2022年河北省衡水市宅城中学高三数学理测试题含解析

2022年河北省衡水市宅城中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是平面上给定的5个不同点，则使成立的点的个数为（

）（A）.

（B）1.

（C）5.

（D）10.参考答案：B本题考查向量的坐标运算，难度中等.设，其中是确定的常数，，则由，得，解得，，即点M只有一个.2.设则的大小关系是

(

)A. B. C.

D．参考答案：略3.一个三棱柱被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A1﹣ABC后剩下的几何体，AB⊥AC．【解答】解：由三视图可知：该几何体由三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A1﹣ABC后剩下的几何体，AB⊥AC．其体积V=﹣=20．故选：B．4.直线与的位置关系是A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合参考答案：D略5.一个锥体的主视图和左视图如下图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C试题分析：A,B,D选项满足三视图做法规则，C不满足满足三视图做法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图考点：三视图做法规则6.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，，（其中是的导函数），若，，则的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.点在第二象限是角的终边在第三象限的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C略8.不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A. B.2 C. D.参考答案：C试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．考点：积分的几何意义．10.函数的值域是

(

)

A.

B.

C.

D.[-4,0]参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数（e=2.71828…是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为

.① ② ③ ④参考答案：①④①在上单调递增，故具有性质；②在上单调递减，故不具有性质；③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质；④，令，则，在R上单调递增，故具有M性质．12.若函数f（x）=x3+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是________．参考答案：[﹣3，0]略13.已知数列{an}满足an=，且f（n）=a1+a2+a3+…+a2n﹣1，（n∈N*），则f（4）﹣f（3）的值为．参考答案：139略14.数列为等差数列，且，则数列的通项公式是___

；参考答案：15.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a2=2，S9=9，则a8=

．参考答案：16【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8．【解答】解：{an}为等差数列，Sn为其前n项和．a2=2，S9=9，∴，解得∴a8=a1+7d=16．故答案为：16．16.已知向量，则_

_.参考答案：略17.已知球O是棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为

。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，⊙O与边BC的交点D恰为BC边的中点，过点D作DE⊥AC于点E．（I）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若∠B=30°，求的值．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；规律型；数形结合；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD．证明OD∥AC．推出DE⊥OD，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）说明AD⊥BC．求出∠ADE=30°．在直角三角形AED与在直角三角形DEC中求解所求比值即可．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OD．因为O是AB的中点，D是BC的中点，所以OD∥AC．因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．…（Ⅱ）因为AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，所以AD⊥BC．又D是BC的中点，所以AB=AC．故∠ACD=∠B=30°．因为DE⊥AC，所以∠ADE=30°．在直角三角形AED中，；在直角三角形DEC中，．于是．…【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形的解法，考查计算能力．19.在中，角对的边分别为，已知．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

参考答案：（1）（2）解析：（1）………（2分）.

………（6分）（2）………（8分）………（10分）当且仅当时,的面积取到最大值为.

………（12分）.

略20.一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐标系，求出P的轨迹方程，即可解决．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC==，∴∠BAC=17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°=，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2=，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．21.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，，。（1）若中点为。求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值。参考答案：证明（1）取的中点，连结，，且，所以为平行四边形。，且不在平面内，在平面内，所以（2）等体积法令点到平面的距离为，又直线与平面所成角的正弦值。22.已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上，下顶点.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于点的对称点为E，点是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.参考答案：（1）；（2）是，0.【分析】(1)根据已知条件,求出,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.【详解】（1）因为圆过椭圆的上，下顶点，所以，又离心率，所以，