模块二第一章空间几何体

模块二

第一章空间几何体

学习目标

1、识记柱、锥、台、球及其简单的组合体的结构特征;能识别一个几何体是由哪一些简单的几何体组

合而成的。

2、能描述平形投影和中心投影，能用平形投影的方法画空间图形的三视图与直观图。

3、能理解空间几何体的三视图，能画出空间简单几何体的三视图;并能根据几何体的三视图想象立体

模型。

4、了解斜二测画法，会用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

5、识记柱、锥、台、球的表面积和体积公式，并能运用公式求表面积和体积。

第一讲空间几何体

基础知识

1、多面体的结构特征

（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各

面都是四边形,并且每相邻的两个四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的多面体,

叫做棱柱。

（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各

面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的多面体叫做棱锥。

（3）棱台：棱台可以由棱锥截得，其方

法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥,截面和

底面之间的部分叫棱台。

2、旋转体的结构特征

旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出

旋转出下列几何体的平面图形及转轴：

3、空间几何体的三视图

（1）空间几何体的三视图，是用正投影得到，在这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与

平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

（2）画三视图的基本要求是：长对正，高平齐，宽相等。

4、空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴和y'轴的夹角为45。或135。，z'轴与x'

轴和y'所在的平面垂直。

（2）原图形中平行于坐标轴的线段直观图中仍然平行，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中丕变,

平行于y轴的线段长度在直观图中减半。

5、平行投影与中心投影

平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。

6、多面体的表面积

（1）圆柱的表面积：S=2%"+2〃，，（其中「为底面半径，/为母线长）

（2）圆锥的表面积：S=++%〃，（其中r为底面半径，/为母线长）_

2

（3）圆台的表面积：S=7rr}+7rr^+7i{r}+r2）1,（其中小々为上、下底面半径，/为母线长）

（4）球的表面积：S=4%，，（其中r为球半径）

7、几何体的体积公式：

（1）柱体：V=sh,（其中S为底面积，h为高）

（2）锥体：V=-sh,（其中S为底面积，h为高）

3

（3）台体：SSSh（其SpS2为上下底面面积，h为高）

V=1（I+2+A/^7）

（4）球体：丫=4万/,（其中1_为球半径）

3

课前热身

1、下列结论正确的是（D）

A、各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴，

其余两边旋转所形成的曲面所围成的

几何体叫圆锥

C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相

等，则该棱锥可能是六棱锥

D、圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点

的连线都是母线

2、一个几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积等于也

3

俯视图

3、如图所示，长方体ABCD—A与GA中，用截面截下

一个棱锥C—4。乌，则棱锥C—4。乌的体积与剩余

部分的体积之比为1:5

4、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该

几何体的表面积。（其中NR4C=30°）

解：作CD_LA5于D,则8C=H,AC=G/?,CD=孚火

故所求表面积为：S=4TTR2+R（R+V37?）=11+—■7rR2

22

范例分析

例1下列命题中，不正确的是（C）

A、棱长都相等的长方体是正方体

B、有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱

C、有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱

D、底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

变式训练

关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（B）

A、棱柱的侧棱长都相等B、棱锥的侧棱长都相等

C、棱台的上下底面是相似多边形D、有的棱台的侧棱长都相等

点评：识记常见空间几何体的结构特征

例2一个五面体的三视图如下，主（正）视图与侧（左）视图是等腰直角三角形俯视图为直角梯形,

部分边长如图所示，则此五面体的体积为，

主（正）视图侧（左）视图正视图

俯视图

例2图变式图

变式训练

如图为一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体

的表面积为（C）

A、6B、1273C、24D、32

点评：严格按排列规则放置三视图，并用虚线画出长、宽、高的关系，对准确把握几何体很有利。

例3已知正三角形ABC的边长为那么□ABC的平面直观图口44G的面积为:g/

变式训练：用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC,AC-

1,/ABC=30。，如图示，则原图的面积为J4

点评：

画几何体的直观图一般采用斜二测画法，认真理解规则中的“斜”和“二

测”，把握好角度和长度的变化。

例4一个多面体的三视图如下，则此多面体的

外接球的表面积是（C）

A、3兀B、4yb兀

C、12"D、48万

变式训练：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱

垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

上，且该六棱柱的高为百，底面周长为3,那么这侧视图

个球的体积为主4〃

3

点评：涉及球与柱、锥的切接问题时，一般过球心

2

及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归

为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元

素间的关系.

