高考数学真题分类训练26（含答案解析）

高考数学真题分类.余弦定理

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.在ZMBC中，cosC=AC=4,BC=3,则tanB=()

A.V5B.2V5C.4V5D.8V5

2.在△力BC中，cosC=二，AC=4,BC=3,则=(

3)

11c19

A-9ByC-2吟

3.已知椭圆C的焦点为尸式一1,0）,尸2（1,0）,过尸2的直线与C交于A,8两点.若MF2]=2吗8],

\AB\=\BFr\,则C的方程为（）

A.立+y2=iB.H+g=1C.兰+乃=1D.兰+g=1

27324354

4.△4BC的内角A,B,C的对边分别为已知asim4—bsinB=4csinC,cosA=—%则g=（）

A.6B.5C.4D.3

5.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△力BC是边长为2的正三角

形，E,F分别是PA,A8的中点，ACEF=90°,则球。的体积为（）

A.8y/6nB.4-7671C.2而兀D,遥兀

6.设Fi，尸2是双曲线C：，一，=l（a>0/>0）的左，右焦点，。是坐标原点.过户2作C的一条

渐近线的垂线，垂足为P.若|Pa|=①|02|,则C的离心率为（）

A.V5B.2C.V3D.VI

7.在△ABC中，C-OK-渔，BC=1,AC=5,则4B=（）

25

A.4V2B.V30C.V29D.2汽

8.在如图所示的平面图形中，已知。M=1,ON=2,4MON=120°,BM=2~MA,CN=2斤了，

则比•西的值为（）

A.—15B.—9C.—6D.0

9.41BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,若ZL4BC的面积为老忙口，则。=（）

4

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

10.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=>AB±AC,AB±AD,NCAE=

30,则（x*NFCB=.

11.△ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,8=泉则△ABC的面积为.

12.已知椭圆式+g=1的左焦点为F,点尸在椭圆上且在x轴的上方，若线段尸尸的中点在以原点

95

O为圆心，|0川为半径的圆上，则直线尸产的斜率是.

13.在AABC中，AC=3,3sinA=2sinB,且cosC=；,贝ijAB=____.

4

14.若AABC的面积为9（a2+c2-b2）,且NC为钝角，则NB=；：的取值范围是.

222

15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为chb,c.已知加讥C+csinB=4asinBsinCfb+c—a=8,

则4ABC的面积为.

16.在△/8C中，角48,C所对的边分别为mb,c.若a==2,A=60。,则sinB=,

c=.

17.在△ABC中，已知48=2,AC=3,则cosC的取值范围是.

三、解答题（本大题共21小题，共252.0分）

18.（10分）在①QC=臼，@csinA=3,③c=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△4BC,它的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且sinA=gs讥B,（

第2页，共34页

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2近，6=5,c=V13.

(I)求角C的大小；

(H)求sinA的值;

(也)求5也(24+》的值.

20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、0已知&=3,c=夜，B=45°.

(1)求sinC的值；

BDC

(2)在边3c上取一点。，使得COSNADC求tan/ZMC的值

21.回4BC中，sin2/l-sin2B—sin2C=sinBsinC.

⑴求A;

(2)若BC=3,求回ABC周长的最大值.

22.ElABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=150".

(1)若a=Wc,b=2小,求团ABC的面积；

(2)若sinA+gsinC=当，求C.

23.在①ac=g，②csin4=3,③c=百匕这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题

中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

7r

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,且sinA=V^sinB,，

一6'

第4页，共34页

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

24.在极坐标系中，已知两点力(3,)8(夜,小直线/的方程为psin(0+$=3.

(1)求A,8两点间的距离；

(2)求点8到直线/的距离.

25.图1是由矩形和菱形BRJC组成的一个平面图形，其中SB=1,BE=BF=2,

LFBC=60°,将其沿AB,8c折起使得BE与B尸重合，连结DG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面4BC_L平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

26.在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为mb,c.已知b+c=2a,3csinB=AasinC.

(I)求。。$2的值；

(□)求$也(28+$的值.

27.△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB—sinC)2=siMa—sinBsinC.

⑴求4;

(2)若2a+b=2c,求sinC.

28.在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-i.

(1)求"c的值;

(口)求$也(8-0的值.

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29.在△ABC中，a=3,b—c=2,cosB=—

(1)求6,c的值;

(2)求sin(B+C)的值.

