大学高等数学6微分方程

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微分方程

【目的要求】

1、了解微分方程的基本概念，能根据简单的实际问题建立微分方程的初值问题，熟练掌握可分离微分方程及初值问题的求解；

2、掌握一阶线性微分方程及初值问题的求解；

3、会进行可降阶微分方程及初值问题的求解；

4、掌握二阶常系数线性齐次微分方程及初值问题的求解；

5、知道二阶常系数线性非齐次微分方程的求解，会拉普拉斯变换求解微分方程，了解数学建模；

6、能在计算机上进行微分方程及初值问题的计算。

【练习题】

一.单项选择题

⒈方程( D )是可分离变量的微分方程

A.yxcosyB.dyxydxdxdyC.ysin(x2y2)D.(xeyx)dx(x2yy)dy0⒉方程(A)是一阶线性微分方程y3A.dy+(x2y+x)dx=0B.y0C.ycosy0D.3yycosyx⒊方程y2y3y0的通解是(B)A.y=C1exC2xe3xB.C1exC2e3xC.y=C1e3xC2xexD.y=ex(C1cos3xC2sin3x)⒋方程yx满足初始条件y(3)=4,特解是(B)yA.x2y225B.x2y2254C.x2y225D.x2y2252⒌方程(D)是一阶非齐次线性微分方程A.yyyxB.x+siny+y=0C.xy+cosy+y=0D.(1+y)dx+(1+x)dy=0⒍方程dycos2ycosx0的通解是(D)dxA.sinx+cosy=CB.sinx+arctany=CC.sinx+tany=C(B)D.tany=sinx+C⒎下列哪组函数是线性相关的A.e2x,e-2xB.e2+x,ex-2C.ex2,ex2D.ex,ex⒏方程(x+1)(y2+1)dx+x2y2dy=0是(B)A.齐次方程B.可分离变量方程C.贝努利方程D.线性非齐次方程⒐已知曲线上任意点的二阶导数y6x,且在曲线上点(0,－2)的切线为2x-3y=6,这个曲线方程是(A)A.3x3-3y+2x-6=0B.3x2-3y+2x-6=03D.以上说法都不对C.x+y+2x-2=0⒑方程y35(y)4y5x70是(A)方程A.二阶非线性B.二阶线性C.三阶非线性D.三阶线性二填空题⒈一般来说,线性方程的解是(数),微分方程的解是(函数)⒉一个微分方程,当其未知函数为一元时称为(常微分方程);多元时称为(偏微分方程)⒊求方程y(n)=f(x)通解的方法是(连续n次积分)⒋方程(y+3)dx+cotxdy=0的通解是(y=Ccosx－3)⒌形如yp(x)yq(x)yn(n≠0,1)的方程称为(贝努利方程)⒍一阶线性微分方程的形式为(yp(x)yq(x)),当(q(x)=0)时方程称为齐次的.⒎若y*是yP(x)yQ(x)yf(x)的解,y是对应齐次方程的通解,则(y*+y)是方程的通解.⒏使形如yf(x,y)的二阶方程降阶的方法是(设yp(x))⒐若y1(x),y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的线性无关的解,则(y=C1y1+C2y2)是该方程的通解.⒑特征方程9r26r10对应的齐次线性微分方程是(9y6yy0)三.判断题⒈x=C1coskt+C2sinkt是方程d2xk2x0的解(A)dt2dyx⒉若曲线上点P(x,y)的切线与线段OP垂直(O为原点),则该曲线满足微分方程)dx(Ay⒊贝努利方程可化为线性方程来求解(A)⒋方程2yy(y)20是不可降阶的高阶微分方程(B)⒌y=ex(C1cos2xC2sin2x)是方程y2y3y0的通解(A)⒍方程()22yyx0是二阶微分方程(B)xy⒎yxy1a2(y2y)是可分离变量的微分方程(A)⒏y是一阶线性微分方程(A)2xy2⒐若y1(x),y2