因式分解的常用方法方法最全最详细

因式分解惯用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式积形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解通常步骤是：（1）通常采取一“提”、二“公”、三“分”、四“变”步骤。即首先看有没有公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组目标是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，能够尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、利用公式法.在整式乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中惯用公式，比如：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个惯用公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是三边，且，则形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式各项既没有公因式可提，也不能利用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间联络。解：原式==每组之间还有公因式！=例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=====练习：分解因式1、2、（二）分组后能直接利用公式例3、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，即使能够提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===例4、分解因式：解：原式===练习：分解因式3、4、综合练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数乘积；（3）一次项系数是常数项两因数和。思索：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件.解析：凡是能十字相乘二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数和要等于5。因为6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中能够发觉只有2×3分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解关键：将常数项分解成两个因数积，且这两个因数代数和要等于一次项系数。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次项系数不为1二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=练习7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次项系数为1齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1齐次多项式例9、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习9、分解因式：（1）（2）综合练习10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思索：分解因式：五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.(2)、换多项式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本题前面两个多项式有相同部分，我们能够只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(x2+6+5x)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还能够把前两个多项式中任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.另外，还能够取前两个多项式平均数进行换元，这种换元方法被称为“均值换元法”，能够借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=eq\f(1,2)[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题前面是四个多项式乘积，能够把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式乘积.不论怎样分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.所以，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以处理.我们采取“均值换元法”，设m=eq\f(1,2)[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).(3)、换常数例1分解因式x2(x+1)-×x.分析：此题若按照通常思绪解答，极难奏效.注意到、两个数字之间关系，把其中一个常数换元.比如，设m=，则=m+1.于是，原式变形为x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-)(x++1)=x(x-)(x+).例13、分解因式（1）（2）解：（1）设=，则原式===（2）型如多项式，分解因式时能够把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====练习13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）观察：此多项式特点——是关于降幂排列，每一项次数依次少1，而且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项字母和它次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==设，则∴原式=======（2）解：原式==设，则∴原式====练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）解法1——拆项。解法2——添项。原式=原式=========（2）解：原式====练习15、分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、待定系数法。例16、分解因式分析：原式前3项能够分为，则原多项式必定可分为解：设=∵=∴=对比左右两边相同项系数可得，解得∴原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。（2）假如有两个因式为和，求值。（1）分析：前两项能够分解为，故此多项式分解形式必为解：设=则=比较对应系数可得：，解得：或∴当初，原多项式能够分解；当初，原式=；当初，原式=（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，所以第三个因式必为形如一次二项式。解：设=则=∴解得，∴=21练习17、（1）分解因式（2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数而且分解因式。（4）为何值时，能分解成两个一次因式乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1.把一个多项式化成几个整式_______形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m=.3.分解因式：x2-4y2=_______.4、分解因式：=_________________。5.将xn-yn分解因式结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n值为.6、若，则=_________，=__________。二、选择题7、多项式公因式是()A、B、C、D、8、以下各式从左到右变形中，是因式分解是()A、B、C、D、10.以下多项式能分解因式是（）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）12．以下各个分解因式中正确是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3cB．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）A.2B.4C.2y2D.4y2三、把以下各式分解因式：14、15、16、17、18、19、；五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm正方形。求纸片剩下部分面积。dD21、如图，某环境保护工程需要一个空心混凝土管道，它规格是内径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这么管道需要多少立方米混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)dD22、观察以下等式规律，并依照这种规律写出第(5)个等式。经典二：1.经过基本思绪达成分解多项式目标例1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再深入分解；也可把，，分别看成一组，此时六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式=2.经过变形达成分解目标例1.分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3.在证实题中应用例：求证：多项式值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证实这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证实：设，则4.因式分解中转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c关系，努力寻找一个代换方法。解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活利用公式，对原式进行“代换”是很主要。中考点拨例1.在中，三边a,b,c满足求证：证实：说明：此题是代数、几何综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：__________解：说明：利用等式化繁为易。题型展示1.若x为任意整数，求证：值小于100。解：说明：代数证实问题在初二是较为困难问题。一个多项式值小于100，即要求它们差小于零，把它们差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一个惯用方法。2.将解：说明：利用因式分解简化有理数计算。实战模拟1.分解因式：2.已知：值。3.矩形周长是28cm，两边x,y使，求矩形面积。4.求证：是6倍数。（其中n为整数）5.已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c值。6.已知：a、b、c为三角形三边，比较大小。经典三：因式分解练习题精选一、填空：（30分）1、若是完全平方式，则值等于_____。2、则=____=____3、与公因式是＿4、若=，则m=_______，n=_________。5、在多项式中，能够用平方差公式分解因式有________________________，其结果是_____________________。6、若是完全平方式，则m=_______。7、8、已知则9、若是完全平方式M=________。10、，11、若是完全平方式，则k=_______。12、若值为0，则值是________。13、若则=_____。14、若则___。15、方程，解是________。二、选择题：（10分）1、多项式公因式是（）A、－a、B、C、D、2、若，则m，k值分别是（）A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、以下名式：中能用平方差公式分解因式有（）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算值是（）A、B、三、分解因式：（30分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、四、代数式求值（15分）已知，，求值。若x、y互为相反数，且，求x、y值已知，求值五、计算：（15）（1）0.75（2）（3）六、试说明：（8分）1、对于任意自然数n，都能被动24整除。2、两个连续奇数积加上其中较大数，所得数就是夹在这两个连续奇数之间偶数与较大奇数积。七、利用分解因式计算（8分）1、一个光盘外D=11.9厘米，内径d=3.7厘米，求光盘面积。（结果保留两位有效数字）2、正方形1周长比正方形2周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你结构一个同时满足这个描述多项式，并将它分解因式。（4分）经典四：因式分解选择题1、代数式a3b2－a2b3,a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4公因式是（）A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出公因式应该为（）A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y3、把－8m3＋12m2＋A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3mC、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（）A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋2)5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）A、－21998B、21998C、－219996、把16－x4分解因式，其结果是（）A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，结果是（）A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)8、把多项式2x2－2x＋分解因式，其结果是（）A、(2x－)2B、2(x－)2C、(x－)2D、(x－1)29、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则k值是（）A、±4B、±2C、3D、4或210、－（2x－y）(2x＋y)是以下哪个多项式分解因式结果（）A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y211、多项式x2＋3x－54分解因式为（）A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)二、填空题1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)5、x2－(_______)＋16y2=()26、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.三、解答题1、把以下各式因式分解。(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y22、用简便方法计算。（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352(3)3、已知：x＋y=,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3值。四、探究创新乐园若a－b=2,a－c=,求(b－c)2＋3(b－c)＋值。求证：1111－1110－119=119×109五、证实(求值)1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2值．2．求证：四个连续自然数积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证实：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2值．6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24能够分解为两个一次因式乘积．7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2大小．8．两个连续偶数平方差是4倍数．经典五：因式分解分类练习题因式分解—提公因式法1、以下多项式中，能用提公因式法分解因式是()A.B.C. D.2、在把分解因式时，应提取公因式是()A.B.C.D.3、以下变形是因式分解是()A.B.C.D.4、多项式