数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第72课独立事件及随机变量的概率分布

第72课大事及随机变量的概率分布【自主学习】第72课大事及随机变量的概率分布(本课时对应同学用书第184~186页)自主学习回归教材1.(选修23P45例1改编)投掷两枚骰子，所得点数之和记为x，那么x=4表示的随机试验结果是.【答案】一枚是3点一枚是1点或两枚都是2点2.(选修23P45学问改编)一袋中装有5只完全相同的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数的可能取值为.【答案】3，4，53.(选修23P47例2改编)以下选项中能成为随机变量X的概率分布的是.(填序号)①；②；③；④P(X=k)=，k=1，2，3，…，n；⑤P(X=k)=，k=2，3，4，5，….【答案】③④4.(选修23P48练习3改编)设随机变量X的概率分布如下，那么p=.X1234Pp【答案】【解析】由+++p=1，得p=.1.大事的相互性(1)定义：设A，B为两个大事，假如P(AB)=P(A)P(B)，那么称大事A与大事B相互.(2)性质：①假设大事A与B相互，那么P(AB)=P(A)P(B).②假如大事A与B相互，那么A与与B，与也相互.(3)重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次重复试验，在n次重复试验中，大事A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1p)nk(k=0，1，2，…，n).2.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.3.离散型随机变量的概率分布及其性质(1)一般地，假设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，那么表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的概率分布，有时为了表达简洁，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的概率分布.(2)离散型随机变量概率分布的性质①pi≥0(i=1，2，…，n)；②p1+p2+…+pn=1.4.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布：假设随机变量X听从两点分布，即其概率分布为X01P1pp

其中p=P(X=1)称为胜利概率.(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么大事“X=r〞发生的概率为P(X=r)=，r=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布.X01…mP…(3)二项分布X~B(n，p)，并记为pkqnk=B(k；n，p)X01…k…nPp0qnp1qn1…pkqnk…pnq05.求概率分布的步骤(1)明确随机变量X取哪些值；(2)求X取每一个值的概率；(3)列成表格.【要点导学】要点导学各个击破相互大事与重复试验及其概率的计算例1如图，一圆形靶分成A，B，C三局部，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚.假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的.(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；(2)求该同学在3次投掷中恰有2次投中A区域的概率；(3)假设该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分、2分、1分，求他投掷3次恰好得4分的概率.(例1)【解答】(1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意得P(A)=.(2)依题意知，X~B，那么P(X=2)=·=.(3)设Bi表示大事“第i次投中目标时，投中B区域〞，Ci表示大事“第i次投中目标时，投中C区域〞，i=1，2，3.依题意知P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3×××=.【精要点评】重复试验模型的特征要理解并熟记，在实际应用中应恰当转化化归.变式甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人竞赛，另一人当裁判，每局竞赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局竞赛的结果相互，第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布.【解答】(1)记A1表示大事“第2局结果为甲胜〞，A2表示大事“第3局甲参与竞赛时，结果为甲负〞，A表示大事“第4局甲当裁判〞，那么A=A1·A2，P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.(2)X的可能取值为0，1，2.设A3表示大事“第3局乙和丙竞赛时，结果为乙胜丙〞，B1表示大事“第1局结果为乙胜丙〞，B2表示大事“第2局乙和甲竞赛时，结果为乙胜甲〞，B3表示大事“第3局乙参与竞赛时，结果为乙负〞.那么P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=，P(X=2)=P(·B3)=P()P(B3)=，P(X=1)=1P(X=0)P(X=2)=1=，所以X的概率分布为X012P离散型随机变量的概率分布例2(1)设X是一个离散型随机变量，其概率分布为X101P12qq2求实数q的值.(2)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开头营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，假设发觉存量少于2件，那么当天进货补充至3件，否那么不进货，将频率视为概率.①求当天商店不进货的概率；②记X为其次天开头营业时该商品的件数，求X的概率分布.【思维引导】(1)利用概率分布的两共性质求解；(2)正确地理解随机变量取值的意义，求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，列出分布列.【解答】(1)由概率分布的性质知解得q=1.(2)①P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=+=.②由题意知，X的可能取值为2，3.P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)==，P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=++=.所以X的概率分布为X23P【精要点评】求解离散型随机变量X的概率分布的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布.概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X全部可能取得的值；其次行是对应于随机变量X的值的大事发生的概率.看每一列，实际上是上为“大事〞，下为“大事发生的概率〞，只不过“大事〞是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机大事发生的概率.会依据概率分布的性质来检验求得的概率分布的正误，如(1)中就是利用概率分布中各概率之和为1来求参数的值.变式箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(不放回，且每个球取到的时机均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和，求X的概率分布.【解答】X的可能取值为3，4，5，6.P(X=3)==，P(X=4)==，P(X=5)==，P(X=6)==.故X的概率分布为X3456P二项分布及超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布.【思维引导】(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量X听从超几何分布.