俯视图

达标练习

1、用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆,则这个几何体一定是（C)

A、圆柱B、圆锥C、球体D、圆柱、圆锥、球体的组合体

2、当圆锥的侧面积和底面积的比值是加时,圆锥轴截面的顶角等于（C）

A、45°B、60°C、90°D、120°

3、如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形得到一个边长为1的正方形，则原来图形的形

状是（A）

4、如图所示由哪个平面图旋转得到的（A）

5,如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（A)

①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱

A、④③②B、①③②C、①②③D、④②③

6、底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，那么截面圆的面积为7V。

7、把曲线y=凶和y=2围成的图形绕x轴旋转360。，所得旋转体的体积为

3

8、用任意一个平面去截正方体，下列的平面图形可能是截面的是①②③⑤⑥。

①正方形②长方形③等边三角形④直角三角形⑤菱形⑥六边形

9、一个正方体内接于高为40cm,底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长。

解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x,y

则。。=交乂A

23040/__\

解得：x=120（3-2&）正方体棱长为120（3-2夜）cm/

io、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示乙————।——I—

（1）请画出该几何体的直观图，并求它的体积（2）证明：AOC

A。J■平面ABC

⑶若D是棱CG的中点，在棱AB上取中点E,判断DE是否平行于平面ABC一并证明你的结论。

6.A（A）

「L

』c（c,）L——\B（B,）

B（C）

B4正视图4©侧;图

A（C）4（G）

3

析：（1）几何体的直观图如图，丫=一

2

B'---------------------1月

（2）可证：4C_LA£和A。，4G俯视图

（3）可取BBi的中点F,证明面DEF〃面AB.C,

第二章空间点、直线、平面之间的位置关系

学习目标

1、了解平面的概念和特性，能直接运用三个公理解决一些简单的空间点、线、平面关系的问题。

2、理解空间中直线与直线之间的三种位置关系，会判定的两直线平行、垂直或异面，会求简单空间

图形中两条异面直线所成的角。

3、理解空间中直线与平面之间的三种位置关系。

4、能运用直线与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面平行问题；

5、能运用平面与平面平行的判定与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面平行问题。

6、能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的线面垂直问题，会求

简单空间图形中直线与平面所成的角；

7、能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些简单空间图形中的面面垂直问题，会求

简单空间图形中平面与平面所成的角。

第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系

基础知识

1、平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两息在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2、直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类：

士，.，、「相交直线同一平面内，有且只有一个公共点

■、-1平行直线:同一平面内，没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设以人是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线口人把屋与//所成的锐角（或

直角），叫异面直线。、。所成的角（或夹角）。

②范围：（o、g

3、直线和平面的位置关系

位置关系直线a在平面a内直线a与平面a相交直线a与平面a平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示auaa[\a-AaV\a

