华师大九年级上册全册练习册

第22章二次根式

21.1二次根式

在学习“数的开方”时，我们已经学习过“(a20)”这个符号,并且了解它表示非负数

a的算术平方根.在这个式子中,有一个大前提:a'O.

我们把形如(a>0)的式子叫做二次根式.显然，(a>0)有两条性质：

⑴当a20时,20;(2)当a20时，(T=a.

一、填空题

1.若是二次根式,则x的取值范围是；若不是二次根式,则a的取值范围

是•

2.如果()Jx-4,则x的取值范围是,这时,x-=.

二、选择题

1.卜.列各式:，(b<2),,,.其中所有的字母都表示实数，那么二次根式的个数是().

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.如果=-a,那么a的取值范围是().

A.a>0B.a<0C.a>0D.aWO

3.式子有意义，则x的取值范围是().

A.xWOB.x#T

C.x<0且xWTD.xWO且xWT

三、解答题

1.求使下列各式有意义的x的取值范围：

(1)+；(2)-:

(3);(4).

2.求下列各式的值:

(1)-；(2)-.

3.当-10W1时，计算下列各题:

(1);(2).

1.已知y=+l,求x=xy+yZ的值.

2.当a=5时，甲、乙两人计算a+的值，得到不同的答案.

甲的解答：a+=a+=a+aT=2aT=9.

乙的解答：a+=a+=a+(l-a)=l.

哪个解答是对的?错误的解答错在哪里?为什么？

3.探索规律:随便取一些x的值,分别代入,，-进行计算，你能发现它们之间的大小关系吗?

用或J”号,将,与-连接起来

22.2二次根式的乘除法

二次根式实质上就是通过开方运算得到的实数,因此它与以前学过的整数、分数、有理数

一样,也可以进行运算.

本节先学习根式的乘除运算,包括三个方面的内容：

(1)乘法：•=.根据二次根式的意义,这种运算的前提必须是与要有意义,因此必须先满足条

件a20与b20;

(2)积的算术平方根:=•,这个过程恰好与乘法运算互逆,因而必须要保证与要有意义,所以

也必须满足条件a》0与b》0;

(3)除法:=(a，0,b>0).和乘法一样,a00与b00是进行这种运算的先决条件.

有了这些性质，就可以对二次根式进行相应的计算与化简了.

另外，满足”①被开方数中不含分母;②被开方数中所有因式的事的指数都小于2.”两个

条件的二次根式称为“最简二次根式”.

二次根式的运算结果,一般都要化成最简二次根式.

、填空题

l.=X=

2.==.

3.2X3=(2X3)X=.

4.长方形的长为，宽为，则面积为

2

二、选择题

1.下面四个算式中，正确的是().

A.()X()=B.=64

C.=8D.=±8

2.如果•=，那么x的取值范围是().

A.x=lB.x^lC.x>lD.x>-l

3.如果x<0,y<0,那•的结果是().

A.xyB.-xyC.xy2D.-xy2

三、解答题

1.计算：

(l)X;(2)5X;

⑶X;(4)X(-2)(a>0).

2.⑴已知bVaJb,化简X;

(2)当a=2,b=-时,求aX(+)X的值.

3.RtAABC中，两条直角边分别为a,b,斜边为c.

(1)已知a=,b=,求ZkABC的面积S;

(2)已知a=7,c=10,求b.

L计算：

(1)(2-3)X(-);(2)(2+3)(2-3).

2.比较3与2的大小.

比较两个二次根式的大小,如果两个二次根式都大于零,则可以先比较它们的平方的大小.

即,对于两个二次根式A和B,如果A>0,B>0,则由A2>B2,可得A>B.

3.在如图22-1的空白处填数，使每一行、每一列、每一条对角线上的三个数的乘积都是1.

3

图22-1

(-)

XIN

NT，奥步演练

一、填空题

1.若=•,则a的取值范围是.

2.若x<0,y<0,则代数式=.

