五年级三大数学原理教师版

知识要计数——容斥原理，以及分类分 容斥原理基 BAB CABC B C A km1m2法，…第k类方法有mk种不同做法，则完成这件事情有(m1m2m3 mk)种不同做法。如果完成一件事情有k个步骤，第一步有m1m2种不同做法，…第k有mk种不同做法，则完成这件事情有k1k2k3 km种不同做法容斥原 某班一共24人，每人至少订阅一份报纸，订阅数学报的有18人，订阅语文报的有16人，数学【分析 ABABAB，16182410（人，有10人订阅了两份报纸 【分析】只喝可乐的人有15411人，只喝雪碧的有1248人，两者都喝的有4所以总人数应该是118423人。或者直接依据容斥原理解决：1512423【例3】有100种食品.其中含钙的有68种,43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最【分析】根据容斥原理最小值是684310011种，最大值就是含铁的种数，即有43【例4】室有100本书，借阅者要在上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、4455其中同时有甲、乙签名的有29同时有甲、丙签名的有25同时有乙、丙签名的有36本.问这批中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？【分析】设没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的分别为x本，y本，则根据容斥原理得100334455292536yxxy58xyy表示三人都借阅过的，最大为25x33，所以，至少33本没被三人中的任何一 某年级的课外学科小组分语、数、外三个小组，参加语数外三个小组的人数分别为27人，人和184人、7人、5【分析】由容斥原理可以得到人数是272318475254【例6】某学校组织学生订阅报纸，学校一共400人，订阅数学报的有180人，订阅语文报的有160人， 设订阅了两份报纸的人数是x人，则在计算总人数的时候，两份报纸的人数会被多计算一次，阅了两份报纸的人数是160人。18016032050400

时三种报纸都订阅的人被重复计算了三次，所以有310150160（人）【例7】四年级一班有46324人参加了数学小组，20人参加了语文3．53项活动732【分析 =46，A=24，B=20，C=3.5，

， =2

，A CA337=21【例8】小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然小组，35人参加美术小组，27人参加语文小组，参加语文同时又参加美术小组的有12人，参加自然同时又参加美4AB =46，A=24，B=20，C=3.5，

， =2

，A CABC B337=21 【超常2班、超常1班】设参加自然小组的人组成集合A，参加美术小组的人组成集合日，参加语文小组的人组成集合C． A=25，B=35，C=27，

