广西壮族自治区南宁市永新区石埠中学2022年高二数学理期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市永新区石埠中学2022年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入，．那么在①处应填（

）

A．B．C．D．参考答案：B2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0,+∞) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,+∞)参考答案：C3.下列说法正确的是（

）A．“”是“在上为增函数”的充要条件B．命题“使得”的否定是：“”C．“”是“”的必要不充分条件D．命题，则是真命题参考答案：A4.过点的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，

则该直线的方程是（

）(A)

（B）

(C)

(D)参考答案：A试题分析：由平面几何的知识可知当圆心过点的直线时,这被分成的两部分面积最大,因为,故所求直线的斜率,故其方程为,即,应选A.考点：圆的标准方程和直线的点斜式方程.【易错点晴】本题以直线与圆表示的区域为前提和背景,考查的是圆的标准方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用圆心过点的直线的所截圆所得的弦长最短.过圆心的直线截圆所得弦长最长这些结论可知,故所求直线的斜率,故其方程为.5.长方体中，AB=15，BC=8，则与平面的距离为

（）A．

B．

C．8

D．15参考答案：Ａ6.若（i是虚数单位），则复数z的模为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数的模.【详解】因为，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.7.用秦九韶算法计算多项式

当时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（

）A．6，6

B．5,

6

C．5,

5

D．6,

5参考答案：A8.已知，则方程表示的平面图形是（

）A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.圆或椭圆参考答案：D略9.设{an}是等比数列，公比q=，Sn为{an}的前n项和．记Tn=，n∈N*，设Tm为数列{Tn}的最大项，则m=（）A．2 B．1 C．4 D．3参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式，再根据基本不等式得出m．【解答】解：设等比数列的首项为a1，则an=a1（）n﹣1，Sn=，∴Tn===?[（）n+﹣17]，∵（）n+≥8，当且仅当（）n=即n=4时取等号，所以当m=4时，Tn有最大值．故选C．10.下列推理过程不是演绎推理的是（

）．A．①②

B．②③

C．③

④

D．②④①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；③在数列{an}中，，，由此归纳出{an}的通项公式；④由“三角形内角和为180°”得到结论：直角三角形内角和为180°。A.①②

B.②③

C.③

④

D.②④参考答案：B演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除，是演绎推理，故①不选；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方，是类比推理，不是演绎推理，故选②；③在数列中，，，由此归纳出的通项公式，是归纳推理不是演绎推理，故选③；④由“三角形内角和为”得到结论：直角三角形内角和为，是演绎推理，故④不选；总上可知②③符合要求，故选：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是

▲

．参考答案：或函数在递增，在递减，因为函数在区间上不是单调函数，或，或，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.

12.已知三角形的三边满足条件，则∠A＝_________。参考答案：略13.在半径为1的圆周上有一定点A，以A为端点任做一弦，另一端点在圆周上等可能的选取（即在单位长度的弧上等可能地选取），则弦长超过1的概率为________参考答案：2/3略14.若等比数列满足，，则的最大值为____．参考答案：729【分析】求出基本量，后可得数列的通项，判断、何时成立可得取何值时有的最大.【详解】设公比为，因为，，所以，所以，解得，所以，当时，；当时，，故最大值为，故填.【点睛】正项等比数列的前项积为，其公比为（）（1）若，则当时，有最小值无最大值，且；当时，有最大值，无最小值.（2）若，则当时，有最大值无最小值，且；当时，有最小值，无最大值.15.如图，四边形ABCD中．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，则四面体A'﹣BCD体积的最大值为

．参考答案：16.已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上第一象限内的点，的延长线依次交轴，椭圆于点，，若，则直线的斜率为

.参考答案：17.利用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的左边应增加的项数是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，,平面ABCD，且，，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角的大小．参考答案：（1）见解析（2）135°试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．试题解析：∵平面，，平面，∴，，且，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．（1）∵，，∴，∴，，设平面法向量为，则，取，得．又，所以，∵，∴，又平面，因此，平面．（2）∵平面的一个法向量为，由（1）知，平面的法向量为，设二面角的平面角为（为钝角），则，得：．所以二面角的大小为．19.如图，在半径为3m的圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.（1）写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；（2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？最大体积是多少？（圆柱体积公式：，为圆柱的底面积，为圆柱的高）

参考答案：解:⑴连结，因为，所以，设圆柱底面半径为，则，即，所以，其中.……………6分⑵由及，得，……………8分列表如下：极大值

……12分

所以当时，有极大值，也是最大值为.答：当为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是.……………16分20.（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且曲线过点(1，)（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据离心率为，a2=b2+c2得到关于a和b的一个方程，曲线过点，把点代入方程即可求得椭圆C的方程；（2）直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴a2=2b2①曲线过，则②由①②解得，则椭圆方程为．（2）联立方程，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得③，，即AB的中点为又∵AB的中点不在内，∴解得，m≤﹣1或m≥1④由③④得：＜m≤﹣1或1≤m＜．【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题．21.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案：(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.

22.若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案：【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题；待定系数法． 【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决； （2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1， ∴c=1，∴f（x）=ax2