4、两个平面的位置关系

位置关系图示表示法公共点个数

Z_/

两平面平行没有公共点

z/__/

有无数个公共点点在

两斜交ans=/一条直线上

平

面

相

有无数个公共点在一

垂直aA.(3

交条直线上

5、平行公理

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

6、定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

课前热身

1、（教材改编题）有以下命题：

①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

②经过两条相交直线有且只有一个平面

③经过三点确定一个平面

④若平面a与平面夕相交，则它们只有有限个公共点⑤两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

其中真命题的个数为（C）

A、5个B、4个C、3个D、2个

2、分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（D）

A、异面B、平行C、相交D、以上都有可能

3、如图是一个正方体的展开图，如果它还原为正方体，那么下列结论不正确的是（B）

A、与EF异面

B、与CD异面

C、CDI/EF

D、"G与EF所成的角为60。

4、如图所示，在正方体A3CO一—A4GA中，E、F分别是AB、

AD的

中点，则异面直线qC与EF所成角的大小为60。

范例分析

例1下列结论：（1）公理1可用集合符号叙述为：若

Ael,Bel,^AGa,Bea,则必有/ea;（2）四边形的两条对角线必相交于一点；（3）若

an£=/Sua,cu£Snc=A/ijAe/（4）梯形是平面图形，其中正确结论的序号是（3）（4）

点评：本题是直接根据三个公理解题，能将符号语言翻译成文字语言，意在让学生“识记”公理及直

接应用

例2如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、

匚小上CFCG2

CD上的点，且a==一

CBCD3

求证：三条直线EF、GH、AC交于一点

证明：YE、H分别是AB、AD的中点，

由中位线定理知：EH^-BDX—

2CBCD3

2

.♦.在A8CD中,FGDBD,且FG=-8D

3

由公理4知：E”口FG,一旦EH<fG

J.四边形EFGH是梯形，EH、FG为上、下两底

两腰EF、GH所在直线必相交于一点P

直线EF、EFu面ABC

.•.点P€面ABC,同理可得：PW平面ADC

.•.点P在平面ABC和平面ADC的交线上

又•.•平面ABC口平面ADC=AC

r.Pe直线AC

故EF、GH、AC三直线交于一点

点评：本题属于“理解”层次，意在学生能利用有关结论判定空间两直线的位置关系及点与平面的位

置关系。

例3分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（D）

A、一定平行B、一定相交C、一定异面D、相交或异面

点评：本题属：“理解”层次，意在学生能将“文字语言”翻译成“图形语言”从而利用有关结论进

行判定。

例4空间四边形ABCD中，AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点，求

EF与AB所成角的大小。*

解：取AC的中点G,连结EG、FG//\F

则EG□AB,FG□CO,且由A3=CD知：EG=FG

J.NGEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，ZEGF（或它的补角）为AB与CD所成的角

•••AB与CD所成的角为30°

/.ZEGF=30°或150

由EG=FG知\EFG为等腰三角形

当NEGF=30°时，ZGEF=75°

当NEGR=150°时，NGEF=15。

故EF与AB所成角的大小为15°或75°

点评：本题属“简单应用”层次，意在让学生掌握求两异直线所成角的步骤与方法，从而加深理解立

体几何中的计算问题贯彻一作二证三计算等步骤

达标练习

1、若直线上有两个点在平面外，则下列结论正确的是（A）

A、直线在平面外B、直线在平面内

C、直线上所有点都在平面外1）、直线与平面相交

2、直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（B）

A、1B、3C、6D、0

3、如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（B）

A、12对B、24对C、36对I）、48对

4、空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（C）

A、4个B、5个C、6个I）、12个

5、a、Z?是异面直线，au平面a,bu平面£,111£=©那么直线c（B）

A、同时与a、b相交B、至少和a、。中一条相交

C、至多与a、匕中一条相交D、与a、中一条相交，一条平行

6、如图，三棱柱ABC-44G的侧棱垂直底面，ZBCA=90°,点。「耳分别是片片,AG的中点，若

8C=C4=CG，则84与AF1所成的角的余弦值是（A）

7、长方体A8CO——AAG2中，ZBAB=30°,则CQ与q8所成的角儿

是（A）

A、60°B、90°C、30°D、45°

8、若E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则A

四边形EFGH是平行四边形;若空间四边形ABCD的对角线AC与BC垂直,则EFGH

是矩形;若空间四边形ABCD的对角线AC与BD相等，则EFG1I是菱形。

9、如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形；，NBAD="18=90。BC^AD,B*FA,G、H

分别是FA、FD的中点

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

(1)证明：由已知FG=GA,FH=HD

/.GH-AD又BC-ADGHBC

~2~2

J.四边形BCHG为平行四边形

(2)解：C、D、E、F四点共面。证明如下:

由8段,G为FA的中点知：BEIIFG

-2=

/.四边形BEFG为平行四边形/.EF/JBG

由(1)知BG//C”，£77//。”.\£77与(^共面

又DeFH.•.(：、D、E、F四点共面。

10、如图所示，正方体ABC。一一A4GA中.