=12，

B C =ABC B C所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一62人．【例9】盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5可乐雪碧都要的有3可乐橙汁都要的有2雪碧橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．【分析】根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数(要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数(要可乐、雪碧的人数要可乐、橙汁的人数要雪碧、橙汁的人数三种都要的人数，【例10】新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳 【分析】设只参加合唱的有x人，那么只参加跳舞的人数为3x，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为501040人，即x3x40x10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30人，又由“同时人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”401010317【例11】五一班有28个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组加语文与自然小组的人数是3个小组全【分析】参加304，那么仅参加语文与自然小【例12】25个学生，其中17人会骑自行车，138【分析】⑴有6个数学不及格，那么及格的有：25619(人)，即最多不会超过19人会这三项运动之运动之一．于是，至少会三项运动之一的只能是19人，而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以没有数学成绩优秀的．⑵上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动：会骑车的一定有一部分会游泳，一部19172(人)既会游泳又会滑冰．【例13】数学竞赛给出AB,C25A题的学生中解出B题的人数是解出C题人数的两倍解出A题的人数比其余解出A题的人数多1AB题的人数。AxwuAxwuztvyAB,CxyzABBC,CA的人数分别是u.vwtxyzuvwt25人。vy2(vz，xwtu1xyz。现在题目要求y。因为y2zv，于是xyzuvwt25中代入wtux1，可得xyzvx1252xyzv26，把xyz代入得到3y3zv26，把vy2z代入可得4yz26y612另一方面因为vy2z0z0.5y，所以264yz4y0.5yy579yy6【例14】五年级一班共有36人，每人参加一个小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参加B组的有 B，CD三组的总人数是3615417(人)，CD每组至少5人，当CD每组6人B组为5B组的有17557(人)．加法原 1~100的所有自然数中，是2或3的倍数的数有多少个【分析】因为是2的倍数的数有100250个；1003331，所以是3的倍数的数有33个；因为6倍数同时是2的倍数，也同时是3的倍数，1006 3的倍数，所以是2或3的倍数的数有50331667 1～2003的所有自然数中，是5或8的倍数的数共有多少个 3，是5的倍数的有400个1～2003的所有自然数中，20038 3，是8的倍数的有250个1～2003的所有自然数中，2003(58) 3，既是5的倍数又是8的倍数的有50个所以是5或8的倍数的数共有40025050600（个 1~143的所有自然数中既不是11的倍数，又不是13的倍数的数有多少个【分析】因为11的倍数有143111313的倍数有11个，同时是11和13的倍数的数只有143一个，所以既不是11的倍数，又不是13的倍数的数有143(13111)120个。【例4】（2009年杯决赛五年级）在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有（）个。03、5、7中任何一个整除，所以它不应该包含在最后的；能被（37）1000（37）=47（个（57）1000（5（个；能被（357）1000（357）=9（个3、5、7中某一个1000543=457（个） 求分母为143的最简真分数的个数【分析】因为14311131~143这个范围内既不是1113的倍数的数，因为11的倍数有143111313的倍数有11个，同时是11和13的倍数的数只有143一个，所以既不是11的倍数，又不是13的倍数的数有143(13111)120个。也就是说分母为143的最简真分数的个数是120个。 求分母为105的最简真分数的个数【分析】因为105357，分母为105的最简真分数，其分子不可能是357的倍数。在1～105这105个自然数中：3的倍数有5735（个5的倍数有3721（个7的倍数有3515（个既是3的倍数，又是5的倍数有105357（个既是3的倍数，又是7的倍数有10537)5（个）既是5的倍数，又是7的倍数有10557)3（个）同时是357的倍数只有105这1个。所以是357的倍数的有352115753157（个，所以分母为105的最简真分数有1055748（个） 问以2009为分母的最简真分数有多少个【分析】因为20094177，所以分子必定是在1~2009这个范围内，既不是7的倍数，也不是41倍数的数。因为7的倍数有41728741的倍数有49个，既是7的倍数，也是41的数有7个，所以既不是7的倍数，也不是41的倍数的数有20092874971680 分母是4900的最简真分数有多少个【分析 因为4900225272，所以实际上就是在1~4900这个范围内寻找既不是2的倍数，也不5的倍数，也不是7的倍数的数作为分子。因为2的倍数有490022450549005980749007700个；同时是2,5的倍数的数有490010490同时是2,7的倍数的数有490014350个，同时是5,7的倍数的数有4900351402,57490070702的倍数，也不是5的倍数，也不是749002450980700最简真分数有1680