30.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.

(1)若a=3c,b=V2,cosB=求c的值；

⑵若誓=鬻，求sin(B+》的值.

•ill空'=AilM.

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

9

⑴求B

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=l,求△ABC面积的取值范围.

32.如图，在正三棱锥产一ABC中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=V3.

(1)若PB的中点为M,8c的中点为N,求AC与MN的夹角；

(2)求P-ABC的体积.

33.在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为“，b,c,且万2=+02-ac.

(I)求48的大小：

(II)若a=c=2,求△ABC的面积；

(HI)求sinA+sinC的取值范围.

34.在4ABC中，角4、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2/l—sin2C)=(a—b)sinB.

(1)证明a?+b2—c2=ab：

第8页，共34页

(2)求角C和边c.

35.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知及.

(I)求角B的大小；

(II)设a=2,c=3,求b和疝i(2A—B)的值.

36.如图，已知多面体ABC-4/16,A遇，为8,GC均垂直于平面ABC,/.ABC=120°,ArA=4,

GC=1,AB=BC=B[B=2.

⑴证明:4。J_平面AiBQ；

(2)求直线AC】与平面ABB1所成的角的正弦值.

37.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,h,c,若a=7,b=8,cosB=-^

⑴求4

(2)求AC边上的高.

38.在平面四边形ABC。中，乙4DC=90。，乙4=45。，AB=2,BD=5.

(1)求cos乙40B；

(2)若。。=2企，求BC.

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-------答案与解析——

1.答案：C

解析：

本题考查解三角形，余弦定理的应用，注意三角形的形状即可.

解：根据题意：COSC="2+BC2-4B2=16+9-4/=马解得：=

2ACBC2X4X33

则cosB=矍;:=孑sinB=芈（负值舍去）

475

故tan8=-f-=4>/5.

9

故选c

2.答案：A

解析：

本题考查余弦定理，考查运算求解能力，难度一般.

先由已知条件应用余弦定理求出AB,再利用余弦定理即可求出cosb

心+娟-加16+9-心2

解:由余弦定理可得cosC一,

2-x.AC-x.BC2X4X33

解得48=3.

在△力BC中，AC=4,BC=3,AB=3,

由余弦定理可得

AB2+BC2-AC29+9-161

cosB=------------------------=---------------=—

2xABxBC2x3x39.

故选A.

3.答案：B

解析：

本题考查了椭圆的定义以及方程，余弦定理，属于中档题.

根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得。=遮，b=&,可得椭圆的方程.

解：=

\AB\=3\BF2\,

又|AB|=\BF1\,

•••|BFi|=3|BF2|,

又|8F/+|BF2|=2a,•••|BF2l=],

3

-\AF2\=a,=-a,

则6|=\AFr\=a,

所以A为椭圆短轴端点，

在Rt△4尸2。中，cos乙4尸2。=

在48a尸2中，由余弦定理可得C0S4BF2F1=4+?：渣产=段!，

根据cos乙4尸2。+cosZ^RFi=0,可得工+4~2a-=0,

a2a

解得。2=3,

:.a=V3»h2=a2—c2=3—1=2,

22

所以椭圆c的方程为：乙+匕=1,

32

故选正

4.答案：A

解析：

本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题.

利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果.

解：・♦•△ABC的内角4,B,C的对边分别为小b,c,设该三角形外接圆的半径为七

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根据正弦定理有：shiA=sinB=^.sinC-加.

又asinA—bsinB=4csinC,

.•"埸-啜=4c•亲即a?=4c2+b2,又＜3l=-:

a2—b2=4c2

Z?2+c2-a21,

COSA=---------=——

2bc4

解得g=6,

故选A.

5.答案：D

解析:

本题考查球的体积的求法，是中档题.

设NPAC=0,PA=PB=PC=2x,EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂

直，即可求出球。的体积.

EC=y,

因为E,F分别是PA,AB的中点，所以EF=3PB=x,AE=x,

4X2+4-4X21

在△PAC中，cos。=

2X2XX22x

x2+4-y2

在△E4C中，cos。=

2X2%

整理得/—y2=—2,①

因为△力BC是边长为2的正三角形，所以。尸=四,

又上CEF=90°,则/+y2=3,②,

由①②得X=当

所以P力=PB=PC=&，

所以。炉+PS?=4=AB?,即PAJ.PB,

同理可得PA1PC,PBLPC,则PA、PB、PC两两垂直,

则球。是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，2+2+2=乃,

所以球0的体积为=-7TR1--IT-.