(1)求AG与所成角的大小

(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求4G与EE所成角的大小

⑴解：连结

由已知A4&CG，•••四边形A4£C为平行四边形

:.ACH\C,于是/qCA是AG与所成的角

在中ACZB,CA=60°

故AG与4c所成的角为60。

(2)由己知=AF=FD:.EF//BD

由(i)知AC//AC.

又四边形ABCD是正方形，AC_L8。

于是

.•.AC与所成为角为90。

第三讲直线、平面平行的判定及其性质

基础知识

1、直线与平面平行

（1）定义：如果直线a与平面a无公共点，则直线a与平面a平行，记作a//a。

（2）判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

用符号表示为：aaa,bua旦aIlbna11a.

（3）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行,

用符号表示为：a//a,au⑶an£=/=>a/〃。

2、平面与平面平行的判定与性质

（1）定义：如果平面夕与平面《无公共点，则平面a与平面£平行，记作：a//£。

［注］:两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面〃面n线〃面”。

（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面壬红，则这两个平面平行。

用符号表示为：au/3,buB、aCb=P,alia,b//a=>a//£。

（3）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

用符号表示为：a///3,aC\Y=a,/3C\y=b=>a//bo

［注］:线线平行，面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如a//a,a//£,得不到a//£,同

时，a//a,b//a也得不到a//Z?。

课前热身

1、（教材改编题）如图，正方体极力一44。4中，E为D0的

中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（D）

A、BB}B、GAc、4GD、BD］

2、已知a,〃是两条不重合的直线，a是一个平面，有以下四个命题:

①W/〃,〃ua=>cz//a；②。〃a,Z?ua=>a//Z?；

③alla,blla=allb；@a//b,a//a,b（^a^h//a,其中真命题的个数是（A）

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、若直线。不平行于平面a,则下列结论成立的是（D）

A、。内的所有直线都与直线。异面B、。内不存在与直线。平行的直线

c、a内的直线都与。相交D、直线a与平面a有公共点

4、已知正方体ABCD-A4GA，下列结论中，正确的结论是①②④（只填序号）

①曲//80；②平面的4〃平面③ADJIDQ；④物〃平面BOQ

范例分析

例1如图，矩形ABCD和梯形庞KC有公共边3C,BE//CF,ZBCF=^,

求证：AE7/平面QGF。

证明：过E点作上右，。?7交CF于G,连结QG

又NBb=9(f.♦.四边形BCGE是矩形

又4BCD是矩形，...4^£G

于是四边形4DGE是平行四边形

&AE//DG又AEQ平面ZXF,QGu平面QCF

「.A£//平面QC77

点评：此题是线面平行的判定定理的直接应用，意在让学生熟练线面平行的判定定理。

例2如图所示，正三棱柱4BC—A4G，各棱长均为4EEG,//分别是他AC,aq,44的中

点，求证：平面4及7/平面5cs。

证明：AASC中，AE=EB,AF=FC

:.EFHBC

又EFU平面BCGH,BCu平面BOGH

:.EF〃平面BCGH

又AG=GC[,AF=&,..A.GIJFC

四边形AKCG为平行四边形:AFUGC

又•「AF'Z平面第GCu平面3Q筑

平面HOT又•:AFCEF=F

平面〃平面3Q五/

点评：此题是面面平行的判定定理的直接应用，意在让学生学会证明面面平行，弄清楚要证面面平行,

先证明线面平行。

例3如图，在四面体ABC。中，截面砒才/平行于对棱48和CD,试问截面在什么位置其截面

面积最大？

解：:AB〃平面£?（汨

且平面上RGH「|平面ABC=KG平面EFGHC面ABD=EH

:.AB//FG,AB//EH:.FG//EH

同理可证：EFHGH...截面砒汨是平行四边形

设AB=a,CD=b,ZFGH=a（a即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）

xCGyBG

又设FG=x,GH=y则由平面几何知识得：--厂而

%V1b,、

两式相加得：一+：=1即'=_（［一%）

aba

ee——.b,、.hsina/、

/.5uEFGH=FGGHsincr=x—(a-x)-sin<7=------x-(a-x)

