2025北京一七一中高三（上）期中数学试题及答案

第1页/共1页2025北京一七一中高三（上）期中数学（时长：120分钟总分值：150分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.2.如果复数的实部与虚部相等，那么（）A. B.1 C.2 D.43.已知，则（）A. B. C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆截直线所得弦的长度为1，那么k的值为（）A. B. C.1 D.6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）A. B.3 C.9 D.367.已知菱形的边长为，，则A. B. C. D.8.在中，，则（）A.为直角 B.为钝角 C.为直角 D.为钝角9.如图，在正方体中，为棱的中点，动点在平面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹为（）A.两个点 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分10.已知，其中是常数，则（）A.存在实数，使得对任意实数，函数都有零点B.存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点C.对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点D.对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，的系数是__________．12.若点在角的终边上，则_____.13.据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过______天，蝗虫数量会达到4000亿只．（参考数据：，）14.已知抛物线C的焦点F到准线的距离为2，点P是直线上的动点若点A在抛物线C上，且，过点A作直线的垂线，垂足为H，则的最小值为________.15.海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.三、解答题（共6小题，共85分）请把过程写在答题纸上.16.已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.条件①：；条件②：函数在区间上是增函数；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.17.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.18.小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示：语文数学英语物理化学生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示：语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差第一次第二次将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)19.已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆C的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．21.设数列，若存在公比为q的等比数列：，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”．（1）写出数列：3，6，12，24的一个“等比分割数列”；（2）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比q的取值范围；（3）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求m的最大值．

参考答案（时长：120分钟总分值：150分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）题号12345678910答案CAABDCDCBB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以的系数是.故答案为：12.【答案】由点在角的终边上，可得，则.故答案为：13.【答案】由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的增长率为，则有，解得，设经过天后，蝗虫数量会达到4000亿只，则有，所以，即，故，所以，故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只．故答案为：54．14.【答案】由抛物线C的焦点F到准线的距离为2，可得抛物线方程为，因为，可知，所以，不妨取，设直线方程为：，则垂线方程为：，联立解得：，所以，，则，当时，取到最小值，故答案为：15.【答案】①不卸货，则吃水恒为2米，船离海底为，当时，，则，解得，所以最多停留时间为小时，故①正确；②立即卸货，吃水深度，且，解得，此时船离海底，，所以在上单调递增，且当时，，由，，此段时间都可以停靠，又，，故②错误；③与④，，，，，解得，当时，；当时，，所以当时，船底离海底的距离最大.故答案为：①④三、解答题（共6小题，共85分）请把过程写在答题纸上.16.【答案】（1）由题意得：.当选条件①：，又因为，所以，所以，所以时，即得：，即.当选条件②：从而得：当时，单调递增，化简得：当时，单调递增，又因为函数在区间上是增函数，所以得：，解之得：，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.故：若选条件②，不存在.当选条件③：由，，得当时，，又因为，所以得，得.（2）由（1）知：，则得：，又因为，所以，所以当时，有最大值；所以当时，有最小值.17.【答案】解：(1)证明：在直四棱柱中，底面，因为底面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以.(2)因为平面，且，所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，，由可得令，解得，所以因为平面，所以平面的一个法向量为所以由题可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.(3)设.因为，由(2)知平面的一个法向量为，因为平面，可得.所以，解得.所以，在线段上存在点使得平面，的值是.18.【答案】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.（2）的所有可能取值为：0，1，2，，，，所以X的分布列为：012数学期望.（3）设，则，则，同理可得，，因为，所以，所以的符号不确定，所以与无法比较大小，，所以，故这种观点不正确.19.【答案】解：（1）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，的面积．（2）由已知，直线的方程为，当时，直线的方程为，交y轴于点；当时，直线的方程为，交y轴于点．若直线经过y轴上定点，则，即，直线交y轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过y轴上定点．联立消y整理，得，设，．则，．设点，所以直线的方程：．令，得．因为，所以．所以直线过定点．综上，存在实数，使得直线经过y轴上定点．20.【答案】（1），，，，所以在点处的切线方程为，整理得：；（2）函数定义域为，当时，，此时在上单调递增；当时，令，得，此时在上，在单调递减，在上，在单调递增，综上：时，的递增区间为，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为；（3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根