高中数学2-⒊学案：第二章 概率 章末复习课 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性。2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用。3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．1．事件概率的求法(1）条件概率的求法①利用定义分别求出P(B）和P(AB)，解得P（A｜B）＝eq\f(PAB,PB）.②借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m,得P（A|B）＝eq\f(m，n）。(2）相互独立事件的概率若事件A,B相互独立，则P（AB)＝P（A）P(B）．(3)n次独立重复试验在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Pn(k）＝Ceq\o\al(k,n）pkqn－k，k＝0,1，2，…，n,q＝1－p。2．随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率;③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．(2）两种常见的分布列①超几何分布若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝eq\f（C\o\al(r,M）C\o\al(n－r,N－M)，C\o\al(n，N）),其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min（n，M)，则称X服从超几何分布．②二项分布若随机变量X的分布列为P（X＝k)＝Ceq\o\al（k，n）pkqn－k，其中0＜p＜1,p＋q＝1,k＝0，1，2,…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B（n，p)．3．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的概率分布如下表:Xx1x2…xnPp1p2…pn则E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，令μ＝E(X），则V(X）＝(x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(2）当X～H(n,M，N）时，E（X)＝eq\f(nM，N)，V(X）＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)。(3)当X～B（n，p）时，E（X）＝np，V(X）＝np（1－p)．类型一条件概率的求法例1口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次,每次抽取1个，则：(1）第一次取出的是红球的概率是多少？（2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？（3)在第一次取出红球的条件下,第二次取出的是红球的概率是多少？反思与感悟条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法（1)P（B｜A)＝eq\f（PAB,PA）。（2)P（B｜A）＝eq\f(nAB，nA）。在古典概型下，n（AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n（A）是指事件A发生的基本事件个数．跟踪训练1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．类型二互斥、对立、独立事件的概率例2某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为eq\f（2,3)和eq\f（3,5)。现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B。设甲、乙两组的研发相互独立．（1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和均值．反思与感悟在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式(1)P(A)＝1－P（eq\x\to（A）)．（2）若事件A，B相互独立,则P（AB）＝P(A）P（B）．(3）若事件A,B是互斥事件，则P（A＋B）＝P(A）＋P(B）．跟踪训练2红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0。5.假设各盘比赛结果相互独立．(1）求红队至少两名队员获胜的概率；（2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求P（ξ≤1）．类型三离散型随机变量的概率分布、均值和方差例3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2，2,3,3,3六个数字)，(1）设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的概率分布；（2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E（ξ），V(ξ)．反思与感悟求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是eq\f(2，3），假设各局比赛结果相互独立．（1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；（2）若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的概率分布及均值．类型四概率的实际应用例4某电视台“挑战主持人"节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0。8,回答第三个问题正确的概率为0。6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．反思与感悟解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题,这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．