3.若b<0,则代数式化简后的结果是______.

二、选择题

1.当m<0,n>0时,若把根式m中的m移进根号内，则结果应为().

A.B.无意义C.D.-

2.如果=-a,那么实数a的取值范围是().

A.a<-lB.a>0C.0<a^lD.-lWaWO

3.若a2=c,b=c,则等于().

A.a3B.+aC.+a3D.|a3|

三、解答题

L计算：

(1)；(2).

2.阅读下面的材料:化去中根号内的分母.这实际上就是化简,或叫做分母有理化,解法如

•二二二.

仿照上述解法，化去下列各式中根号内的分母：

(1)；(2);(3);

(4);(5)(a>b>0).

3.已知三角形的一条边长为,这条边上的高为2,求这个三角形的面积.

4.已知x+y=19,x-y=3,求的值.

1.如果+=2,那么x的取值范围是().

A.TWxWlB.xWT

C.x》lD.x=0

2.设a,b,c为AABC三边的长,化简:

++-.

4

3.不求值,比较4-与3的大小.（提示:比较它们的平方的大小）

4.你能运用上题采用的方法证明=吗?

(三)

一、填空题

1.=,-T-.

2.若x>0,y>0,贝IJ•二,

3.把下列各式的分母有理化,得

二、选择题

1.等式=成立的条件是（）.

A.x^-1B.xN2C.x〉2D.xe-l且xW2

2.若a>0,则化简ab的结果是().

A.B.C.D.

三、解答题

1.计算：

(l)4-(X);(2)4-X;

(3)+;(4)•4-(x>y);

(5);(6)5x-v-3X(X>0,y>0).

2.化简下列各式:

(l)-(-3WxW5);

(2)(0<x<l).

3.如果是一个整数,其中0<x<150,求所有可能的x的值.

5

1.如果=，那么y的取值范围是（）.

A.y>B.y<C.y，D.y<

2.求（+严XL产的值.

3.你能设法求出代数式+的值吗?试试看.

22.3二次根式的加减法

把二次根式化成最简二次根式后,那些被开方数完全相同的二次根式称为同类二次根式.

二次根式的加、减运算,实际上就是要做两件事：

（1）在运算过程中,把相应的各项化为最简二次根式（或者是整式、分式）;

（2）合并同类二次根式.

、填空题

1.写出3个二次根式，使它们与都是同类二次根

式:.

2.已知a=+,b=-,贝Uazb-ab2的值是.

3.若化简后的二次根式和是同类二次根式,则x=.

二、选择题

1.下列根式中,与是同类二次根式的是（）.

A.B.C.-D.

2.下列各题中,合并同类二次根式正确的是（）.

A.10-8=2B.+=5

C.a-b=a-bD.+8=5

三、解答题

L计算：

(D-+21;(2)+2+-;

(3)-+2-;(4)(5-)-.

6

2.已知化简后的二次根式,与是同类.二次根式,求X,y的值.

1.已知等腰三角形两边长分别是2和3,求这个等腰三角形的周长及面积.

2.计算：

⑴(-+)(+-)；

(2)(+A(-)2.

3.设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c.

(1)已知c=n,b=n,求a;

(2)已知a=m,b=m,求c与c上的高h.

1.从学习根式中悟出一种方法

数学中蕴涵着丰富的思想方法.

华罗庚先生曾经指出:善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失重要性的地方,是学好

数学的一个诀窍.这就是说，有些复杂的问题,如果我们能够“退”到最简单的情况去进行研究,

往往能够轻松地找到解决问题的正确途径.这样的例子在数学中比比皆是,现在举一个关于根式

的例子.

问题：当n是正整数时，你知道的整数部分是多少吗？

我们先把问题退到最简单的情况.于是得到，

1«2,2«3,3«4,.......

这样，你马上就会发现:n«n+l.

这个发现正确吗？当然还需要进行证明：

7

*.*nJ<n2+n<nJ+2n+l,n<<n+l.

