第4章6节正弦余弦定理纸间书屋

第六节正弦定理、余弦定 在△ABCA，B，Ca，b，c，R为△ABC的外接b ca＝ sinA sinB sinCa＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sin a sinA＋sinB＋sin sincos cos cos S

·ha(haa上的高 ＝2absin ＋b＋c)(r为内切圆半径[常用结论在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sin在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acos(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC.角平分线定理：在△ABC中，ADA的平分线，如 一、思考辨析( 在△ABC中，若sinA＞sinB，则 在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 b2＋c2－a2＞0时，△ABCb2＋c2－a2＝0ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( (2)√(3)× 二 改已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 4π，a＝1，则 4

32 32sin× [由a＝b得b＝asin 4＝×

2＝6sin6

sin

sin

sin 在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有 [∵bsinA＝24sin45°＝12∴122＜18＜24，bsin在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为 等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，2A＝B2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC 3 [因为23＝4，sinB＝1，所以3sin

sin所以AB＝2，所以 2×23＝2考点1 解三角形的常见题型及求解方法A，Ba，A＋B＋C＝π及a＝b＝c，Cb，

sin

sin

sinb，cA，a2＝b2＋c2－2bccosA，a，再求出角B，C.a，b，c，a，bA，由正弦定理a＝bsin sinbB，C＝π－(A＋B)，C，再由a＝cc，sin sin通过a＝bB时，可能有一解或两解或无解的情况sin sin(1)(2019·卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cos ＝－4，则 (2)(2019·卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin－sinC)2＝sin2A－sinBsin②若2a＋b＝2csin [∵asinA－bsinB＝4csina2－b2＝4c2，

cos

＝2bc ①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得 cos

0°＜A＜180°，②由①B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinC，即6＋ 22cosC＋2sinC＝2sinC，cos(C＋60°)＝－220°＜C＜120°，sin(C＋60°)＝2sin＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin6＋6＋4解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角[教师备选例题高考)在△ABCA，B，Ca，b，c.bsin[教师备选例题高考)在△ABCA，B，Ca，b，c.bsinBa＝2，c＝3bsin(2A－B)[解 (1)在△ABC中，由正弦定理a＝bsin sinbsinA＝asinbsin6asin6sin6tanB＝B∈(0，π)，3(2)在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝π，3B＝7，b＝bsinA＝acos(B－π)，sinA＝67bsinA＝acos(B－π)，sinA＝67.a＜c，cosA＝27因此sin2A＝2sinAcos 37cos所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝47 3＝337× 14. [∵bsinA＋acosB＝0，∴a 由正弦定理，得－cosB＝sin. sin

－cos4B，∴tanB＝－1.42．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线

＝2 [在△ADC中，72＝x2＋7在△ABD中，42＝x2＋7

×2cos7

①＋②

3．(2019·贵阳模拟)在△ABCA，B，Ca，b，c2ABCD[解 (1)由题意得 cos

cos

，a2－a－6＝0，a＝3a＝－2(舍去)，a＝3.(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积

×2 15 14ABCD＝1514

14法二：由(1)由正弦定理得3 sinA＝3

sin

sin14Rt△ACD中，CD＝ACsin

33＝1514ABCD＝1514

× 14考点2 三角形面积 的应用原 ，一般是已知哪一个角2absin 2acsin 2bcsin使用哪一个△ABCA，B，Ca，b，c.sinA＋3cosA＝0，a＝2(2)[一题多解]DBCAD⊥AC，求△ABD3[解 (1)由已知条件可得tanA＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π，在33中，28＝4＋c2－4ccos2π，3c＝－6(舍去)，226所以6 故△ABD面积与△ACD

2AB·AD·sin11

又△ABC的面积为 4×2sin∠BAC＝2所以△ABD的面积为法二：cosC＝27Rt△ACD中，cosCD＝7，AD＝3，DB＝CD＝×所以 2×7×sinC＝ 3＝3.× 法三：∠BAD＝π，cosC＝2 CD＝7，AD＝所以 4×3×sin∠DAB＝卷Ⅱ)△ABCA，B，Ca，b，c.[教师备选例题已知△ABC33，AC＝23，BC＝6BCDAB求△ACD[解 (1)因为2卷Ⅱ)△ABCA，B，Ca，b，c.[教师备选例题已知△ABC33，AC＝23，BC＝6BCDAB求△ACD[解 (1)因为2×6×23×sin∠ACB＝3∠ACB＝30在△ABC中，AB2＝12＋36－2×23×6cos150°＝84，AB＝84＝2(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，由正弦定理 CD＝3＋又23×(3＋1＝3（2.

ABC的面积 ＝333 [法一：a＝2c，b＝6，B＝π，3332accosB，62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ，c＝23，a＝43，3△ABC的面积 ＝1×43×23×sinπ＝62acsin 3法二：a＝2c，b＝6，B＝π，b2＝a2＋c2－2accos3362＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ，c＝23，a＝43，3c2，A＝π，所以△ABC

23×6＝6 2．在△ABCA，B，Ca，b，c.(1)(2)若△ABCS＝4A[解 (1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcos2sinAcosB＝sin＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinsinA，B∈(0，π)，B＝π－(A－B)A＝π(舍去)A＝2B， (2)S＝4，得2absinC＝4故有sinBsin ＝sinBcos2sin 2sinsinB≠0，sinC＝cos2B，C∈(0，π)．2B＋C＝π时 C－B＝π时 综上，A＝π 考点 判断三角形的形2种思路状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( [sinBcosC＋sinCcossin(π－A)＝sin2A，sin∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sin2A＝π，∴△ABC为直角三角形2[[母题探究1．(变条件)2sinAcosB＝sinC，判断△ABC[解 ∵2sinAcosB＝sin∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinA，B为△ABC的内角∴A＝BA，B为△ABC的内角∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形2．(变条件)a2＋b2－c2＝ab2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．[解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos132cosAsinB＝sinC故△ABC为等边三角形1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin (b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(

sin[因为sin 所以a＝a所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所sin b2＋c2－a2＝bc，cos以△ABC是等边三角形

＝2bc＝2.A∈(0，π)，A＝3.＋2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a b＝