华师大版九年级数学知识点

ac华师大版年级数学知点ac第22章

二次根式．次根式a

表示非负数a的算术平方根，也就是说，

a

是一个非负数，它的平方等于a，即有：（1）0(

（2

a形(0)

的子做次式二次根式的性质：

a(0)(0)．次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。ab．的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积（主要用于二次式的化简）b(b0)．次根式的除法：两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。ab

ab

(b0)．商算术平方根商算术平方根，等于各因式算术平方根的主用于分母有理化是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母）ab

ab

(0,b．最二次根式：开方数中不含分母或分母中不含二次根式且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2．次根式化简主要包括两方面（1）如果被开方数中含有分母，通常利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来（2）如果被开方数中含有完全平方的式（或因数用积的算术平方根的性质，将它“开方”出．类二次根式：像3与3，、与4这的几个二次根式，称为同类二次根式。二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。第23章．元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

一元二次程，样的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：a,bc

是已知数，

a

。其中

a,

分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。．元二次方程的解法）直接开平方法（）因式分解法（）配方法（4）公式法

b2

ac

1

1212．的判别式，

ac当

时方程有两个不相等的实根

时方程有两个相等的实根当

时方程没有实数根。韦达定理：

1

,x列一元二次方程解应用题时，要注意对数量关系的抽象和分析，得到方程的解之后，必检验是否符合题意。第24．似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。

图形的相．比例线段：对于四条线段

,b,d

如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如

a(a::)bd

，那么这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段）也称这四条线段成比例。．例的基本性质（1）如果

ab

，那么ad=bc

（）如果ad=bc,（都等于零么

abd）果

aaac，那么（2）如果，那么bddbda．似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等是判断两个多边形相似的方）．似三角形（）相似用“∽”来表示（）∽eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)＇B＇C应点要写在对应位置上。（3）如果记

ABk'B''A'C

，那么这个比值k就这两个相似三角形的相似比。（4）全等三角形是相似三角形的特例比

）．似三角形的判定（如果一个三角形的两角分与另一个三角形个对相那么这两个三角形相似。（如果一个三角形的两边与一个三角形的两条对成例并相应夹相那这两个三角形相似。（如果一个三角形的三边与一个三角形的三条对成例那这两个三角形相似。．相似三角形的性质（相似三角形的对应高的比等于相似比。（相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于相似比。（3）相似三角形周长的比等于相似比（相似三角形面积的比等于相似比的平。．中位线（1）三角形的中位线：连结三角形两中点的线段三角的中线行第边且于三的半（2）三角形三条边上的中线交于一点这个点就是三角形心重心与一边中点的线段的长是对应中线长的

13

。（3）梯形的中位线平行于两底边，并等于两底边和的一半。．相似图形位似：两个相似的多边形，它们对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似。这一点做位似中心。位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比。第5章

解直角三形．角三角函数（）在eq\o\ac(△,Rt)中2

∠A的弦：∠A的切：

sintan

A的对边斜边的对边的邻边

∠A的弦：∠A的切：

coscotA

的边斜边的邻边的对边（2）0<sinA<10<cosA<1

sinAcosAA

（3）结论：1在直角三角形中，如果一个锐角等于

3

o

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。）在直角三角形中，两个锐角互余。（4）特殊角的函数值

os

tan

cot30

o

12

32

33

45

o

2

2

2

260

o

32

12

33．直角三角形，只有两种情况（1）已知两条边（2已知一条边和一个锐角第26

随机事件概率．率：示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。所注的事件=

所关注的结果所有等可能的结果．率的预测（）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果）要清楚所有机会的结果（1两个结个数之比就是关注的结果发生的概率。方法：画树状图列法九年级下第章

二次函数．次函数形如

y2bx

(a,b,c常数，≠0)函数，叫做x二次函数。它的图像是一条抛物线。．

yax

2

(a0)

的图像与性质（1）对称轴是y轴顶点坐标是（（2）当时图像开口向上，函数有最小值。当时y随x的增大而减小，当x>0时y随x的增大而增大。3

22当时图像开口向下，数有最大值。22当时y随x的增大而增大，当x>0时y随x的增大而减小。．

y2(0)

的图像与性质（1）

yax

2(a0)由ax2

(a0)

向上（或向下）平移k个位得到的。（2）对称轴是y轴顶点坐标是（（3）当时图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时y=k当时y随x的增大而减小，当x>0时y随x的增大而增大。当时图像开口向下，函数有最大值，即当x=0时，。当时y随x的增大而增大，当x>0时y随x的增大而减小。．

y()

2

(a0)

的图像与性质

y(x)

2(a0)由y2

(a0)