跟踪训练4某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区,B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1，2）。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f（1,3）。在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的概率分布．1．抛掷一枚骰子,观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为________．2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”,则P(B|A)＝________.3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k）＝Ceq\o\al(k，n）（eq\f（2，3）)k(eq\f(1,3))n－k，k＝0,1,2，…,n，且E（ξ)＝24，则V(ξ)的值为________．4．设X为随机变量，X～B（n,eq\f(1,3)）,若X的方差为V（X）＝eq\f（4，3），则P(X＝2）＝________.5．盒子中有5个球，其中3个白球,2个黑球，从中任取两个球,求取出白球的均值和方差．1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A）,P（B），P（AB)，利用P(A｜B)＝eq\f（PAB,PB)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(或PB|A＝\f（PAB，PA)））求解．(2）缩小样本空间法：利用P(B|A)＝eq\f（nAB,nA)求解．其中(2）常用于古典概型的概率计算问题．2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题（1）“P(AB）＝P(A）P(B)"是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系．(3）公式“P(A∪B)＝1－P(eq\x\to（A）eq\x\to(B））”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布,同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．

答案精析题型探究例1解记事件A：第一次取出的球是红球;事件B：第二次取出的球是红球．（1）从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个,所以P（A)＝eq\f（4×5，6×5)＝eq\f（2,3）.(2）从口袋中随机不放回地连续抽取两次,每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球,都是红球,符合条件的事件有4×3个，所以P（AB）＝eq\f(4×3,6×5）＝eq\f（2，5）。(3)利用条件概率的计算公式，可得P（B|A)＝eq\f(PAB,PA）＝eq\f（\f（2，5）,\f（2，3）)＝eq\f(3,5)。跟踪训练1解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A,“第一颗骰子掷出6点”为事件B。方法一P（A|B）＝eq\f(PAB,PB）＝eq\f(\f(3，36),\f(6，36））＝eq\f（1，2）.方法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有（6,1）,(6，2），（6，3），(6,4），（6,5)，(6，6）,共6种，∴n(B）＝6。“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点"的情况有（6，4），（6，5），（6，6），共3种,即n（AB）＝3.∴P（A|B）＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f（3,6)＝eq\f(1,2).例2解记E＝{甲组研发新产品成功},F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）＝eq\f（2，3），P(eq\x\to(E））＝eq\f（1,3),P(F）＝eq\f（3，5)，P(eq\x\to(F））＝eq\f（2,5），且事件E与F,E与eq\x\to(F），eq\x\to（E）与F，eq\x\to(E）与eq\x\to（F)都相互独立．（1)记H＝{至少有一种新产品研发成功｝，则eq\x\to(H）＝eq\x\to（E）eq\x\to(F），于是P（eq\x\to(H)）＝P（eq\x\to（E))P（eq\x\to（F)）＝eq\f(1,3)×eq\f(2，5)＝eq\f(2,15）,故所求的概率为P(H）＝1－P（eq\x\to（H)）＝1－eq\f（2，15)＝eq\f（13，15）。(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100,120，220.因为P（X＝0)＝P（eq\x\to(E)eq\x\to（F））＝eq\f(1,3）×eq\f（2,5）＝eq\f（2，15），P(X＝100）＝P（eq\x\to(E)F)＝eq\f（1,3）×eq\f（3，5）＝eq\f（3，15）＝eq\f(1,5)，P（X＝120）＝P（Eeq\x\to(F))＝eq\f(2，3）×eq\f（2,5)＝eq\f（4，15）,P（X＝220)＝P(EF)＝eq\f（2,3）×eq\f（3，5)＝eq\f(6，15）＝eq\f(2,5）,故所求的概率分布如下表：X0100120220Peq\f（2,15）eq\f(1,5)eq\f（4,15)eq\f（2，5)E（X)＝0×eq\f（2,15)＋100×eq\f（1，5）＋120×eq\f(4，15）＋220×eq\f（2，5)＝140.跟踪训练2解(1)设“甲胜A"为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C"为事件F,则eq\x\to（D)，eq\x\to(E)，eq\x\to（F）分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0。6，P(E）＝0.5，P(F）＝0.5.由对立事件的概率公式知，P(eq\x\to（D))＝0.4,P(eq\x\to(E））＝0。