所以，当n为正整数时,的整数部分是n.

2.出人意料的等式

在上学期，学习“数的开方”时,同步练习中有这样一道题：

“观察下列各式的变化过程及结论：

①2=====;

②3=====.

按照上述两个等式及其变形过程,猜想4的变形结果,并写出变形过程.”

当然,按①和②提供的方法,可以得到4=.

那么，是不是所有的整数部分都能像这样“搬家”呢?当然不是，例如3W,不能“搬家”.

那么，能“搬家”的例子仅仅是巧合吗?也不是.

这时,就会想到观察、研究那些能“搬家”的式子的特点：

(1)整数部分与分数部分的分子相等,即

2=2,3=3,4=4.

(2)分数部分的分母与整数部分有下列关系,即

3=2-1,8=3-1,15=4-1.

也就是说,如果a是一个大于1的整数,是不是就能得到

a=?

对此，同学们用关于二次根式的知识能够证明a确实可以变形为.

进一步，我们还可得到在立方根中能够这样“搬家”的分数：

所以,2=2=”=;

3二3二…二；

4=4=…=.

而且，因为7W3T,所以3W.

3.一个令人惊叹的根式

印度数学家拉曼努章发现了一个十分有趣的式子：

n(n+2)=n

=n

这个式子,不论是无限延续地写下去,还是在任何一步中止,它都是正确的.实在是令人惊叹,

而且十分有意思！

【单元赃用普介】

A卷

一、填空题

1.+=,.

2.如果m+=2m,那么m的取值范围是.

3.若l<x<4,则化简+=.

4.已知最简二次根式和是同类二次根式,那么b=,

5.当x=时,有最小值.

6.若实数a,b满足(a+b-2)2+=0,则3=.

7.已知+=+,-=-,则x-y=.

8.如果Xi=,X2=,那么Xi+X2=,Xi•Xz=.

二、选择题

9.当x=2时,在实数范围内没有意义的式子是().

8

A.B.C.D.

10.下列等式，能够成立的是().

A.+=B.-=(a>b)

C.=a-b(a>b)D.•=(a20,b20)

11.下列四个式子：

(l)=a+b(a+b>0);

(2)=(-2尸；

(3)=3.14-JT;

(4)=x-l.

其中，错误的式子是().

A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.⑶、(4)D.全错

12.如果|xI<1,那么-的值是().

A.2x-lB.3C.l-2xD.-3

13.当TWxWl时,在实数范围内有意义的式子是().

A.B.C.D.

14.把(a-b)化成最简二次根式，结果正确的应为().

A.B.C.-D.-

15.如果x〈2,那么化简+|3-x|的正确结果是().

A._1B.1C.2x_5D.5_2x

16.计算(-1)(+1)2的结果是().

A.+1B,3(+1)C.1D.-1

17.若2<x<3,贝卜的值等于().

A.-2B.-1C.0D.1

18.若a=2+,b=，那么a与b的关系是().

A.a=B.a=bC.a>bD.a<b

三、计算

19.2-3+.20.-(-).

21.X40X.22.+X.

23.(3-4)(2+3).24.(-+)(—).

四、求下列各式的值

25.x3-xy2,其中x=+l,y=T.

26.a2b+2ab+5b,其中a=2~,b=.

9

五、解答题

27.一个长方形和一个正方形的面积相等,若长方形的长为4cm,宽为3cm,求正方形的边长.

28.说明-的值是有理数.

B卷

29.代数式++的最小值是（）.

A.0B.1+C.1D.不存在

30.已知物体从高度为hm的高处自由落下所需要的时间t=（s）.根据公式计算：（1）当h=20m

时,所需要的时间；（2）当h=30m时,所需要的时间.（精确到0.01s）

31.若的整数部分为a,小数部分为b,求2a?+（l+）ab的值.

