四川省成都市元兴中学高三数学理测试题含解析

四川省成都市元兴中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给出下列四个命题：①若集合、满足，则；

②给定命题，若“”为真，则“”为真；③设，若，则；④若直线与直线垂直，则．

其中正确命题的个数是（

）A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：B略2.设则复数为实数的充要条件是

（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D解析：复数=为实数，∴，选D.3.对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4.双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣） B．（，0），（﹣，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．5.已知函数f（x）=aex﹣2x﹣2a，且a∈[1，2]，设函数f（x）在区间[0，ln2]上的最小值为m，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2ln2] B．[﹣2，﹣] C．[﹣2ln2，﹣1] D．[﹣1，﹣]参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（a），根据a的范围，求出f（x）的最大值，设为M（x），求出M（x）的导数，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：构造函数g（a）=（ex﹣2）a﹣2x是关于a的一次函数，∵x∈[0，ln2]，∴ex﹣2＜0，即y=g（a）是减函数，∵a∈[1，2]，∴f（x）max=2（ex﹣2）﹣2x，设M（x）=2（ex﹣2）﹣2x，则M′（x）=2ex﹣2，∵x∈[0，ln2]，∴M′（x）≥0，则M（x）在[0，ln2]上递增，∴M（x）min=M（0）=2，M（x）max=M（ln2）=﹣2ln2，m的取值范围是[﹣2，﹣2ln2]，故选：A．【点评】本题考查了一次函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了转化能力与计算能力，属于难题．6.已知数列为递增等比数列，其前项和为．若，，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f（x）=，则称f（x）为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f（x），给出下面4个命题：①对任意x∈R，都有f[f（x）]=1；②对任意x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=0；③对任意x1∈R，都有x2∈Q，f（x1+x2）=f（x1）；④对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}．其中所有真命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；3T：函数的值．【分析】根据狄利克雷函数，分别讨论当x∈Q和x∈?RQ时，对应命题是否成立即可．【解答】解：①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x∈?RQ，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则﹣x∈Q，则f（﹣x）=1，f（x）=1，此时f（﹣x）=f（x），当x∈?RQ，则﹣x∈?RQ，则f（﹣x）=0，f（x）=0，此时f（﹣x）=f（x），即恒有f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当x1∈Q，有x2∈Q，则x1+x2∈Q，此时f（x1+x2）=f（x1）=1；当x1∈?RQ，有x2∈Q，则x1+x2∈?RQ，此时f（x1+x2）=f（x1）=0；综上恒有f（x1+x2）=f（x1）成立，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（﹣∞，0），都有{x|f（x）＞a}={x|f（x）＞b}=R，故④正确，故正确的命题是①③④，故选：D8.给出如下四个命题：①若向量满足，则与的夹角为钝角；②命题“若”的否命题为“若”；③“”的否定是“”；④向量的充要条件：存在实数.其中正确的命题的序号是

A．①②④

B．②④

C．②③

D．②参考答案：D9.若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略10.已知全集，集合，，那么集合A∩B等于(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是．参考答案：2e﹣1【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．【分析】确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．【解答】解：曲线，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积S=（+2）dx=（lnx+2x）|=lne+2e﹣ln1﹣2=2e﹣1，故答案为：2e﹣1．12.对于定义域为D的函数，若存在区间则称区间M为函数的“等值区间”.给出下列四个函数：①；②；③；④.则存在“等值区间”的函数的序号是__________.参考答案：②④13.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，，A＋B＝2C，则sinB＝＿＿＿＿参考答案：114.在等差数列_________.参考答案：156略15.已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为

．参考答案：27【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的圆心（2，1），半径为5．圆心到直线l：4x﹣3y+15=0的距离为：=4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9．△ADB面积的最大值为：=27故答案为：2716.已知向量，若，则m＝___________.参考答案：17.若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间（其中a<b）,使得当x∈[a,b]时,f（x）的取值范围恰为[a,b],则称函数f（x）是D上的“正函数”,若是上的正函数，则实数k的取值范围是

。

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程.参考答案：（Ⅰ）将代入，得的参数方程为，∴曲线的普通方程为.（Ⅱ）设，，又，且中点为，所以有：，又点在曲线上，∴代入的普通方程得，∴动点的轨迹方程为.19.设定义域为R的函数f（x）=为偶函数，其中a为实常数．（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f﹣1（x）．参考答案：考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；反函数．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据给出的函数是偶函数，直接利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x）整理后求a的值，把求出的a值代入原函数解析式，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，结合指数函数的性质，利用基本不等式求出函数最值，由函数对应的方程无根判断原函数没有零点；（2）由（1）得到了函数单调区间，选定一个单调区间或在单调区间内选择一个子区间，由函数解析式解出x，把x和y互换后得到函数的反函数．解答：解：（1）因为f（x）=为R上的偶函数，所以对于任意的x∈R，都有，也就是2﹣x+1?（a+4x）=2x+1?（a+4﹣x），即（a﹣1）（4x+1）=0对x∈R恒成立，所以，a=1．所以．由=设x1＜x2＜0，则，，，所以，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），有即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．故，f（x）在（﹣∞，0）上是单调递增函数．又对任意的x1，x2∈（0，+∞），在x1＜x2时，，，．所以．则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．故f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．对于任意的x∈R，，故当x=0时，f（x）取得最大值1．因为2x+1＞0，所以方程无解，故函数f（x）=无零点．（2）选定D=（0，+∞），由，得：y（2x）2﹣2×2x+y=0所以，（0＜y≤1）所以，x∈（0，1]．点评：本题考查了函数奇偶性的性质，训练了函数单调性的证明方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了函数反函数的求法，求解一个函数的反函数时，一定要注意函数反函数的定义域是原函数的值域，此题是中档题．20.已知函数满足，对于任意都有，且，令.（1）求函数的表达式；（2）函数在区间上有两个零点，求的取值范围.参考答案：(1)；(2).（2）①当时，可知函数在区间上单调递增，又，，故函数在区间上只有一个零点，②当时，则，而，，，（ⅰ）若，由于，且，此时，函数在区间上只有一个零点；（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点，综上所述，当时，函数在区间上有两个不同的零点.考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式.然后再借助题设函数在区间上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数的取值范围,从而使得问题获解.21.已知函数，（1）若函数的图象在原点处的切线方程为，求b的值；（2）讨论函数在区间[0,1]上的单调性；参考答案：(1)(2)由题得，所以.当时，，所以在[0,1]上单调递增；当时，，所以在[0,1]上单调递减；当时，令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上所述，当时，在[0,1]上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，所以在[0,1]上单调递减. 22.已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3a2x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1，求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；（Ⅱ）求得导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣ax2﹣3a2x+b的导数为f′（x）=x2﹣2ax﹣3a2，f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣2a﹣3a2，由切线方程为y=1，可得f（1）=1，f′（1）=0，即为﹣a﹣3a2+b=1，1﹣2a﹣3a2=0，解得a=﹣1，b=或a=，b=；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣2ax﹣3a2=（x﹣3a）（x+a），当a=0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，﹣a＜3a，当x＞3a或x＜﹣a时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣a＜x＜3a时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=﹣a处取得极大值，且为b+a3；x=3a处取得极小值，且为b﹣9a3．当a＜0时，﹣a＞3a，当x＞﹣a或x＜3a时，f′（x）＞0，f（x）