aa

又%>0。一%>0且x+（a-x）=a为定值

aOsina,、absina

.•.当且仅当x=a—x即％=二时，------x(a-x)=--—取最大值。

2a4

即当截面EFGH的顶点£F,G,H分别为棱AD,AC,BC,8D的中点时，截面积最大。

点评：本题是利用线面平行的性质，实现由线面平行到线线平行的转化，旨在培养学生转化能力。

例4如图，。力是异面直线，A、C与反。分别是“。上的两点，直线。//平面二，直线6〃平面

a,ABV\a=M,CD^\a=N,若AM=BM,求证：CN=DN。

证明：连结AD交平面a于七点

:b//a,MEu面ABD,平面ap|面阳P=ME

.'.ME//BD又•.•在AABD中，AM=BM

:.AE=ED,即石为AD的中点

又。〃a,£Nu面ACD,平面an面ACD=RV

.'.EN//AC,又£为4）的中点

，N必是CD的中点:.CN=DN

点评：本题是利用面面平行，来证线线平行，并且添加了适当的线。意在灵活运用性质定理。

达标练习

1、若la,则。与a的关系是（D）

A、相交B、平行c、auaD、alla或aua

2、直线。，〃都平行于平面a,则为〃的位置关系是（D）

A、平行B、相交C、异面D、以上均有可能

3、己知平面a内有无数条直线都与平面，平行，那么（D）

A、B、a与，相交

c、a与力重合D、a〃尸或a与，相交

4、已知加，”为异面直线，相〃平面a,〃〃平面aC\/3=l,则/（B）

A、与周〃都相交B、与初;〃中至少有一条相交

c、与小〃都不相交D、与中一条相交

5、已知all/3,aua,Be/3,则在月内过点8的所有直线中（D）

A、不一定存在与〃平行的直线

B、只有两条与。平行的直线

c、存在无数条与“平行的直线

D、存在唯一一条与。平行的直线

6、已知/是过正方体ABC。一A4GA的顶点的平面做4与下底面ABCD所在平面的交线，下列

结论错误的是（D）

A、44〃/B、即〃平面的4

c、〃/平面A44D、

7、已知直线“人和平面0夕，则在下列命题中：①若。//以a//£,贝Ija〃a；②若a//以c/ua,

则。//小③若alIB，aua,buB，则。〃。；④若。//以R/a,a〃夕，则a//b,其中假命题为工

③④（只填序号）

8、正方体ABCD-A4Gq中，棱长为a，E为A4中点，过E，G，C作一截面，则截面面积为

V5，

一«o

2

9、如图所示，在三棱柱4BC-44G中，。为棱AB的中点，求证：AG〃平面。啰。

证明：连结明，交4c于点E,连结QE,则困与4c互相平分

:.BE=QE,又BD=AD

.•.。足是乂明的中位线，/.46；//£氏

又QEu平面。啰，平面C啰

.'.AQ〃平面CDBJ

10、如图，在正方体ASCD-A4Gq中，。为底面A8CD的中心，P是的中点，设。是。G

上的点，问：当点。在什么位置时，平面4伏2〃平面Q4O?