32.解下列方程(组)：

(1)(-1)(-4)x=-2(x+l);

新课标同步单元练习•数学•九年级•上册蓝水晶系列

第23章一元二次方程

23.1一元二次方程

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方

程的一般形式是ax2+bx+c=0（a^0,a,b,c是已知数），其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项

系数和常数项.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解.

10

1.方程(x+1)(x-D=-x+2化为一般形式是，二次项系数是,一次项系数

是常数项是

2.若属于x的方程(m-l)x2+2xT=0是一元二次方程,则m.

3.关于x的方程x2+ax+c=0的一个根为1,则a+c=.

4.已知2+是关于x的方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是.

二、选择题

1.对于下列方程:①3x?-7=0;②ax?+bx+c=O;③(x+3)(x-2)=x?T;④3xJ+b=0;⑤x?=0.其中,

一元二次方程的个数为().

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为T,则下列各式中能够成立的是().

A.a+b+c=OB.a-b+c=OC.-a-b+c=OD.-a+b+c=0

3.若ax2-3x+2=0是一元二次方程,则不等式2a+4〉0的解集是().

A.a>-2B.a<-2C.a>-D.以上答案都不对

三、解答题

1.将下列方程化为ax2+bx+c=0(aW0)的形式：

(l)3x2=5x+2;(2)(2x-l)(3x+2)=3;

(3)(x+1)(x-2)=2;(4)x2-2x=-2x+l.

2.判断x=3,-3,1,-1是否为方程x(x+1)=3(x+1)的解.

3.根据题意,列出方程(不必求解).

一块长36米,宽24米的矩形草地，现在要在草地的中央修建一个矩形喷水池，周围的草地

留作绿地,四周绿地的宽度相等,且喷水池的面积是原来矩形草地面积的,求周围绿地的宽度.

已知方程x-ax-b=o的两.根为X1=a,X2=B,设S产a+B,S产a2+p2,•­•,S„=a"+(3"(nGN*),

求Sn*i-aS,-bSn-i的值.

与方程根有关的问题可利用根的定义,得到等式,然后根据相关的等式及其变形解题.

小锦囊

23.2一元二次方程的解法

11

09

一元二次方程有以下四种基本解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.一元二

次方程ax、bx+c=O（aWO）的求根公式是xEb—lac》。）.解一元二次方程时要根据方程特征选择

恰当的方法.

一、填空题

1.方程(x+1)(x-2)=o的解是.

2.方程(x-l)Jl的解是.

3.方程(x+1)(xT)=15的解是.

4.方程x2-=0的解是.

二、选择题

1.方程x?=0.81的解是().

A.0.9B,-0.9C.±9D.±0.9

2.下列方程中,一定能用直接开平方法解的是().

A.4(X+2)2=-8B.(x+3)2=10

C.(x+5)2+0.1=0D.x2=a

3.方程ax?=c有实数根的条件是().

A.aWOB.acWOC.ac>0D.20

4.若方程(m+2)x-+3mx+l=0是关于x的一元二次方程,则().

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.mW±2

三、解答题

L解下列方程：

(1)3X2=27;(2)(x-2)(x+2)=12;(3)(x-l)2=5;

(4)2(x+1)三8;(5)(2x-l)2=(x-2)2.

2.x取什么值时,代数式2x-l与2x+l的值互为倒数?

解方程：（3x-5）z=a.

(二)

12

一、填空题

1.方程3x(x-2)=2(x-2)的解是.

2.方程(x+3)(x-l)=x+3的解是.

3.方程(X+2)2=X+2的解是.

二、选择题

1.方程(x-l)Jx-l的解是().

A.1B,1,2C.2D.-1,-2

2.方程(x-l)2=(x-l)的解是().

A.x=lB.x=C.xi=l,xa=D.以上都不对

3.方程x2-a2=(x-a)2(aWO)的解是().

A.aB.1C.0D.-1

三、解答题

1.解下列方程：

(l)x-3x=0;(2)5x2=-2x;

(3)3x(x+2)-x=2;(4)3x(x+2)=5x+10.

