圆锥曲线【全国一等奖】

第九章平面解析几何§9.1直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴

时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是

.向上方向平行或重合[0，π)复习引入12.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝

.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝

.tanα3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式

不含直线x＝x0斜截式

不含垂直于x轴的直线两点式

不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b(A2＋B2≠0)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(

)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(

)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(

)(4)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(

)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(

)(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(

)√×××××2预习检查(7)不经过原点的直线都可以用

表示.(

)(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)√×直线的倾斜角与斜率解析答案复习引入3课堂讲授设直线的倾斜角为θ，答案B解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，

解析答案ABP1.若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.引申探究解析答案PyxABo2.将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，求直线l倾斜角的范围.解如图：直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).解析答案思维升华PxyABo本题小结跟踪训练1例2

根据所给条件求直线的方程：解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.解析答案本题小结(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.警示(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；又直线过点(－3,4)，故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.解析答案本题小结警示(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.解析答案思维升华本题小结警示在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.本题小结跟踪训练2本课小结警示

B解析答案当堂训练4警示

2解析答案例2警示2.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；解设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，∵l过点(4,1)，解析答案∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.警示(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍.解由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，又直线经过点A(－1，－3)，即3x＋4y＋15＝0.解析答案小结警示第二课时命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.直线方程的综合应用解析答案从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，解析答案即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.命题点2由直线方程解决参数问题例4

已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，解析答案思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.本题小结(3)(2014·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.解析答案解析∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0,0)，B(1,3).当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，解析答案∴△APB为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立.答案5(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.解析∵|x－a|≥0恒成立，∴要使y＝2a与y＝|x－a|－1只有一个交点，必有2a＝－1，解析答案返回典例设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.易错分析本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.易错警示系列13.求直线方程忽视零截距致误规范解答温馨提醒返回易错分析小结解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0. [2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. [6分]返回温馨提醒规范解答(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴a≤－1. [10分]综上可知a的取值范围是a≤－1. [12分]温馨提醒小结(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.温馨提醒返回一、直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<05本节小结二、与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.返回备用练习1234567891011121314151.若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(

)故m≠1时方程表示一条直线.D解析答案

123456789101112131415B解析答案3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(

)A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.D123456789101112131415解析答案4.设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足(

)A.a＋b＝1 B.a－b＝1C.a＋b＝0 D.a－b＝0即a＝b，故应选D.D123456789101112131415解析答案

A123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案7.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________.123456789101112131415解析答案∵A(－2,2)在此直线上，又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，123456789101112131415解析答案即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程.答案

x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝01234567891011121314158.若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为______.所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.123456789101112131415解析答案即ab的最小值为16.169.设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l在x轴上的截距为－3；解∵l在x轴上的截距为－3，∴－2m＋6≠0，即m≠3，又m≠－1，∴m2－2m－3≠0.123456789101112131415解析答案(2)直线l的斜率为1.解由题意知2m2＋m－1≠0，123456789101112131415解析答案10.已知点P(2，－1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；解过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.123456789101112131415此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.解析答案(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示.由l⊥OP，得klkOP＝－1，由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.123456789101112131415解析答案

123456789101112131415解析答案11.若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(

)A.1 B.2 C.4 D.8解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.C123456789101112131415解析答案12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____.3123456789101112131415解析答案13.设点A(－1,0)