【解答】(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球〞为大事A，设袋中白球的个数为x，那么P(A)=1=，解得x=5，故白球有5个.(2)X听从超几何分布，P(X=r)=，r=0，1，2，3.故X的概率分布为X0123P【精要点评】对于听从某些特别分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.例4甲、乙两队参与学问竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答复正确与否相互之间没有影响.用X表示甲队的总得分.(1)求随机变量X的概率分布；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3〞这一大事，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分〞这一大事，求P(AB).【解答】(1)方法一：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，且P(X=0)=×=，P(X=1)=××=，P(X=2)=××=，P(X=3)=×=.所以X的概率分布为X0123P方法二：依据题设可知X~B，因此X的分布列为P(X=k)=××=×，k=0，1，2，3.(2)用C表示“甲队得2分乙队得1分〞这一大事，用D表示“甲队得3分乙队得0分〞这一大事，所以AB=C+D，且C，D互斥，P(C)=×××+××+××=.P(D)=×=，由互斥大事的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=+=.【精要点评】利用重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要留意检查该概率模型是否满意公式Pn(k)=pk(1p)nk的三个条件：①在一次试验中某大事A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的状况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互的；③该公式表示n次试验中大事A恰好发生了k次的概率.二项分布概率模型的特点是“性〞和“重复性〞，大事的发生都是的、相互之间没有影响，大事又在相同的条件下重复发生.重复试验中的概率公式Pn(k)=pk(1p)nk表示的是n次重复试验中大事A发生k次的概率，p与(1p)的位置不能互换，否那么该式子表示的意义就发生了转变，变为大事A有k次不发生的概率了.1.盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小外形完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，其次次拿到红球的概率是.【答案】【解析】设“第一次拿到白球〞为大事A，“其次次拿到红球〞为大事B，那么P(A)==，P(AB)=×=，故P(B|A)==.2.(2014·苏州模拟)随机变量X的概率分布为P(X=i)=(i=1，2，3)，那么P(X=2)=.【答案】【解析】由分布列的性质知++=1，所以a=3，所以P(X=2)==.3.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，那么随机变量X的概率分布为.【答案】X012P0.10.60.3【解析】P(X=0)==0.1，P(X=1)===0.6，P(X=2)==0.3.4.(2014·山西联考改编)从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，那么取得的次品件数为1的概率是.【答案】【解析】设随机变量X表示取出次品的件数，X听从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，X的可能的取值为0，1，2，P(X=1)==.5.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个登记颜色后放回，直到红球消失10次时停止，设停止时共取了ξ次球，那么P(ξ=12)=.(列出式子即可)【答案】××【解析】P(ξ=12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，故P(ξ=12)=××.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第143~144页.【检测与评估】第72课大事及随机变量的概率分布一、填空题1．设随机变量X的概率分布如下表所示.X012Pa假设F(x)=P(X≤x)，那么当x的取值范围是[1，2)时，F(x)=.2．设X是一个离散型随机变量，其概率分布为X101P12qq2那么q=.3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，那么当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为.4．在四次重复试验中，大事A在每次试验中发生的概率相同.假设大事A至少发生一次的概率为，那么大事A恰好发生一次的概率为.5．某人一周晚上值班2次，在他周日肯定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为.6．罐中有6个红球、4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次.设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)=.7．盒中有9个正品、3个次品零件，每次取出1个零件，假如取出的是次品，那么不再放回，那么在取得正品前已取出的次品数ξ的期望E(ξ)=.8．一只袋内装有m个白球、nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止.设此时取出了ξ个白球，那么P(ξ=2)=.二、解答题9．(2014·无锡期末改编)从集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}.(1)求a，b，c中任意两数之差的肯定值均不小于2的概率；(2)记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ=2)，求随机变量ξ的概率分布.10．甲、乙两位同学进行定点投篮嬉戏，他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响.甲同学打算投5次，乙同学打算投中1次就停止，否那么就连续投下去，但投篮次数不超过5次.(1)求甲同学至少有4次投中的概率；(2)求乙同学投篮次数ξ的概率分布.11．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“嘉奖一瓶〞或“感谢购置〞字样，购置一瓶，假设其瓶盖内印有“嘉奖一瓶〞字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购置了一瓶该饮料.(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的概率分布.【检测与评估答案】第72课大事及随机变量的概率分布1．【解析】由于a++=1，所以a=.由于x∈[1，2)，所以F(x)=P(X≤x)=+=.2．1【解析】由概率分布的性质知解得q=1.3．【解析】1×=.4．【解析】设大事A在每次试验中发生的概率为p，那么大事A在4次重复试验中恰好发生k次的概率为pk=pk(1p)4k(k=0，1，2，3，4)，所以p0=p0(1p)4=(1p)4．由题设知1p0=，所以(1p)4=，所以1p=，所以p=，所以p1=p(1p)3=4××=.5．【解析】设大事A为“周日值班〞，大事B为“周六值班〞，那么P(A)=，P(AB)=，故P(B|A)==.6．【解析】由于是有放回地摸球，所以每次摸球摸得红球的概率均为，连续摸4次，ξ为取得红球的次数，那么ξ~B，从而有E(ξ)=np=4×=.7．【解析】ξ可能取的值为0，1，2，3，而ξ=k(k=0，1，2，3)表示取k+1次零件，前k次取得的都是次品，第k+1次才取到正品.P(ξ=0)==，P(ξ=1)=·=，P(ξ=2)=··=，P(ξ=3)=··=.故ξ的概率分布为ξ0123P所以E(ξ)=0×+1×+2