2.当y为何值时,代数式(yT)2与代数式2y(l-y)2的值相等?

3.当代数式x2+4x-2的值为3时,求代数式2x?+8x-5的值.

试分别写出一个一元二次方程，使它的两根分别满足下列条件:

(1)一根是0,一根是正数；

(2)一根是负数,另一根在1与2之间.

㈢

一、填空题

1.在括号内填上适当的数,使所得的代数式成为一个完全平方式:

(l)a2-12a+();(2)4x?+4x+();

(3)x2+()x+9;(4)4y2-()y+25.

2.当nr时,代数式x2+mx+16是一个完全平方式.

3.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.

13

二、选择题

1.用配方法解下列方程时,配方有错误的是().

A.x-2x-99=0化为(x-l)2=100B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25

C.2t-7t-4=0化为=D.3x-4x-2=0化为=

2.把方程y2-6y+7=0的左边配成一个完全平方式,得().

A.(y+3)J2B.(y+3)2=9C.(y-3)?=2D.(y-3)2=-7

3.用配方法解方程x2+px+q=0(x为未知数)，此方程可变形为().

A.=B.=

C.=D.二

4.对于任意实数x,多项式x2-5x+7的值是一个().

A.负数B.非正数C.正数D.无法确定正、负的数

三、解答题

1.用配方法解方程：

(l)2x-3x+l=0;(2)X2+4X-2=0;

(3)x2-2x+3=0;(4)x2-x-l=0.

2.用配方法说明x2-4x+7的值不小于3.

3.若=，试用配方法求的值.

试说明:不论X,y取何值，代数式4x2+y2-4x+6y+ll的值总是正数.请求出当x,y分别取何值

时,这个代数式的最小值.

解元二次方程时,若发现方程中二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法求解较简

便.

小锦囊

(四)

北'夕愉步添练

一、填空题

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的求根公式是

14

2.若代数式(x+3)(x-1)的值是5,则x=.

3.当x=时,与既是最简根式又是同类根式.

二、选择题

1.方程x?+l=O的解是().

A.-B.C.±D.无实数解

2.若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根,且mWO,则m+n等于().

A.-lB.1C.-D.

三、解答题

1.用公式法解下列一元二次方程：

(l)2x2-3=4x;(2)xM(x-l).

2.用适当的方法解下列方程：

(l)3(x+2)2=27;(2)(3y-l)2=2(3y-l).

3.已知a,b,c均为实数,且+|b+l|+(c+3)W),求方程ax2+bx+c=0的根.

30

已知a=,求-+a+4的值.

㈤

一、填空题

1.若y=x2-2x-15中，y=O,贝ijx的值为.

2

2.若yi=x-2x-3,y2=x-5,贝ij当x的值为时,yky*

3.已知(x'+y?)(/-1+/=12,则x2+y2=.

4.已知3x'-xy-4y-0(x^y),则=.

二、选择题

1.已知两个不同的方程x2+kx+l-0和x2-x-k=0有一个相同的根,则k的值是().

A.-lB.OC.2口.2或-1

2.一元二次方程x2-3x+=0的根的情况是().

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

3.解方程2(5x-l)2=3(5x-l),最适当的方法应是().

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

15

4.设a是方程x2+5x=0较大的一根,b是方程x2-3x+2=0较小的一根,那么a+b的值为

().

A.-4B.-3C.1D.2

三、解答题

L解关于x的方程：

(l)mx2+(m-n)x-n=O(mWO);(2)(x-a)2=.

2.已矢口（a2+b2）2—（a2+b2）—6=0,求a2+b2的值.

3.已知实数x,y满足知2-3X+2+y-2y+l=0,求x+y的值.

阅读材料,解答问题.