个。也就是说分母是 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少【分析 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、57倍数的数有多少个，335个，521个，715个，15个，215个，353个，1051105105互质的数48124.【例10】分母是6300【分析】因为63002232527，所以实际上就是在1~6300这个范围内寻找既不是2是3572的倍数有6300231503的倍数有630032100个，5的倍数有630051260个，7的倍数有63007900时是2,3的倍数的数有630061050个，同时是2,5的倍数的数有630个，同时是2,7的数有630014450个，同时是3,5的倍数的数有630015420个，同时是37有630021300个，同时是5,7的倍数的数有630035180个；同时是2,3,56300302102,37的倍数的数有630042150个，同时是2,5763007090个，同时是3,57的倍数的数有630010560个；同时是2,3,5,7630021030个。所以运用容斥原理得到在1~6300这个范围内寻找既不是2是3的倍数，也不是5的倍数，也不是7综上所述，分母是6300的最简真分数有1590【例11】在1~10000【分析】本题只要求出完全平方数和完全立方数一共有多少个即可。因为100210000完全立方数一共有100214117个不同的，所以既不是完全平方数，又不是完全立方数的那些整数有100001179883个。【例12】有一根长木棍，上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等分；第二种刻度线将木棍分成【分析】因为度是30103，第二种刻度线把木棍分成十五等分，每份的长度是30152，因[2,36所以存在一些公共的刻度线，公共的刻度线有30614101151419条，所以木棍被锯成了19120 球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种． A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式．同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．所以，不同的传球方式共有10种．【例14】甲乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出甲甲甲甲甲乙乙乙甲乙甲乙甲乙 也就是甲胜第一局有7种可能情况，同理，乙胜第一局也有7种可能性，所以一共有14种可能另解：分类讨论：如果是两局定胜负，那么这两局只能是完胜，所以有2种情况；如果是三局如果是四局定胜负，那么必定是31须在34222824814【例15】一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9（1）从两个盒子内任取一个小球，有多少种不同的取法 （1“从两个盒子内任取一个小球则这个小球要么从第一个盒子中取，要么从第二个盒子中取，共有两类方法，所以应用加法原理，5914（种。【例16】一个口袋里装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同.球中任意取出3个球，有多少种不同的取法【分析】若第一个口袋里取3个小球，有1若第一个口袋里取2个小球，则第二个口袋里取1个，有38248若第一个口袋里取1个小球，第二个口袋里取2个，有387284种；若全部从第二个袋子里取，则有C3876(32156种，8所以一共有1248456165【例17】将17个分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法【分析】设每班先分两个，则分掉14个，还剩3个球可以任意分配，若3个球分给同一班级，有7种方法；若3个球分给两个班级，则其中一个班级分两个，另一个班级分一个，有7642种方法；若3个球分给三个班级，每班一个，有7653235种方法，所以一共有7423584【例18】（第七届杯初赛）要外地出差，临走前交给10粒糖，并每天吃1粒或者 ）种不同的方法把糖吃完【分析】每天可能吃1粒或2粒，由此导致吃的方法不同，吃的糖的总数一定是10粒.若每天吃1粒，则只有1种方法吃完；若其中一天吃2粒，则一共吃了9天，他可以选择在任意一天吃2粒，所以有9若其中两天每天吃2粒，则一共吃了82粒，有87228若其中三天每天吃2粒，则一共吃了7天，他可以选择其中任意三天每天吃2粒，有76532)35若其中四天每天吃2粒，则一共吃了6天，其中两天每天一粒，有65215种方法；若五天每天吃2粒，好吃完，只有法，综上，共有种方法【例19】（第七届杯初赛）从2006到5550的整数中，十位数字与个位数字相同的数共有多少个【分析】十位数字与个位数字相同，从00到99共有10个，即从00开始，每100个连续的数中，出现个数的十位数字和个位数字相同所以从 共有(54201)10350个数符合要求从5500到5550有5个数满足，所以一共有35051354【例20】（第八届杯复赛）三位数中各位数之和为10的数共有 ）个当百位数为1时，918,927,936,94 ，总共有5210种当百位数为2时，808，817，826，835，844，总共有4219当百位数为3456789时，分别有876543210122总共有2310122【例21】某班对45名同学进行了体检，其中有15人近视，有114人。问该【分析】因为超重或者近视的人总数是1511422人，所以既不近视又不超重的人数是4522【例22】用0,12,34（2341，43224种可能性，所以千位上的数字之和是(123424240；33218之和是(0123418180；【例23】由12,34,5这五个数组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152【分析】万位上是54的数有各432124个，所以共有24248个；万位上是3，千位上是5的数有3216个；万位上是3，千位上是4，百位上是5或2的各有2个，所以共4综上所述，符合要求的数一共有486458【例24】有1~200这二百个整数，从中任意抽出一个数，它是6的倍数或者8的倍数的可能性是几分之【分析 6的倍数或者8的倍数一共有多少个呢6的倍数：[2006338的倍数：[2008256和8的倍数：[200248所以6的倍数或者83325850所以可能性是5020014【例25】在某项自行车比赛的第二站中，第一站的前四名选手又都进入了前四名。除了第一名冠军外，3列，其中1223,34不能在排列中任何位置出现。使用容斥原理来解：排列中出现12的情况数（把12作为一个整体进行排列）P3633排列中出现23的情况数（把23作为一个整体进行排列）P3633排列中出现34的情况数（把34作为一个整体进行排列）P3632排列中同时出现1223的情况数等于排列中出现123P222排列中同时出现12,34的情况数也是两种：1234,3412排列中同时出现23,34的情况数也是两种：12342341排列中同时出现1223,34的情况只有一种：12344所以不符合要求的排列数是666222113P4134【例26】如图所示，沿线段从ABF F