33\2)

故选

6.答案：C

解析:

本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题.

先根据点到直线的距离求出IP&I=上再求出|OP|=a,在AFiP。中，由余弦定理可得

cwZPOFi=.+」-(/)2=_cosNPOF,=，代值化简整理可得3a2=c?,问题得以解决.

2ac〜c

解：不妨设双曲线C：盘一3=1(0>0,6>0)的一条渐近线方程为3/=",

则尸到的距离

2y=ad=vaz+bz=b,

在RtZkF2P。中，|「2。|=。，所以|PO|=Q,

所以仍尸1|=逐£1,又|&0|=C,

所以在AaPO与RtAF2Po中，根据余弦定理得

滔+4-(vW

cosZPOFj

=—cosZPOf^=—

即3a2+C?-(na)2=0)得3a2=c2.

所以e=£=遮.

a

故选c.

7.答案：A

解析：

本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力.

利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可.

解：在44BC中，»cuts(7=2x—1=——>

25'55

VBC=1,AC=5,

第14页，共34页

则AB=>1BC2+AC2-2BC-ACcosC

=Jl+25+2xlx5x|=V32=4V2.

故选：A.

8.答案：C

解析:

本题考查了平面向量数量积，余弦定理的应用，是中档题.

由题意判断BC〃MN,且BC=3MN,再利用余弦定理求出和4OMN的余弦值，再计算比•前即

可.

解：连接MN,由题意，前=2初，CN=2AM.

—=2,：.BC//MN,且BC=3MN,

MANA11

又MN2=OM2+ON2-20M-ON-cosl20°=l+4-2xlx2x(-1)=7,

MN=V7;•••BC=3用,

()M2+MN2-ON2_1+7-4_2

・•・cosZ-OMN=2OMMN-2xlxV7-V7,

■■■'BC-OM=\BC\x|丽|cos(兀-4OMN)=3V7X1X(-^)=-6.

故选：C.

9.答案：C

解析：

本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是

基础题.

由SMBC=^absinC-~~c得sinC=J=cosC,由此能求出结果・

解：•・•△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,AABC的面积为立匕Q,

4

._1ur—a2+^2-c2

,•ScfBc=3absme--，

“2+匕2_。2

・•・sinC=-----；——=cosC，

2ab

V0<C<7T,:、C=y.

4

故选c.

10.答案：-24

解析：

本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题.

解：由已知得8。=近AB=逐，

•••D,E、F重合于一点，

AE=AD=V3>BF=BD=V6>

•••△ACE中，由余弦定理得

CE2=AC2+AE2-2ACAEaiaLCAE

=12+(\/3)2-2x1xs/Beus30。=1,

•••CE=CF=1,BC2=AC2+AB2,BC=2,

.•.在ABCF中，由余弦定理得

BC^+CF2-BP212+22(场2

cosZ.FCB=

2BC-OF2x1x2

故答案为一1.

11.答案:6>/3

解析：

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题.

利用余弦定理得到。2,然后根据面积公式公击3求出结果即可.

第16页，共34页

解：由余弦定理有1/=(P+M?(?.•<,

vb=6,a=2c,B=p

，36=(2c)2+c2-4c2cos

-c2=12,

/.=JwxhiB=crtinB=6\/5.

故答案为6遍.

12.答案：V15

解析：

本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，考查方程思想

和运算能力，属于中档题.

求得椭圆的a,b,c,设椭圆的右焦点为广，连接PF',运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得△PFFf

各边长，利用余弦定理求心PFV的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF的斜率.

22

解：椭圆^_+1的a=3,b=而，c=2,

设椭圆的右焦点为V,连接PU,

线段PF的中点4在以原点。为圆心，2为半径的圆上,

连接A0,可得仍尸|=2依。|=4,

△PFb中，PF=6-PF'=2,FF'=4,PF'=4,

42+22-42_1

2X2X4-4,

tan4P尸F'=V15，即直线PF的斜率为衣.

故答案为

13.答案：Vio

解析：

本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的转化和计算能力，属于基础题.

利用正弦定理可得BC=2,利用余弦定理即可得出结论.