材料:为解方程々-1)2-5(x'T)+4=0,我们可以将々-1)视为一个整体,然后设x2-l=y,则

2

(x2-l)2=y；原方程可化为y-5y+4=0....①,解得yi=l,y2=4.

当y=l时,x2-l=l,x2=2,所以x=±;

当y=4时,X2-1=4,X2=5,所以x=±.

所以原方程的解为Xi=,X2==X3=,XF-.

解答问题：

⑴填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用法,达到了降次的目的,体现了

的数学思想.

(2)解方程:x'-x2-6=0.

（六）

一、填空题

1.某种彩电经过两次降价，价格降低了36%,平均每次降价的百分率是.

2.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%,平均每年比上一年增长的百分率

为.

二、选择题

1.某饲料厂今年一月份生产饲料500t,三月份生产饲料720t,若二、三月份两个月平均每

月的增长率为x,则下列等式中，正确的是().

A.500(l+2x)=720B.500(1+x)=720

C.500(1+x)2=720D.720(1+x)2=500

16

2.容器里装满纯酒精25L,第一次倒出若干升后用水加满,第二次又倒出相同升数的酒精溶

液，这时容器里只剩下16L纯酒精，每次倒出的升数是（）.

A.3B.4C.5D.6

三、解答题

1.某新华书店计划第一季度共发行图书122万%,其中一月份发行图书32万册,二、三月

份平均每月发行图书的增长率相同,求二、三月份各发行图书多少万册.

2.某电脑公司2006年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总

收入的40%.该公司预计2008年经营总收入要达到2160万元,且计划从2006年到2008年,每

年经营总收入的年增长率相同，问：2007年预计经营总收入为多少万元？

3.某地旅游业三月份总收入430万元,因受非典型性肺炎疫情影响,五月份收入仅为三月份

收入的5%.六月份开始有所回升,七月份的增长率又比六月份增加了1倍，总收入达到240万元

求六月、七月两个月旅游总收入的增长率.（可以用计算器进行计算，精确到1%）

K拓展庭的

某书店老板去批发市场购买某种图书,第一次购书用去100元,按该书定价2.8元销售,很

快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次高0.5元,共用去150无,所

购书数量比第一次多10本,当这批书售出时出现滞销,便以定价的5折售完剩余的图书.试问：

该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少？

（七）

一、填空题

1.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边长为10cm的直角三角形,则两条直角边长

为.

2.有一间长20m,宽为15m的会议室,在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室的，四周

未铺地毯部分留出的宽度相同，则留出的宽度为.

二、选择题

1.从正方形的铁片匕截去一个宽为2cm的长条,余下的面积是48cm；则原来的正方形铁片

的面积是（）.

A.8cm2B.32cm2C.16cm2D.64cm2

2.利用一堵围墙，再用长13m的铁丝网围在其他三面,围成•个面积为20m的长方形,求这

个长方形的长和宽.若设长为xm,则可得方程（）.

A.x（13-x）=20B.x•=20C.x=20D.x,=20

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图23-1

三、解答题

1.如图23-1,在长为32m,宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条与矩形的宽

边平行,一条与长边平行)，把耕地分成大小不等的六块用作实验田,要使试验田面积为570m2,道

路的宽应为多少？

—12ml.一

图23-2

2.如图23-2所示,有一面积是150m的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长18m,墙对面有一

个2m宽的门，除门外都用竹篱笆围成,篱笆总长33m,求鸡场的长和宽各是多少米.

3.矩形ABCD中，点P从点A没AB向点B以每秒2cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC向

点C以每秒1cm的速度移动,AB=6cm,BC=4cm.若P,Q两点分别从A,B同时出发，问：儿秒钟后

P,Q两点之间的距离为2cm?

△ABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动,

点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.设P,Q分别从A,B同时生发，

(1)经过几秒后,APBQ的面积等于8cm2?

(2)如果点P到B点后又继续在BC边上前进,Q到C点后又继续在CA边上前进.经过几秒

后，APCQ的面积等于12.6cm2?

