广东省湛江市港城实验中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省湛江市港城实验中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a＞|b|”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据绝对值大于或等于0，得“a＞|b|”成立时，两边平方即有“a2＞b2”成立；而当“a2＞b2”成立时，可能a是小于﹣|b|的负数，不一定有“a＞|b|”成立．由此即可得到正确选项．【解答】解：先看充分性当“a＞|b|”成立时，因为|b|≥0，所以两边平方得：“a2＞b2”成立，故充分性成立；再看必要性当“a2＞b2”成立时，两边开方得“|a|＞|b|”，当a是负数时有“a＜﹣|b|＜0”，此时“a＞|b|”不成立，故必要性不成立故选A2.函数，已知在时取得极值，则=（

）

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B3.下列四个命题中：①；②；③设x，y都是正数，若＝1，则x＋y的最小值是12；④若｜x－2｜＜，｜y－2｜＜，则｜x－y｜＜2，则其中所有真命题的个数有A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：B4.已知双曲线的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是

（

）

A．

B．

C．2

D．参考答案：A依题意，应有=，又＝，∴=，解得e=．5.已知集合，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D解析：由已知可得集合A=（1，2），，故．6.函数y＝ln(1－x)的图象大致为()

参考答案：C7.对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最大值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

（

）A.43

B.44

C.45

D.46参考答案：C9.已知集合，，则（

）A．[0,2) B．{0,1} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}参考答案：B，，则.10.已知全集，则（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以x轴的非负半轴为始边，ON为终边的角记为α，则tanα=

．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意画出图象，再结合题意求出点M旋转的角对应的弧度数度，再求出角α，再求正切值．【解答】解：由题意得，M（0，2），并画出图象如下：∵点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，∴旋转的角的弧度数为=，即以ON为终边的角α=，则tanα=1，故答案为1．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，以及弧度制的定义，关键是根据题意正确画图，求出旋转的角度．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，则a=

．参考答案：2【考点】正弦定理．【分析】利用S△ABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a．【解答】解：在△ABC中，∵A=60°，b=2，S△ABC=2，∴2=bcsinA=，解得c=4．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+16﹣2×=12，∴解得：a=2故答案为：2．13.已知，，则

。参考答案：14.能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．参考答案：y=sinx（答案不唯一）分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.详解：令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

15.若的展开式的常数项是45，则常数a的值为__________．参考答案：3【分析】二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于45得解．【详解】解：展开式的通项公式为，令，求得，可得它的常数项为，，故答案为：3．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.参考答案：

17.（几何证明选讲选做题）如图2，⊙的两条割线与⊙交于、、、，圆心在上，若，，，则

．参考答案：【知识点】与圆有关的比例线段．N116

解析：设圆半径为r，∵⊙O的两条割线与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12，∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案为：16．【思路点拨】由切割线定理得PC?PD=PA?PB，设圆半径为r，则6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的长．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示. （Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差其中）参考答案：

解：（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，

所以…………………2分

甲组同学数学成绩的方差为……………

6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：

共16个基本事件.设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，………….13分

略19.如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；（2）若AE=6，BD=5，求线段CF的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）由已知条件推导出∠ABC=∠BAE，从而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBE为平行四边形．（2）由已知条件利用切割线定理求出EB=4，由此能够求出CF=．解答： （1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．（2）解：∵AE与圆相切于点A，∴AE2=EB?（EB+BD），即62=EB?（EB+5），解得EB=4，根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，设CF=x，由BD∥AC，得，∴，解得x=，∴CF=．点评：本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．20.已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围；(3)若函数的最小值为，m，n为定义域A中的任意两个值，求证：参考答案：解：(1)

令得当时，

∴函数在区间上单调递增；当时，

若，则；若，则∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

………4分(2)由(1)知，当时，函数至多有一个零点，不符合题意，∴又由(1)知，若，则函数在处取得极小值∴函数有两个零点

解得

∴a的取值范围是

…………8分(3)由(1)(2)知，当时，函数无最小值；当时，ks5u对于且，有

………10分不妨设，则，令，则设则

当且仅当时取“=”所以函数在上单调递增，故时，又，∴

即所以

21.已知，函数（Ⅰ）若函数在[2,+∞)上为减函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）将问题转化为在上恒成立，可得，令，可判断出在上单调递增，即，从而可得的范围；（Ⅱ）构造函数，，且；利用导数可判断出在上是减函数，得到，经验算可知，从而可得，从而可证得结论.【详解】（Ⅰ）由题意知：函数在上为减函数，即在上恒成立即：在上恒成立设当时，单调递减，单调递增在上单调递增

即的取值范围为：（Ⅱ）设，令：，则，令，则在上为减函数

，即在上是减函数

，即时，

【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆相交于两点（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．参考答案：（1）由已知，所以，所以所以

……1分

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