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BAA出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如线有10条。【例27AB点，要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。问有多66 C C61 1 【分析】如图所示，每一种走法只可能经过CDEF中的一个点，并且必定要经过其中的一个点，所以第一类，经过CA到C点有2种走法，从CB点也是2种走法，所以这一类224种走法；类是4416种走法；EAE点有1EB点也是1种走法，所以这一类是111种走法；FAF点有1FB点也是1种走法，所以这一类是111种走法；综上所述，运用加法原理，走法数共有416112222种。【例28】在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别为第一、二、三、四名，在期末考试中他们又是班上4【分析】从四人中选取一个人排在原来的位置上有C144和第三个人就被唯一的确定下来，所以由乘法原理知道可能性总数是428种。【例29】大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母ea后边必然紧跟着字母b，⑶c和d不会出现在同一个字母之中，那么由母构成的单词一共有多少【分析】分为三种：第一种：有两个a的情况只有abab1种第二种，有一个a3类第一类，在第一个位置，则b4416种，减去c、d同时出现14种，第二类，在第二个位置，则b在第三个位置，总共有34210种.第三类，在第三个位置，则b在第四个位置，总共有34210种.第三种，没有a的情况:分别计算没有c的情况233354种.没有d的情况233354种.没有cd的情况：12228种由容斥原理得到一共有54548100种所以，根据加法原理，一共有1141010100135【例3064人参加4100【分析】⑴54243125412⑵64人参赛，有6543360种选择.也对应5436036060赛的4312种方案，所以，一共有36060212252【例31】学号为1,2,3,4的四名同学计划10个馒头，每个同学都必须吃馒头，并且的都是整数【分析】如果学号为1的人吃了7个馒头，那么其余三人每人吃一个馒头，也就是1如果学号为1的人吃了6个馒头，那么其余三人共吃了四个馒头，必定有一人吃了两个，这个人可以是学号为34之一的某个人，也就是有2种吃法；如果学号为1的人吃了5个馒头，那么其余三人共5个馒头，对于5221只有1于5311有2种吃法，所以共计3如果学号为1的人吃了4个馒头，那么其余三人吃了6个馒头，对于6411有2于6321有3种吃法，对于6222没有符合要求的，所以共计5如果学号为1的人吃了3个馒头，那么其余三人吃了7个，对于7511有37421有3种吃法，对于7331有1种吃法，对于7322有133118如果学号为1的人吃了2个馒头，那么其余三人吃了8个，对于8611有385214种吃法，对于8431有3种吃法，对于8422有18332有1种吃法，所以共计有3431112综上所述，吃法种数有123581231【例32】若干台计算机联网，要求：①任意两台之间最多用一条电缆连接；②任意三台之间最多用两条个要求最少需要连79条电缆，问：【分析】⑴如果把计算机看作是点，电缆看作是线，由第三个条件知道，联网必定没有孤立的点，也就是说任意一个点沿着线都可以到达其他的任意一个点。下面证明n个点至少需要连n1条线才n个点至少需要连n1条线.n1个点连起来是符合要求的，所以结论成立。那么根据这个结论，最少需要连79条电缆,说明计算,有791,⑵A是所有计算机中连线最多的计算机，并且与a1a2