23.3实践与探索

一元二次方程的根与系数之间有一定的联系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的两个

根为Xi,Xz,则Xi+X2=rX,Xz=.有些实际问题解决时需列一元二次方程,列一元二次方程解应用题

的解题方法、解题步骤与列…元一次方程解应用题基本相同.

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一、填空题

2

L-•元二次方程x-2x-3=0的两个根为Xi,x2,贝ijxi+x2=,xix2=.

2.若方程x2-(m+2)x+4=0有两个相等的实数根,则m=.

3.已知关于x的方程x2-2x+k=0有实数根,则k的取值范围是.

4.已知a和B是方程2X2+3X-4=0的两个实数根,贝a+aB+B的值是.

二、选择题

1.已知X”心是方程x，3x=4的两根，则().

A.XI+X2=-3,XIX2=-4B.XI+X2=3,XIX2=4

C.XI+X2=-3,X1X2=4D.X]^"X2=3,XIX2=-4

2.已知a,B满足a+B=5,aP=6,则以a,B为两根的一个一元二次方程是（）.

A.x2+5x+6=0B.x2-5x+6=0

C.x-5x-6=0D.x2+5x-6=0

3.如果x,,xz是两个不相等的实数,且满足-2x,=l,-2x2=1,那么xixz等于（）.

A.2B.-2C.1D.-l

三、解答题

1.已知关于x的一元二次方程x2+x+2k-l=0有实数根,求k的取值范围.

2.若一元二次方程kx2-x+4=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

3.已知关于x的方程x2-5x-2m'+3m-l=0的一■根为6,求方程的另一根和m的值.

已知a,B是方程x2-x-l=O的两个根,求a'+3B的值.

一、填空题

1.把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个

无盖的长方体盒子.

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(1)若剪去的正方形的边长为1cm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm3;

(2)若剪去的正方形的边长为2cm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm3;

(3)若设剪去的正方形的边长为xcm,则折合成的无盖长方体盒子的容积为cm:1.x的

取值范围是.

2.在一块正方形的钢板上截下宽为20cm的一个长条,剩下的长方形钢板的面积为4800cm2,

则原正方形钢板的面积为cm2.

二、选择题

1.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为().

A.B.5C.D.7

2.某村计划在农闲季节建一条截面为等腰梯形的灌溉渠道,截面面积为L6m；上口宽比渠

道深多2m,渠道底比渠道深多0.4m,渠道的上口宽是().

A.2.8mB.2.6mC.2.4mD.2.2m

三、解答题

1.如图23-3,某海关缉私艇发现在正北方向30nmile的A处有一艘可疑船只,测得它正以

60nmile/h的速度向正东方向航行,随即调整方向，以75nmile/h的速度准备在B处迎头拦截,

试问:经过多少时间能截住可疑的船只?求得结果后,请检验右图是否准确,并通过画图量出缉私

艇行驶的方向.

/✓〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃/

图23-4

2.现有可建造50m围墙的材料,准备依靠原有旧墙围成如图23-4所示的仓库.试问:

(1)能否围成总面积为200mz的仓库?如果能,则仓库的长、宽各为多少？

(2)能否围成总面积为250m2或300m2的仓库？说说你的理由.

3.已知竖直上抛物体离地高度h(m)和抛出时间t(s)的关系是h=v,t-gt1v。是竖直上抛时

的瞬时速度,常数g取lOm/s2.设Vo=3Om/s,问：

(1)隔多少时间物体离地高度是25m?(2)多少时间以后物体回到原处？

如图23-5,有-处矩形地块ABCD,要在其中央修建一矩形花圃EFGH,使其面积为ABCD地块

面积的一半,且花圃四周的道路宽度相等.今无测量工具,只有无刻度的尺和一条足够长的绳子,

如何量出道路的宽度？

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一、填空题

1.市场调查表明,某种商品的销售率y与价格倍数x的关系满足函数关系y=-x+(O.8WxW

1.8).根据有关规定，该商品售出价格不得超过进货价格的2倍,某商场希望通过该商品获取50%

的利润,那么该商品的价格倍数应定为.

