1=0.设l3=λ1l1+λ2l2,则⎧λ1+2λ2=1⎪⎪λ1+5λ2=13λ1+λλ1+5λ2=13⎪⎪λ1+2λ2=1l3=−7l1+4l2.λ2=4.←λ1λ2=4.由于方程与向量一一对应因此可以类似定义数组向量的线性相关性3定义4.4设a1,···,am∈Fn.如果3i及λj∈F(ji)使ai=λjaj,则称jia1,···,am线性相关,否则,称它们线性无关．重新考察例4.2设a1=(1,1,1,1),a2=(2,1,5,2),a3=(1,−3,13,1).则a3=−7a1+4a2.因此a1,a2,a3线性相关．由于mmλjaj=0,某个λi=1⇔λjaj=0,某个λi0j=1j=1因此有定理4.1设a1,···,am∈Fn,则a1,···,am线性相关⇔3不全为零的常数mλ1,···,λm使λiai=0.i=1,111,,,解:a1,a2,a3线性相关⇔λ1a1+,111,,,解:a1,a2,a3线性相关⇔λ1a1+λ2a2+λ3a3=0有非零解⇔,215,=0.,,,,,1−313,因此,a1,,,1−313,几条基本性质:(1)含零向量的向量组线性相关,特别0向量线性相关．(2)部分相关⇒整体相关．(3)整体无关⇒部分无关．例4.4设a1,a2,a3∈R3.则a1与a2线性相关⇔a1=λa2或a2=μa1,即a1//a2a1与a2线性无关⇔a1∦a2a1,a2,a3线性相关⇔其中一个向量是另两个的线性组合,不妨设a3=λ1a1+λ2a2⇔a1,a2,a3共面a1,a2,a3线性无关⇔a1,a2,a3不共面定理4.2a1···am线性相关⇔某个ai是它前面的向量的线性组合．4定理4.3a1,···,am线性相关⇔λ1a1+···+λmam=0有非零解．(1)m>n,a1,···,am线性相关．(2)m=n,det(a1,···,am)=0.(3)m<n⇔rank(a1,···,am)<m⇔(a1,···,am)的所有m阶子式为零．总结起来有a1···am∈Fn,a1···am线性相关⇔某个ai是其它向量的线性组合⇔某个ai是它前面的向量的一性组合⇔线性方程组λ1a1+···+λmam=0有非零解⇔rank(a1···an)<m.对应可以得到线性无关条件．例4.5一些例子①a,b,c∈R3共面⇔det(a,b,c)=0.②e1,e2,···,en线性无关．④设a1,a2,a3线性无关⇒a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关．⑤a1=(3,4,−2,5),a2=(2,−5,0,−3),a3=(5,0,−1,2),a4=(3,3,−3,5)是否线性相关?解λ1a1+λ2a2+λ3a3+λ4a4=0,⎛3253⎞⎛1002⎞⎜4−5得(λ1,λ2,λ3,λ4)=(2,1,−1,1),即2a1+a2−a3−a4=0.因此,a1,a2,a3,a4线性相关．例4.6a1,a2∈R3.设b1,b2是a1,a2在R2上投影则b1,b2线性无关⇒a1,a2线性无关．反之不然定理4.4a1=⎜⎟a2=⎜定理4.4a1=⎜⎟a2=⎜⎟···,am=⎜⎟(ar1⎠,(ar2⎠,(arm⎠及加长向量组5⎛a11⎞⎛a22⎞⎛a1m⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟b1=ar1,b2=ar2,···,bm=arman1an2anm⎝an1an2anm则a1···am线性无关⇒b1···bn无关b1···bm线性相关⇒a1···am相关接下来我们看看线性相关与生成子空间的关系我们回忆 (a1,···,an):={i1λiai,λi∈F}.先在R3中考虑 a)={λ1a1|λ1∈R}=←原点直线 (a1,a2)={λ1a1+λ2a2|λ1,λ2∈R}=,a2平面.⎧a1//a2//a3⎪⎪ (a1,a2,a3)=⎨a1∦a2,a3位于a1,a2所决定的平面,⎪a1,a2,a3不共面直线a1a2平面R3生成子空间的核心性质:lj=1定义4.5V⊂Fn为非空向量集合,它满足li=1则称V为Fn的向量子空间．显然(a1,···,am)为Fn的子空间,称为a1,···,am生成的子空间(SubspacespannedmR3过原点的直线或平面为线性空间．空间(a1···am)的“大小”,与m没有必然关系,与a1···am相关性有关．6若a1···am线性相关,设ai=λjaj⇒(a1···am)=(a1···ai−1,ai+1···an)ji反之亦然即若(a1···am)=(a1···ai−1,ai+1···am),则a1,···,am线性相关．