5，P（eq\x\to(F))＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DEeq\x\to(F）,Deq\x\to(E）F,eq\x\to（D）EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to（E）F）＋P(eq\x\to（D)EF）＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0。6×0。5×0。5＋0。4×0.5×0.5＋0.6×0。5×0.5＝0.55.（2）由题意知，ξ的可能取值为0，1,2,3.P（ξ＝0）＝P（eq\x\to（D)eq\x\to（E）eq\x\to（F））＝0.4×0.5×0。5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(eq\x\to(D)eq\x\to（E）F）＋P（eq\x\to(D）Eeq\x\to(F)）＋P（Deq\x\to(E)eq\x\to（F)）＝0。4×0.5×0.5＋0。4×0。5×0。5＋0。6×0。5×0。5＝0.35，所以P（ξ≤1)＝P（ξ＝0)＋P（ξ＝1)＝0.45.例3解(1）由已知，随机变量η的取值为2，3，4，5，6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0,P（η0＝1）＝eq\f（1,6）,P(η0＝2）＝eq\f(1,3)，P（η0＝3)＝eq\f(1,2)，所以P(η＝2)＝eq\f（1,6）×eq\f（1，6)＝eq\f（1，36）,P（η＝3）＝2×eq\f（1，6）×eq\f（1,3）＝eq\f(1,9），P（η＝4）＝2×eq\f（1,6）×eq\f(1，2)＋eq\f（1,3）×eq\f（1，3)＝eq\f(5，18），P（η＝5）＝2×eq\f(1，3)×eq\f(1，2)＝eq\f(1,3），P(η＝6）＝eq\f（1,2)×eq\f（1,2）＝eq\f（1,4)。故η的概率分布为η23456Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f（5，18）eq\f(1,3）eq\f（1,4）（2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p,由(1）知，p＝eq\f（1，4)。因为随机变量ξ～Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（10，\f(1，4）)），所以E（ξ)＝np＝10×eq\f（1，4）＝eq\f(5,2），V(ξ)＝np（1－p)＝10×eq\f（1,4）×eq\f(3,4）＝eq\f(15,8）。跟踪训练3解（1）记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利"为事件A3,由题意知各局比赛结果相互独立，故P（A1)＝（eq\f（2,3）)3＝eq\f（8，27）,P（A2）＝Ceq\o\al（2，3)(eq\f（2,3））2（1－eq\f（2,3）)×eq\f(2，3)＝eq\f(8，27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4）(eq\f（2,3））2(1－eq\f（2，3））2×eq\f(1,2）＝eq\f（4，27）.所以，甲队以3∶0,3∶1，3∶2胜利的概率分别是eq\f(8,27）,eq\f(8，27)，eq\f（4,27).(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意知各局比赛结果相互独立，所以P（A4）＝Ceq\o\al（2,4）（1－eq\f（2,3)）2(eq\f（2，3)）2×(1－eq\f（1，2））＝eq\f(4,27).由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1，2，3，根据事件的互斥性，得P（X＝0）＝P(A1∪A2)＝P（A1）＋P(A2）＝eq\f（16，27），P（X＝1)＝P（A3）＝eq\f（4，27），P(X＝2）＝P（A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3）＝1－P(X＝0）－P（X＝1）－P（X＝2）＝eq\f（1，9）.故X的概率分布为X0123Peq\f（16，27）eq\f(4,27）eq\f(4,27）eq\f(1,9）所以E(X)＝0×eq\f（16,27）＋1×eq\f(4，27)＋2×eq\f（4，27）＋3×eq\f(1,9）＝eq\f（7，9)。例4解（1）三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分）．三个问题均答对,得10＋10＋20＝40（分）．三个问题一对两错,包括两种情况：①前两个问题一对一错，第三个问题错，得10＋0＋(－10）＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20（分)．三个问题两对一错，也包括两种情况：①前两个问题对,第三个问题错，得10＋10＋（－10)＝10(分);②第三个问题对，前两个问题一对一错,得20＋10＋0＝30（分)．故ξ的可能取值为－10,0,10,20，30，40。P（ξ＝－10)＝0。2×0。2×0.4＝0.016，P（ξ＝0）＝Ceq\o\al（1,2)×0.2×0.8×0。4＝0。128，P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0。4＝0。256，P（ξ＝20）＝0。2×0.2×0.6＝0。024，P(ξ＝30）＝Ceq\o\al(1,2）×0.8×0。2×0。6＝0。192,P（ξ＝40）＝0.8×0。8×0。6＝0。384.所以ξ的概率分布为ξ－10010203040P0。0160.1280。2560.0240。1920.384所以E（ξ）＝－10×0。016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0。024＋30×0。192＋40×0。384＝24.(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P(ξ≥0）＝1－P（ξ<0)＝1－0。016＝0.984。跟踪训练4解（1）A直接感染一个人有2种情况:分别是A－B－C－D和A－B－eq\b\lc\［\rc\(\a\vs4\al\co1(C，D)），概率是eq\f(1,2)×eq\f（1,3)＋eq\f（1，2