2022-2023学年江苏省镇江市袁巷中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年江苏省镇江市袁巷中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50参考答案：A【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．2.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则(

)A．3

B．4

C.5

D．6参考答案：C3.复数的实部为

（

）A．i

B．-I

C．1

D．-1参考答案：C解析：因为，所以实部为1．4.角终边经过点（1，-1），A.1 B.-1 C． D．参考答案：【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1【答案解析】C

角终边经过点（1，-1），所以=故选C。【思路点拨】可直接根据定义确定余弦值5.若向量的夹角为120°，，，则（

）A. B. C.1 D.2参考答案：C【分析】由，代入已知条件，即可解得.【详解】因为，又，，，所以，解得(舍去)或.故选C.【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.6.函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的图象的一个对称中心坐标是()A．(，0)

B．(，1)C．(，1)

D．(－，－1)参考答案：B7.已知向量m，n满足m＝(2,0)，n＝()．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||等于()A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A8.下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=x2+4 B．y=|tanx| C．y=cos2x D．y=3x﹣3﹣x参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】逐一判断各个选项中所给函数的奇偶性，从而得出结论．【解答】解：对于所给的4个函数，它们的定义域都关于原点对称，选项A、B、C中的函数都满足f（﹣x）=f（x），故他们都是偶函数，对于选项D中的函数，满足f（﹣x）=﹣f（x），故此函数为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．9.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间内的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为（

）A.96 B.126 C.144 D.174参考答案：D【分析】先由统计图表数据得到女教师所占的概率，再分别计算文科教师和理科教师中女教师的人数，即可求解，得到答案.【详解】由统计图表可知，该校文科教师中女教师的人数为人，该校理科教师中女教师的人数为人，所以该校女教师的人数为人，故选D.【点睛】本题主要考查了统计图表的实际应用，其中解答中根据统计图表得出该校文科教师和理科教师中女教师所占的频率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足则的最小值为

.参考答案：12.已知数列{an}满足a1=2，且，则{an}的通项公式为．参考答案：an=n+1【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意可得，与已知关系式作差可得=，可判断出数列{}是以1为公比的等比数列，结合题意可知其首项为=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得：=an+1﹣an，整理得：=，∴=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列，∴an=n+1，故答案为：an=n+1．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于中档题．13.曲线在点处的切线方程为

参考答案：

略14.设二次函数的值域为，则的最大值为

参考答案：略15.已知不等式组表示的平面区域为D，若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是．参考答案：[﹣2，2）【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，分类化简y=x+，然后分x＞0和x＜0两类求出m的取值范围，取并集得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x＞0时，y=x+=x+m；当x＜0时，y=x+=x﹣m．作出直线y=x，由图可知，当x＞0时，平移y=x至A，此时y=x+m的截距m最小为﹣2，向上平移y=x，可得y=x+m的截距m＜2；当x＜0时，直线y=x+m的纵截距m∈（﹣1，2）．∴若存在x∈D，使得y=x+，则实数m的取值范围是[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．16.给出下列命题(1)对于命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1>0；(2)m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08；(4)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，则f(2016)＝0.其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)参考答案：(3)(4)17.过点且圆心在直线上的圆的方程是________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）在直三棱柱中，（1）求证：（2）求二面角的大小；（3）求点

参考答案：解析：（1）∵平面是正方形，∴又∵∴由三垂线定理的：

………………4’（2）过点C做过点∴在直角△中，∴在Rt△CHD中，∴二面角

………………8’（3）∵，∴点。设，则

………12’

19.已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）求导函数f'（x），把2代入即可求得f′（2）的值；（Ⅱ）求导，令导数f'（x）＞0，解此不等式即可求得单调增区间；令导数f'（x）＜0，解此不等式即可求得单调减区间；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣3，所以f'（2）=9．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣3，令f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1．令f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1．所以（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间．【点评】考查导数的运算法则和基本初等函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性问题，属基础题．20.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC⊥AM；（Ⅱ）若N是AB上一点，且，求证：CN//平面AB1M；（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．参考答案：证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．

……1分因为AC=BC=2，，所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

……2分又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1．

……3分因为AM平面ACC1A1，所以BC⊥AM．

……4分（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1，且∽．……………5分于是有．由已知，有．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．

……6分所以CN//MP．

……7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，

……8分所以CN//平面AB1M．

……9分（Ⅲ）因为

BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以

以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．…10分因为

，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，．

……11分设平面的法向量，则，．即

令，则，即．

……12分又平面MB1C的一个法向量是，

所以

．

……13分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以

二面角A-MB1-C的大小为．

……14分21.在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午时，测得一轮船在海岛北偏东，俯角（与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，当目标视线在水平视线的下方时称为俯角）为的处。到时分又测得该轮船在岛西偏北，俯角为的处。

(1)该轮船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，轮船到达海岛正西方向的处，此时轮船距岛有多远？参考答案：（1）中,,

--------2分同理中,

--------2分中,

--------2分22.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）极值；（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，判断a﹣b是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．（Ⅲ）求方程f[f（x）]=x的所有解．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0时，求得可能的极值点，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）极值；（Ⅱ）求得切点，求得切线方程，则，构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2即为a﹣b的最大值；（Ⅲ）设m是方程f[f（x）]=x的解，即f[f（m）]=m，由kAB=﹣1，则函数f（x）的最大值是1，且f（m）≠m，则，根据函数的单调性，即可求得方程f[f（x）]=x的所有解．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：f′（x）=；…当f′（x）=0时，得x=1；当f′（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增；当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（Ⅱ）设函数f（x）的切点为，t∈R．显然该点处的切线为：，即为；…可得：，则；设函数；…其导函数为，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜﹣1或t＞2，故函数F（t）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增；当F'（t）＜0时，得﹣1＜t＜2，故函数F（t）在区间（﹣1，2）上单调递减；函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2＞0，F（t）的极小值为．…显然当t∈（﹣∞，2）时，F（t）≤F（﹣1）恒成立；而当t∈（2，+∞）时，，其中et＞0，，得F（t）＜0；…综上所述，函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2即为a﹣b的最大值．…（Ⅲ）设m是方程