向左（或向右）平移h个位得到的。（2）对称轴是，点坐标是h（3）当时图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时。当时y随x的增大而减小，当x>h时y随x的增大而增大。当时图像开口向下，函数有最大值即x=h时。当时y随x的增大而增大，当x>h时y随x的增大而减小。．

y(xh

2

+k（

）的图像与性质（1）

ya()（）y

（

）向右（或向左）平移个位，再向上（或向下）平移k个位得到的。（2）对称轴是，点坐标是hk（3）当a>0时图像开向上，函数有最小值，即当=h时y=k。当时y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的大而增大。当时图像开口向下，函数有最大即x=h时。当时y随x的大而增大，当时，y随x的大而减小。(4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数

y(xh

2

（a）中的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。．通配方把二次函数2b4ac(x)224a

y2bx(化成a(x

+k（

）的形式，（1）对称轴

x

a

ac，顶点坐标（）4a（2）当a>0时图像开口向上，函数有最小值，即当x=

bacb时y=。当x<2a4a2a

时y随x的增4

大而减小，当x>

b2a

时，y随x的大而增大。当时图像开口向下，函数有最大即

b4acb时，y=。x<2a4a

时，y随x的大而增大，当x>

b2a

时，y随x的大而减小。．大值或最小值的求法，第一步确定a的号＞0有小值，＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结。．根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。（1）一般式：

yax

2

(a0)

，给出三点坐标可利用此式来求。（2）顶点式：

x)

2

0)

，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。（3）交点式：

y)()(

，给出三点，其中两点为与轴的两交点

(、(2

时可利用此式来求。．物线与直线的交点一次函数

y(a0)

与二次函数

yax

2

(a

交点的个数由方程组

ax

的解得个数决定。当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。当方程组无解时，两函数图像没有交点。．次函数与一元二次方程的关系（1函

yax

2

(a

y=0时函数就转化为一元二次方程

a

2

a

。（2）抛物线与x轴交点的数就由一元二次方程

a2a

中的

2ac

决定。若抛线x轴两个交点方程

ax

2

a

有两个不等的实根这个与x轴点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若

抛线与x轴一个交点方

ax

2

a

有两个相等的实根此一元二方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若

0

线与x轴有交点

ax

2

a

无实根

抛物线在x轴方，抛物线在x下方。．次函数

yax

2

(a

与一元二次不等式之间的关系若

，

yax2bx0

的解集为

xx,x(x)2

；yax

2

bx0的集为xxx(xx)1

。5

若

，

yax2bx0的集为x

；yax2bx0

无解。若，yax

2

bx0

的解集为x可任意实数。yax

2

bx0

无解。第章

圆．的认识（1）当一条线段OA绕着它的一端点O在面内旋转一周时，它的另一个端点A的迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O圆心的圆叫作“圆O为“⊙（）段OA、、都是圆的径，线段AC为直径。（）结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、都是O中的。︵

︵

︵（）上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BBAC都是圆中的弧，分别记BC、，中B这样︵小于半圆周的圆叫做劣弧。像BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。（）心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOB、AOC∠BOC是圆心角。．的对称性（1）在同一个圆中，相等的圆心角所的弧相等、所对的弦相等。（）同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。（）同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（）是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。3．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对弦。4．圆周角（1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆交的角叫做圆周角。（2）半圆或直径所对的圆周角都相等都等于90（直角°的圆周角所对的弦是圆的直径。（3）同圆或等圆中，一条弧所对的任一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。（4）同弧（或等弧）所对的圆周角相；相等的圆周角所对的弧相等。．与圆的位置关系设⊙O半径为r点圆心O的离为，则（1）点在圆外

d

（）在圆上

d

（）在圆内

d6）一点可以画无数个圆过两点可以画无数个圆心在点连线的垂直平分线上在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。（）角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分的交点。（）个三角形的外接圆是唯一的。．线与圆的位置关系6

（1）如果一条直线与一个圆没有公共，那么就说这条直线与这个圆相离。（2果条直线与一个圆只有一个共点么就说这条直线与这个圆相切时条直线叫做圆的线，这个公共点叫做切点．（3）如果一条直线与一个圆有两个公点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆割线．如上图，设的径为，圆心到线l的离为，从图中可以看出：若

d

直线与O离；若

d

直线l与⊙切；若

d

直线与O相交8．切线（1）判定定理：经过半径外端且垂直这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理：圆的切线垂直于经过点的半径。推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（3）切线长：把切线上某一点与切点间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。）个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中1又叫做外离叫做内含）中圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。）果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如（4所示．中（4）又叫做外切）又叫做内切。）果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，