2.某市2006年年底人口为20万,人均住房面积为9m2.计划2007年、2008年两年内平均

每年增加人口为1万,为使到2008年年底人均住房面积达到10m；则该市两年内住房平均年增

长率必须达到百分之.(=3.162,=3.317,结果精确到现)

二、选择题

1.已知:问题1,某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍,求每年平均增长的百分数；问

题2,某厂的总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元,求每年平均增长的百分

数；问题3,某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍,求每年平均增长的百分数.

设每年平均增长的百分数为x,那么下面的三个方程:①(l+x)2=b，②a(l+x)Ja+b,③

(l+x)2=b+l按问题1,2,3的序号排列,它们分别对应的方程应是().

A.①©③B.③®①C.①®②D.②©③

2.某商场进一批运动服用了1000元,每件按10元卖出.假如全部卖出这批运动衣所得的钱

数与买进这批运动衣所用的钱数的差就是利润,按这样计算,这次买卖所得的利润刚好是买进

11件运动衣所用的钱数,则这批运动衣的件数为().

A.10件B.90件C.110件D.150件

三、解答题

1.某商场销售部经理在销售中发现，某童装平端天可售出20件,每件盈利40元.为了迎

接六-国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量，增加盈利,减少库存.经市场调

查发现,如果每件童装降价4元,平均每天就可多售出8件,平均每天多售出的件数是降价的元

数的2倍.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么童装应降价多少元？

2.某开发区人口和人均住房面积近三年来增长情况如图23-6所示,据此回答下列问题:

图23-6

(1)这个区2004年和2005年中，哪一年增加的住房面积多？

(2)由于开发区建设需要,预计到2007年该区人口数将比2005年增加2万.若要使到时人

均住房面积达到12m；则这两年的住房平均年增长率应达到多少？(精确到0.1%)

21

3.某商场于第一年初投入50万元进行商业经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年

初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金,继续进行经营.

(1)如果每一年的年获利率为P,那么第二年年终的总资金是多少万元？(用代数式表示)

(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第

一年的年获利率与10%的和)，第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.

某广告公司制作广告的收费标准是:以广告画面面积为单位,在不超过规定的面积A(m?)

的范围内，每张广告收费1000元.如果超过Am2,则除了要交这1000元的基本广告费以夕卜,超过

部分还要按每平方米50A元交费.

下表是该公司对两家用户制作广告的面积和收费情况的记载：

单位广告面积/m?收额/

元

烟草公司61400

食品公司31000

现在,红星公司要制作一张大型公益广告.用来制作广告的材料,形状是矩形,而且在广

告的四周要留出空白.经测算后知道,如果上、下各空0.25m,左右各空0.5m,则空白部分的面积

为6m2.已知矩形材料的长比宽多1m,并且空白部分不收广告费，只有中间的矩形画面部分为计

费面积.最后,广告公司结算时,这张广告的广告费为2600元,那么广告制成后，四周空白部分的

实际面积是多少？

1.韦达定理及其应用

2

—元二次方程ax+bx+c=0(aWO)的两个实数根为xbx2,则xi+x2=-,XiX2=.

这个结论,揭示了•元二次方程的根与系数的关系.该结论是由法国数学家韦达发现的,被

叫做韦达定理.应用韦达定理可以对一元二次方程的根作进--步的探究.

问题1已知方程3x2+2x+k=0的一个根为T,求它的另一个根及k的值.

解这类问题时,可以利用方程根的定义把x=-l代入原方程,求出k的值.然后再把k的值

代入方程,通过解方程求出原方程的另一个根.

利用根与系数的关系,可以比较方便地解决这个问题.解法如下:设方程的另一个根是x„根

据一元二次方程根与系数的关系,有

-1+X1=-所以