均有线，与其余的计算机b2,b3, ,bk都没有连线，于是mk80。由条件二得知a1,a2, ,am如果有连线，那么都是与b2,b3 ,bk以及A之间的连线，而b2,b3 ,bk中的个点最多连出m条线段，所以整个图形最多只有mk条线段，因为当mk40时，mk最大为1600，所以整个图形最多连1600条线。另一方面把80个点分成两组，每组40个点，第一组的缆数是1600条。【例330、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008排在第个【2008年第二届四地“金杯”少年数学精英邀请赛】2008小的4位数有2000和20022008小的3位数有23318（种2008小的2数有236（种2008小的1位数有2（种2008排在第21862129（个202220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?1996个数是多少【分析】回文数分为一位、二位、三位、…、六位来逐组计算。所有的一位数均是“回文数”9个；在二位数中，必须为aa9个(0，下同在三位数中，必须为abaa、b可相同，在本题中，不同的字母代表的数可以相同)形式的，9×10=90个；在四位数中，必须为abba9×10在五位数中，必须为abcba9×10×10=900个；在六位数中，必须为abccba9×10×10=900个。9+9+90+90+900+900=1998999999998899，再次为19963997799 乘法原理【例】 一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，所有这些小球颜色各不相同，问：从 分两步完成，所以应用乘法原理。5945（种。 将1个篮球和16个分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法17设每班先分两个，则分掉14个，还剩3个球可以任意分配，若3个球分给同一班级，有7种方法；若3个球分给两个班级，则其中一个班级分两个，另一个班级分一个，有7642若3个球分给三个班级，每班一个，有7653235种方法，所以一共有7423584种方法。所以一共有847588校乒乓球队有10名男生，8名，现要选8人参加区里的比赛，在下列的条件下，分别有多①恰有3名入选②至少有2名入选③最多有3名入选④某2名和某2名男生必须入选 C3C514112 ②就是至多有1名入选，所以用总数C8减去只有一名入选和没有入选的 况数就是符合条件的情况数，即C8C8C1C7 ③最多有3名入选分为四种情况：也就是人数分别为0,1,2,3个，所以情况数的和 C8C7C1C6C2C5 ④因为已经入选了2名和2名男生，剩下的182214人中选8224个人就是符合要求的，即C41001BA BA 第一步，先给B染色有四种方法；第二步，给D染色有三种方法；第三步，给C染色有两种方法，第四步，给A染色，有两种方法，所以这个地图共有的染色方法数是432248种 参加会议的人见面都要握手一次，如果每人都要和其他人握手一次，一共握手136次，那么参【分析 显然人数越多，握手次数越多，估计一下：如果人数是20人，那么握手次数201921901515142105如果人数是17人，那么握手次数是17162136次，刚刚好。所以人数是17人。 从7名候选人中，首先选出一名班长，再选出4名班，共有多少种不同的选法