解：当。为eq的中点时，平面平面Q4。，证明如下:

・•.Q为eg的中点，尸为皿的中点

面必O,B4u面B40..•沙〃面440

•;PQ分别为DD、,DB的中点，：.D、B〃P0

又•「ABcZ平面E40,POu面而0,〃平面440

又•.•ABC?"u平面43

平面平面

DXBQ//PAO

第四讲直线、平面垂直的判定及其性质

基础知识

1、直线与平面垂直

（1）定义：如果直线/与平面a内的每一条直线都垂直，就说直线/与平面a垂直，记作/

［注］:若已知/_La,贝I/垂直于平面a内的所有直线，即''线，面刍义线，线”

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

用符号表示为：lLj,lLb,aua,bua,aC\b=A=>lA.a

（3）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行

用符号表示为：ala,hla^a//h

2、直线与平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐鱼，叫做这条直线和这个平面所成的角。

规定：当直线与平面垂直时，直线和平面所成的角是直角01/

当直线与平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角是0P的角。/

如图，440就是斜线AP与平面a所成的角。/J|0/

（2）线面角。的范围：［N,900］夕------U

3、平面与平面垂直/1

（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，两

个半平面叫做二面角的面。

如图（1），记作：二面角a一/一夕或二面角1一48一,或二面角尸一43一。

（2）二面角的平面角

如图（2）,二面角。一/一，

若有（i）OEI

（ii）OAu«OBu0

（iii）OAU,OBU,则NAOB就叫做二面角二一/一夕的平面角。

［注］:

①二面角的平面角的定义可归纳为：“棱上取点，面内作线，线棱垂直，线线成角”；

②二面角的大小可以用它的平面角来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度;

③平面角是直角的二面角叫直二面角。

（3）平面与平面垂直

①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；

②画法:

记作：aV（3

③面面垂直的判定定理

若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

符号表示

④面面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直

符号表示：cd_£,ain夕=/,auQiJJ=>[_!_£

［注］:两个平面Q夕都垂直于平面八则a与,可能平行也可能相交，若an〃=/,则/_Lr。

课前热身

1、（教材改编题）在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,则下列结论

一定成立的是（c）

A、VALBCB、ABLVCc、VB1ACD、VA1VB

2、（教材改编题）如图，45是口。的直径，Q4垂直于口。所在的平面，C是圆周上不同于AB的

角C-BD-A的余弦值的大小为：（A）

11

A'3B'6

11

c'9D'n

范例分析

例1如图，已知以垂直于矩形板D所在的平面，分别是48,PC的中点，若4YM=45°,

求证：平面PCD。

证明：如图，取ED的中点E,连结AE,NE

.；E,N分别为PD,PC的中点、，：.NE旦二CD

~2

又M为A8的中点.,.AM//-CD,.,.NE//MA

=2=

四边形AA颂为平行四边形，.♦.肠V//AE

又平面MCD404=45°

.•.AfiM)为等腰直角三角形，.•.?!£：，/¥)

...CD_L平面加＞,而AEu面加＞,...CD1_AE

又CDCPD=D-.AE，平面汽力

...MV_L平面PCD

点评：本题直接用线面垂直的判定定理来证明，旨在让学生熟练线面垂直的判定。

例2如图，在矩形中，AB=3\H,BC=3,沿对角线比)把MCD折起，使C移到C',且C

在平面ABD内的射影。恰好落在AB±.

(1)求证：AD1BC；

(2)求证：平面QBC_L平面4DC'

证明：(1)由题意知：COJ■平面AKD

Ou平面ABC'平面ABC'，平面A8Z)

又•.•ADJLAB,平面ABC,n平面ABD=AB

平面期C,.•.M_L8C

（2）•/BC'±CD,BC'1AD,CDC\AD=D

.•.BC_L平面ADC',又BCu面DBC,

平面Q8C'_L平面ADC'

