高二数学人教A必修5练习：第二章 习题课（1） Word版含解析

习题课(1)课时目标1．熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题．2．熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．要点回顾1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．若数列{an}为等差数列，则有：(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)前n项和：Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列．一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为()A．24B．22C．20D．－8答案A2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于()A．24B．25C．26D．27答案C解析∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，∴S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝13a7＝26.3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37答案C解析设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)＝(a1＋b1)＋(d＋d′)＝100.又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75答案B解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，∴d＝3，a1＝2.∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为()A．11B．12C．13D．14答案A解析S4＝S8⇒a5＋a6＋a7＋a8＝0⇒a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，S12＝eq\f(a1＋a12·12,2)＝0，n<12时，Sn>0.6．在等差数列{an}中，a1＝－2008，其前n项和为Sn，若eq\f(S2008,2008)－eq\f(S2006,2006)＝2，则S2012等于()A．－2012B．2012C．6033D．6036答案D解析eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1d,2)，∴eq\f(S2008,2008)－eq\f(S2006,2006)＝a1＋eq\f(2008－1,2)d－a1－eq\f(2006－1,2)d＝d＝2.∴S2012＝2012×(－2008)＋eq\f(2012×2011,2)×2＝2012×3＝6036.二、填空题7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．答案80解析a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N*且p≠q)，则Sp＋q＝________.答案0解析设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－eq\f(b,a).∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)＝a(－eq\f(b,a))2＋b(－eq\f(b,a))＝eq\f(b2,a)－eq\f(b2,a)＝0.9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．答案5或6解析d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.答案n2－2n＋21解析∵an＋1－an＝2n－1，∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，n≥2.∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)．∴an＝20＋eq\f(n－12n－2,2)＝n2－2n＋21.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n＋eq\f(nn－1,2)＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解之得n＝7，n＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n＋eq\f(nn－1,2)＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝eq\f(Sn,n＋c)，求非零常数c.解(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9,a1＋3d＝13))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝4))，∴an＝4n－3.(2)由(1)知，Sn＝n·1＋eq\f(nn－1,2)·4＝2n2－n，∴bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).∴b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c).∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－eq\f(1,2)(c＝0舍去)．能力提升13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，Sn为{an}的前n项的和，则下列结论正确的是()A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零答案D解析∵S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19a10<0，S20＝eq\f(20a1＋a20,2).而a1＋a20＝a10＋a11，∵a10<0，a11>0且|a10|<a11，∴a10＋a11>0，∴S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝10(a10＋a11)>0.又∵d＝a11－a10>0.∴Sn>0(n≥20)．14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．123456789101112131415……………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是______________.答案eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为eq\f(n－11＋n－1,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)