相应地,a1,···,am线性无关⇔Ai,(a1···am)(a1···ai−1,ai+1···am)对三维空间中向量我们有a1,a2线性相关⇔a1//a2⇔dim(a1,a2)<2a1,a2线性无关⇔a1∦a2⇔dim(a1,a2)=2a1,a2,a3线性相关⇔a1,a2,a3共面⇔dim(a1,a2,a3)<3a1,a2,a3线性相关⇔a1,a2,a3不共面⇔dim(a1,a2,a3)=3?4.3极大无关组与秩给定向量组a1,···,am,如果它们线性相关,设ai可以用其它向量的线性组合表示则有 (a1···am)=(a1···ai−1,ai+1···am)即去掉ai剩下向量生成的空间不变类似地,如果a1···ai−1,ai+1···am线性相关,则可以进一步去掉其中一个向量而剩下向量生成的子空间不变这个过程可以一直进行下去直至剩下的向量组线性无关一般地有 r这里ai1,···air线性无关ai1,···air称为a1,···,am的一组极大无关组定义4.6(极大无关组)设a1···am∈Fn.若ai1,···,air线性无关,且任加一个其它向量air+1后ai1,···,air,air+1线性相关,则称ai1,···,air为a1,···,am的极大无关组或者说如果(a1,···,am)=(ai1,···,air)且ai1,···,air线性无关,则称ai1,···,air为a1,···,am的极大无关组类似地,可以定义方程组的极大无关组设方程组l1=0,···,lm=0的极大无关组为li1=0,···,lir=0.则li1=0,···,lir=0是与l1=0,···,lm=0等价,且线性无关的方程组(不能再去掉任何一个方程)7定义4.7(等价向量组)设向量组a1,···,am与向量组b1,···,bl生成相同的子空间,即 显然a1,···,am与b1,···,bl等价,当且仅当a1,···,am可以用b1,···,bl线性表示且b1,···,bl可以用a1,···,am线性表示例4.7求a1=(2,−1,3,1),a2=(4,−2,5,4),a3=(2,−1,4,−1)的极大无关组解由于3a1=a2+a3且a1,a2,a3中任两个线性无关,故其中任何两个为极大无关组如何求极大无关组定理4.5假设a1,···,am∈Fn经一系列的初等变换变为b1,···,bm∈Fn,则a1,···,am线性相关⇔b1···bm线性相关．因此,λ1a1+···+λmam=0有非零解⇔λ1b1+···+λmbm=0有非零解;ai1,···,air为a1···am的极大无关组⇔bi1,···,bir为b1,···,bm的极大无关组根据上述定理要求一组向量a1,···,am的极大无关组只需要对它做初等变换得到一组较简单的向量组其极大无关组很容易求解⎛−1⎞⎛4⎞⎛2⎞⎛0⎞⎜5⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜3⎟例4.8a1=a2=a3=a4=−294−53−2−14−294−5求它的极大无关组a1a2a3a4b1b2b3b4⎛−1420⎞⎛−1420⎞⎟⎜510⎟⎜3−2−14⎟⎜010−5⎟⎜3−2−14⎟⎜010−5⎟易知{a1,a2,a3},{a1,a2,a4}分别为极大无关组8现设ai1,···,air和aj1,···,ajs分别为a1,···,am的两个极大无关组问是否有T=s?回答是肯定的我们有下述定理定理4.6两个等价向量组{a1,···,ar}和{b1,···,bs}都分别线性无关,则T=s.定义4.8a1···am的极大无关组元素的个数(唯一)称为向量组的秩,记为rank(a1···am).下列结论是显然的aam线性无关⇔rank(a1,···,am)=m.aa线性相关⇔ramk(a1,···,am)<m.bbsaar}线性表示且b1,···,bs线性无关⇒s≤T.向量组的秩与矩阵秩的关系设A=(设A=(aij)m×n=⎜⎟=(b1···bn)(am⎠Ta·am)(行秩)=T(b1···bn)(列秩)=T(A).定理4.7矩阵的行秩等于列失等于矩阵的秩该定理以来于以下事实1◦初等行变换不改变矩阵的列秩2◦初等行变换不改变矩阵的行秩3◦初等行变换不改变矩阵的秩推论4.1A可逆⇔det(A)0⇔T(A)=n⇔A的行向量线性无关．⇔A的列向量是线性无关．9推论4.2r(A)=r⇒A的不等式零的r阶等式所在行构成A的行向量的极大无关组?4.4子空间的基与维数下面考察子空间的结构．在R2中,设a1,a2不共线则∀a∈R2,a可以唯一地表示成λ1a1+λ2a2.称a1,a2为R2的一组基．(λ1,λ2)称为a的坐标．类似地,在R3中设a1,a2,a3不共面则∀a∈R3,a可以唯一地表示成λ1a1+λ2a2+λ3a3.称a1,a2,a3为R3的一组基．(λ1,λ2,λ3)称为a的坐标．定义4.9V⊂Fn是子空间．V中一组向量{a1,···,ar}称为V的一组基,如果它能满足(1)∀α∈V,α可唯一表示成a1,···,ar的线性组合．