点评：本题是面面垂直的判定与性质定理的综合应用，旨在让学生理解线面垂直与面面垂直的转化。

例3在三棱锥P-A3C中，PC,AC,BC两两垂直，8C=&=1,AC=2,求二面角3—4P—C的

正切值。

解：过C作CH_LAP交AP于点”，连结BH

,/PC,AC,8C两两垂直3C_L平面PAC

于是又CHCBC=C

.•.出_1平面比“，.・.44_1阳

NCHB是二面角3—"一。的平面角

ePCAC2A/5

在3C中，苗二—丁

BC45

在母帖HC中,ianZBHC=--=—

C/i2

故二面角B—AP—C的正切值为g

点评：本题是利用定义来作出二面角的平面角，然后再解直角三角形，皆在让学生熟练求二面角的平

面角的步骤。

例4如图，在长方体ABCO-44GA中，AB=8C=2,A4]=1,求与平面所

成角的正弦值

解：连结4G交片。于点0,连结B0

•.•长方体A8CO——44GA中，A8=BC=2

A4=BC=2,于是四边形A4G2为正方形

4G±BIDI

又_L平面A4GA，ACtu平面A4GA

4G_LBB],又BQn“=4

4G，平面BBQQ

于是8。是BQ在平面BBQQ中的射影

NOBG为BC}与平面所成的角

在RtQ8£0中，BC}=45,CtO=42

/.sin

故BG与平面8片。。所成角的正弦值为半

点评：本题属“简单应用”层次。求直线和平面所成的角关键是找直线与平面所成的角，而找直线和

平面所成的角的关键是找到直线在平面内的射影。

达标练习

1、直线/与平面a内的两条直线都垂直，则直线/与平面。的位置关系是（D）

A、平行B、垂直C、在平面a内D、无法确定

2、过平面外的一条直线且与这个平面垂直的平面有（D）

A、一个B、无数个C、不存在D、一个或无个

3、下列结论：①allb,a工anbla•，②a工a,b工a=a〃b

③。_!_/?=>〃//a④a//a,Q_LZ?=>〃_La,其中正确的结论是（A）

A、①②B、①②③C、②③④D、①②④

4、已知直线。，平面a,根表示直线，夕表示平面，有以下四个结论

①②a/hn,muBna工B③m//anaLm④若，与o相交，则/?必与

a相交，其中正确的结论个数是（C）

A、4B、3C、2D、1/A

5、如图，R/Q48C的斜边BC在平面a内，两直角边AB,AC与平面a所/

成的角分别为30。，45。，则平面ABC与平面a所面的锐二面角的大小为（C）/―7

A、30°B、45°C、60°D、90°//

6、三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC,N8AC=90°,则直线PA与底面ABCiSL________Q./

所成的角为（D）

A、90°B、45°C>30°D、60°

7、已知平面a,£和直线m,给出条件①〃?//a②加_La③加ua④a_L£⑤a//£

(1)当满足条件③⑤时,有机//£

(2)当满足条件②⑤时,有机，夕

8、四面体的所有棱长都相等，顶点到底面的距离为〃，侧面与底面所成的二面角为60。则此四面体

的全面积为36万，体积为二

-----3

9、如图，在三棱锥S—ABC中，底面ABC是边长为缶的正三角形，S4=SC=a,D为AC的中点

(1)求证：ACJ•平面SBD(2)若二面角S—AC—B为直二面角，求三棱锥S—ABC的体积

证明：(1):口ABC为正三角形，D为AC的中点

/.BD1.AC

又在DSAC中，SA=SC,.-.SD1AC

又SDRBD=D,SD,BDu平面SB。

/.AC_L平面ABC

(2)♦.•二面角S—AC-B为直二面角，.•.面S4c_LtMA6C

又SD1AC,:.SD14画钻。

在SA=SC=a,AC=6a

SD=a

2

23

匕-ABC=1SMBC.SO=；x曰x(y[2d)义今a=^a

10、(2009年湖南水平考试题改编)

如图所示，已知平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点，BC1CD

⑴求证：MNJ_平面ABC

(2)若AB=T,BC=^,求直线AC与平面BCD所成的角

解(1);M、N分别是AC、AD的中点，.•.A/M/CD

又AB_L平面BCD,.\AB1CD,又BC，C£>AB[\BC=B

.•.CD_L平面ABC于是用呼上面人台。

(2).•.钻_1面区》,8C是AC在平面8c的射影

ZACB为直线AC与平面BCD所成的角

在R/OABB，AB=1,BC=6,tanZACB=—■=—

BC3

.-.ZACB=3O°

故直线AC与平面BCD所成的角为30°

第三章直线与方程

学习目标