圆内接四边形

新知导入

情境引入

怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？

合作学习

1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？

不在同一条直线上的三点确定一个圆．想一想2.什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.OCABDOCABDOCABD如图：3．（1）任意三角形都有外接圆吗？（2）过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？（1）一定（2）不一定

一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．定义1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？∠A+∠C=180°∠ABC+∠ADC=180°四边形的内角和等于360°问题探究2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？你发现了什么？再探究关系成立发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°BAD+BCD=360°

证明猜想提炼概念

几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O

∴

∠A+∠C=180°∠B+∠D=180°圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。想一想：

∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE与∠A相等吗？为什么？新的发现：圆内接四边形的外角等于它的内对角。

AEBCDO视角新现∠DCE=∠A圆内接四边形的外角等于它的内对角。

典例精讲

新知讲解

例1如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补).∵∠BAD＋∠DAE＝180°

∴∠DCB＝∠DAE而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC.如图，AD为△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，F为BC上的点．(1)求证：BD＝DC；(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．解：(2)若F为BC中点，则DF经过圆心．∵△DBC是等腰三角形，∴DF是底边中线．∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，∴DF必过圆心．例2如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：AODCB∵AC，BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）目标检测1．在圆内接四边形ABCD中，ADC与ABC的比为3︰2．则∠B

=

°．2．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，则∠D=

°．

第2题第3题第4题3．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，且∠C

=2∠A．则BD=

．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形．则∠ADC=

°．5．已知：如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交两腰AB，AC于点D，E，连结DE．求证：DE∥BC．

6．如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分∠CEG．（1）求证：AB⊥CD．（2）若AC=CE，AB=9，BF=1，求△ACE的面积．第6题课堂小结1．圆内接四边形的概念圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在_____________上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形；四边形的外接圆：这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的___________．拓展：圆内接四边形的一个外角________和它不相邻的一个内角．同一个圆对角互补等于作业布置教材课后作业题第1-6题。2.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是()A．115°B．105°C．100°D．95°B3．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC交于点D，E.则下列判断：①BD＝CD；②BD＝DE；③AE＝DE；④△ABC为锐角三角形．其中正确的有

(

)CA．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】连结AD，则∠ADB＝90°.△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.∴BD＝CD，故①正确．∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠CED＝∠B；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C；∴∠DEC＝∠C，即DE＝CD＝BD.故②正确．根据线段AC与圆的位置关系，从点E的位置情况可分别讨论，得到∠A一定是锐角．由∠A是锐角，∠B＝∠C，则△ABC一定是锐角三角形，因此④正确；课堂练习1