山西省高考数学(理科)模拟考试卷(附答案解析)

第第页山西省高考数学(理科)模拟考试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合与，则（

）A． B．C．AB D．BA2．若复数满足，则下列说法正确的是（

）A．的虚部为 B．的共轭复数为C．在复平面内对应的点在第三象限 D．3．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．120种 B．240种 C．420种 D．720种6．设双曲线C：的左､右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C． D．7．若a，b，c，d成等比数列，那么a+b，b+c，c+d是（

）A．等差数列 B．等比数列C．既是等差又是等比数列 D．不一定8．正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（

）A． B． C． D．9．在中，角的对边分别为，已知，点为边上一点，且，则的值为（

）A．5 B．1 C．1或5 D．410．已知数列满足，则（

）A．1024 B．1023 C．2048 D．2047A． B． C． D．A． B． C． D．二、填空题13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为____.781665140802631407024369972801983204923449358200362348696938748114．已知正实数m，n满足，则的最小值是________.15．向量是单位向量，则___________.16．已知是定义在上的奇函数，若，且时,恒成立，则不等式的解集是______．三、解答题17．如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点，当时，以x轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：．（附：平面上任意两点，间的距离公式18．高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（小时/周）0人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．19．如图，等腰梯形中，AB//CD，AD=AB=BC=1，CD=2，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.(1)证明：；(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.20．已知点在椭圆上，直线交椭圆于，两点，直线､的斜率之和为0.(1)求直线的斜率；(2)求面积的最大值.21．已知函数f(x)＝cos2x－2sin2(＋x)＋1，x∈R.（1）求函数f(x)的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，且满足a＝2bsinA，B∈(0，)，若关于A的方程f(A)＋m＝1恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的参数方程为(t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值.23．已知函数.（1）若，证明：.（2）若关于x的不等式的解集为，求a，b的一组值，并说明你的理由.参考答案与解析1．D【分析】真子集的概念即可.【详解】由真子集的概念，知BA．故选：D2．D【分析】根据复数的虚部概念和几何意义可判断A,C，根据共轭复数的概率和模长可判断B,D.【详解】因为则，故D对，B错，的虚部是1，对应的点为，在第二象限，故A,C错误.故选：D3．C【分析】重心为三角形三条中线的交点，利用重心分线段为2：1的性质结合三点共线得到，最后利用基本不等式中“1”的妙用代入解题即可.【详解】因为G为重心，所以，所以有，因为三点共线，所以，即，即所以，当且仅当，即时取得等号，所以最小值为4.故选：C4．B【分析】首先利用诱导公式化简，再利用，将要求式除以然后分子分母同时除以即可求解.【详解】由题意，则．故选B．【点睛】本题考查诱导公式和同角关系式，属于基础题.5．C【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择不同的布置方案有种；故选：C.6．A【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切则圆的半径等于圆心到切线的距离，即又该圆过线段的中点，故所以离心率为.故答案为.7．D【分析】对数列a，b，c，d的公比进行分类讨论，即可根据等差等比的定义进行判断.故选：D8．C【分析】设正四面体的棱长为2a，由正四面体几何性质得出a与外接球半径R的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a，正四面体的外接球心为O，的内心为M，则平面ABC，由平面ABC，则由，则.故选：C9．A【分析】首先利用三角恒等变形得，并结合余弦定理求，最后在中，利用余弦定理求的值.因为，所以是等边三角形所以,得，又设，中，利用余弦定理解得：或（舍）所以.故选：A10．B【分析】由递推关系，利用累加法求．【详解】因为，即所以．故选：B．【点睛】本题考查由递推关系求数列的项，解题方法是累加法．当递推式是数列前后的差时，可用累加法求通项，若已知的是前后项的商，则可用连乘法求通项．11．A12．C故选：C13．43.【解析】从随机数表的第行第、列开始，依次向右读取为，其中符合条件，故可得结论.【详解】从随机数表的第行第、列开始，依次向右选取两个数字选取编号在到之间，并且去掉重复的数字符合条件的为.故答案为：43.【点睛】本题考查了随机数表的读法，注意在读取符合编号中的数据的同时重复数据只取一次，属于基础题.14．【分析】利用已知条件配凑出，展开后可用基本不等式求得最小值．【详解】∵正实数m，n满足∴，当且仅当，即时等号成立∴的最小值是．故答案为．【点睛】本题考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．其中定值常常需要我们配凑出，而“1”的代换是常用的配凑法．15．【分析】由题意可得，进行向量的模的运算代入求值即可得答案．【详解】由题意，向量是单位向量，可得；所以.故答案为．16．【详解】由题设可知函数是偶函数且在区间内的单调递减函数；所以原不等式可化为，即或，即则或，应填答案．点睛：解答本题的关键是借助题设中的函数的奇偶性与单调性，进而运用分类整合思想，数形结合从而将问题进行等价转化从而使得问题获解．17．（1）两角差的余弦公式为，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先构造向量，再利用数量积代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：.证明：依题意则故由得即当时，容易证明上式仍然成立．故成立；（2）证明：由诱导公式可知，.而故.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.18．(1)(2)4【分析】(1)根据表中数据，即可知10人有4人阅读时间大于0.5，由组合即可求解概率，(2)将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值．（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为（2）周阅读时间在小时的频率为，故概率为则，所以由得：，化简得解得，又，故19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，证明平面即可；（2）结合直线与平面所成的角，先证明平面，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求平面所成的角【详解】（1）连接，设的中点为，由//，故四边形为平行四边形，∴，故，为等边三角形，故，折叠后又，且平面，故平面，又平面，故（2）由（1）已证得平面，故在平面内可作平面，垂足为，则在直线上，直线与平面夹角为，又，故，∴两点重合，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则与与与与.设平面的一个法向量为，则，即，令得又平面，显然为平面的一个法向量设平面与平面夹角的大小为，则所以.20．(1)(2)【分析】（1）首先根据题意得到椭圆的方程为，设直线的方程为，再根据求解即可.（2）根据题意得到点到直线的距离，再根据，结合基本不等式求解即可.（2）由（1）知，直线的方程为，所以点到直线的距离所以当且仅当，即时等号成立.经验证，此时满足直线与椭圆相交，故的面积最大为.21．（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式降幂，再由两角和的余弦公式化简，然后由余弦定理的单调性得结论；（2）由正弦定理变形后求和，从而有，利用（1）的结论得在上的单调性，结合余弦函数性质可得有两个根时参数的范围．22．（1）（2）1．【分析】（1）由参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，结合同角三角函数的平方关系，可得所求；（2）求得，运用辅助角公式，结合正弦函数的