C1C4105 若把英语单词o的字母写错了,则可能出现的错误共有多少种 5个数全排列54321120种，有两个l所以实际是120260种，原来有一种正确的，所以错误的是60159种。【例7】从8人的数学小组中选2人，①分别担任正副组长，有多少种不同的选法？②一起参加一【分析 ①分两步：选正组长有8种方法，选副组长有7种选法，所以共有8756种不同的选法8②因为参加数学竞赛没有顺序问题，所以是组合问题，共C2872288【例8】车间内亮着501~50，有50名工人，第一个工人把编号为1的倍数的灯的开关拉一下，第二个工人把编号为2的倍数的灯的开关拉一下，第三个工人把编号为3的倍数的灯开关拉一下……，以此类推，问，当50【分析】因为这个题目设计多次问题，某个灯最后是亮还是灭，仅仅取决于它被拉了多少次，换言5，10，那么编号为10的灯应该被第125，10的工人拉过，问题就转化为判断150的是完全平方数，所以编号为149，16253649的灯被关掉了。 7个人排成一排照相，其中甲乙丙3人必须排在一起，有多少种不同的排法【分析】分三步：第一步，先把甲乙丙排出顺序，有3216种方法；第二步，把甲乙丙整体移动，他们可以在的位置有123.234,345,456,567五种选择方法；第三步，剩下的四个位置让剩下的四个人进行排列，有432124种方法。运用乘法原理，总共的排列数是6524720【例10【分析】根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有54321120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个重复，因此实际排法只有120524种。2222232种.综合两步，就有2432768一课一练【练习1】1~50的所有自然数中，是3或5【分析 3的倍数有(502)316个，5的倍数有50510个，既是3的倍数又是5的倍数的数也是15的倍数，这样的数有15,3045共三个，所以是3或5的倍数的数有1610323【练习2209【分析】因为2091119，所以本题实际上就是在1~209这个范围内寻找既不是11的倍数，也不是19的倍数的数的个数，因为2091119，所以11的倍数有19个，19的倍数有11个，同时是11和19的倍数的数有一个，所以既不是11的倍数，也不是19的倍数的数的个数是20911191)180个。即分母是209的最简真分数有180【练习3】1~300这300个自然数中，既不是3的倍数又不是7A｛1～300中自然数3的倍数B｛1～300中自然数7的倍数因为3003100A3007 B30037) AB根据容斥ABABAB1004214128（个所以1～300中既不是3的倍数也不是7的倍数的数有300128172（个【练习440名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，【分析】容斥原理得两个小组都不参加的有4015181017【练习524人，每人至少订阅一份报纸，订阅数学报的有18人，订阅语文报的有16人，数学【分析】ABABAB，16182410（人，有10【分析 3厘米记号数量：1803159个；4厘米记号数量：1804144个；重复记号数量是18012114个。所以实际看得见的记号数量是5944148989190【练习7】一个口袋里装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同.2少种不同的取法？【分析 1从两个口袋里取，加法原理：3811（种）方法23824（种）【练习8】从5幅国画、32幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有多少种不同的选【分析】分类解决本题：如果选取的是国画和油画，那么有5315种方法；如果选取的是国画和水彩方法数共有1510631种。【练习942条路可走，从甲地到丙地有三条路乙乙甲丙【分析】从甲地到丙地可以分两类：第一类，直接从甲地到丙地，方法数是3种；第二类，从甲地到乙运用加法原理，总的方法数是8311【练习10】下图共有16AB,CDA放在方格中，有16AA所在的B放入方格中只有9BB所在的行和列都不可以再放棋子，也就是方格只剩下两行两列可以放置棋子了，把C放入方格中只有4种方法；第四步放完C以后，C所在的行和列都不D放入方格中只有1种方法。运用乘法原理，总的方法数是16941576种。【练习11】分母是385【分析】因为3855711，实际上就是在1~385这个范围内寻找既不是5的倍数，也不是7也不是11的倍数的数作为分子。事实上，因为5的倍数有[3855777的倍数有[385755个，11的倍数有[3851135个，同时是5,7的倍数的数有11个，同时是5,11倍数的数有7个，同时是7,11的倍数的数有5个，同时是5,7,11的倍数的数有1原理可以知道：能被5,7,11整除的数有77553511751145385145240个【练习12】在游艺会上，有100名同学抽到了分别为1~100的奖券，按照奖券号奖品的规则既是2的倍数，又是3的倍数的可以重复领奖；④其他号均1