(2)a1,···,ar线性无关．基即V的极大无关组定理4.8Fn中任一非零子空间都有一组基．由于任两组基等价,从而个数相等,称基元素的个数为维数.定义4.10V⊂Fn为子空间．定义dimV=rank(V).定理4.9V⊂Fn为r维子空间．则V中任意r+1个向量线性相关．定理4.10V为r维子空间,则V中任意r个线性无关向量为一组基．定理4.11U与V为Fn的子空间,U⊆V,则dimU≤dimV.定理4.12U与V为Fn的子空间且U⊆V,若dimU=dimV,则U=V.例4.9在R3中V={(北1,北2,北3)|北1+北2+北3=0},求V的基与维数例4.10V⊂Fn.证明V中任一线性无关组可扩充为V的基．课堂练习:1.A∈Fm×n.设A的某个r个子式非空．证明:该子式所在的行向量及所在列向量均线性无关．2.证明r(a1+b1···an+bm)≤r(a1,···,am)+r(b1,···,bm).3.求向量组a1=(−1,2,2,3),a2=(1,3,8,7),a3=(2,−1,2,4),a4=(3,0,6,3)的秩及极大无关向量组4.非零向量组a1,···,as(s≥2)线性无关⇔每个ai可以用前面向量的线性组合表示?4.5线性方程解集空间的结构?4.5.1齐次线性方程解集间的结构设A∈Fm×n,记V={x∈Fn|Ax=0}.1.V是Fn的子空间—解空间．2.V的基a1,...,as称为线性方程组Ax=0的基础解系任一解x可以表示为sx=λiai—通解．i=13.dimV=n−r(A).?4.5.2非齐次线性方程组解集的几何结构设A∈Fm×n及b∈Fm(非零),记W={x∈Fn|Ax=b},V={x∈Fn|Ax=0}W不是子空间!它具有性质定理4.13W={γ0+η|η∈V}=γ0+V.γ0是Ax=b的一个特解．?4.6一般线性空间将数组空间推广到其它空间1◦方程组成的空间．2◦多项式空间Pn.3◦三角多项式空间Cn.4◦矩阵全体Fm×n.定义4.11(线性空间空义)集合Vφ,数域F.两种运算1◦加法V×V→V;2◦数乘F×V→V.还要8条运算公理则称V为F上的线性空间．重点说明:①两种运算的定义②为何要8条公理从如下命题说明为何要8条公理λ1a1+···+λnan=0有非零解⇔ai=性质:(1)零向量唯一01+02=01=02+01=02.(2)负向量唯一(3)0a=θ:(−1)a=−a;λ0=0.(4)λa=0⇔λ=0或a=0.例4.11线性空间实例(1)V=Fn.F.通常向量的加法与数乘．(2)V={a1x1+···+anxn|ai∈F}..(3)V=Pn..(4)V=Fm×n.(5)V=C,F=R.(6)V=R+,F=R.α⊕β=αβ,λ◦α=αλ.(7)V=C[a,b].F=R.数组空间的相关理论线性相关与无关,极大无关组与秩子空间的基与维数等都可以推广到一般线性空间注意不同类R3中有几何:长度、夹角等．Fn也可以定义但一般线性空间中没有向量长度、方向等概念?4.7线性空间的同构记V={n元一次齐次方程全体}.对方程按通常的加法与数乘V构成一个线性空间．对每个l=a1x1+···+anxn=0∈V,有唯一(a1,···,an)∈Fn与之对应由此建立V与Fn的一个一一对应并且l1,···,lm线性相关↔b1,···,bm线性相关,其中bi与li对应称V与Fn同构(即V与Fn的结构从线性运算角度来说是相同的!).设V为n维线性空间,a1,···,an为V的基对任何x=x1a1+···+xnan,有唯一坐标)X:=(x1,···,xn)∈Fn与之对应并且该对应保持线性关系不变:σ:V→Fn,σ(x)=X.σ(x+y)=σ(x)+σ(y),σ(λx)=λσ(x).定义4.12V1,V2是数域F上两个线性空间．如果存在映射σ:V1→V2满足(1)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈V1;(2)σ(λx)=λσ(x),λ∈F,x∈V1.则称线性空间V1与V2同构(isomorphic),记为V1∼V2.σ称为同构映射(isomor-phism).当V1=V2时,称σ为自同构(automorphic).显然dimV=n⇒V∼Fn.定理4.14σ:V1→V2是同构映射则(1)σ(01)=02.(2)σ(−α)=−σ(α).(3)σ(λiai)=λiσ(a2).(4)S线性无关(相关)⇔σ(s)线性无关(相关).(5)B是V1的基⇔σ(B)是V2的基．(6)U是V1的子空间⇔σ(U)是V2的子空间．(7)dimV1=dimV2.定理4.15数域F上线性空间V1与V2同构⇔dimV1=dimV2.n例4.12V是数域F上线性空间,α1,···,αn∈V线性无关．令βi=aijαj,i=j=11,2,···,m,aij∈F.证明dim(β1,···,βm)