解：*：3sinA=2sinB,

.,•由正弦定理可得：3BC=24C,

•♦・由4c=3,可得：BC=2,

cosC„=1

4

由余弦定理可得：1=32+2*,

42X3X2

.■・解得：AB=V10.

故答案为：V10.

14.答案：a（2,+8）

解析：

本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题.

利用余弦定理，转化求解即可.

解：△ABC的面积为/（。2+

可得：^(a2+c2-b2)=^acsinB,翳=遍,

可得：=遮，所以B=g,

4c为钝角,Ae(0,^),

所以2e(遮,+8),

tanA''

csinCsin(A4-8)1

=cosB-\------sinB

asinAsinAtanA

=-+e(2,4-oo),

22tanA、J

第18页，共34页

故答案为：p(2,+oo).

15.答案：逗

3

解析：解：△48C的内角A,B,C的对边分别为mb,c

bsinC4-csinB=4asinBsinC9

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=AsinAsinBsinC,

由于0VB<71,0<C<7T,

所以sinBs出。00,

所以

则或7

o6

由于/+-Q2=g,

则：cosA='-"

2bc

①当4=泄，苧=：8

2bc

解得be=随，

3

所以SMBC=^besin力=誓・

②当4—时，-第也

解得be=-竽(不合题意)，舍去.

故：SAABC=¥*

故答案为：逗.

3

直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出A的值，最后求出三角形的面积.

本体考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式

的应用.

16.答案：手;3

解析:

本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题.

由正弦定理得磊=焉由此能求出"曲由余弦定理得皿6。。=若，由此能求出c.

解：：在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

CL=y/7,b=2,A=60°,

二由正弦定理得：号=—4,即上=二—，

sinAstnBsin60°sinB

解得5讥8=军=回・

V77

由余弦定理得：C0S4=匕2+：_a,即COS60。=

2bc

解得c=3或c=一1（舍），

故答案为：叵；3.

7

17.答案：停,1）

解析:

本题主要考查了余弦定理，基本不等式及余弦函数的性质的应用，属于基础题.

由已知利用余弦定理，基本不等式求得cosC的最小值，再根据余弦函数的性质得到cosC的最大值

即可得解.

解：AB=c=2,AC=b=3,贝Ul<a<5,

2222

「a+b-ca+5a,5.na5V5

AcosC=-------=----=-H——>2/-----=——，

2ab6a66ay66a3

当且仅当a=通€（1,5）时，等号成立.

又「CE（0,兀），可得cosC<1,

•,—<cosC<1.

・3

故答案为：停,1）.

18.答案：解：①ac=V3.

△4BC中,sinA=y/3sinB,即b=,a，

ac=遍，：•c=­»

a

a2+b2-c2_■-今_x/3

cosC

2ab=理=T，

:，a=V3»b=1,c=1.

（2）csinA=3.

第20页，共34页

△ABC中,csinA=(UiinC=asin3,Aa=6.

vsinA=y/3sinB^即。=Wb,・•・b=273.

a2+b2-c2364-12—c2V3

cosC=---­：------=--------------=­=--

2ab2x6x2732

:.c=2V5.

③c=V3h.

vsinA=y/^sinB,即@=Wb,

又•・,c=V3Z?,

与已知条件。:相矛盾,所以问题中的三角形不存在•

解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题

的关键.

①根据题意，结合正弦定理，可得b号a,c=f,结合乙I，运用余弦定理cosC=5±

即可求得c=1.

②根据题意，△ABC中，csinA=asinC,即可求得a=6,进而得到b=28,运用余弦定理

cosC=a2+b2-c2,即可求得c=2遍.

2ab

③根据c=遮从sEA=遮5沅8即Q=遮6,可列式求得cosC=遗，与已知条件（‘矛盾，所以

6V）

问题中的三角形不存在.

19.答案：解：（I）由余弦定理以及a=2/，b=5,c=-/13,

a2+b2<2_8+25-13_V2

则cosC=

2ab2X2A/2X52

IC6(0,7T),

・・,c=-；

4，

(U)由正弦定理，以及c=，a=2y[2,c=g，可得s讥4=空些=这登=4空;

'c\/1313

(HI)由QVC,及sin4=4'亘，可得cos/=71—si//=双运,

1313

fjj||..r25/133V1312

W\sinn2Ax=2sinAcosA=2x-----x------=—,

131313

・•・cos2A=2COS*2A*—1=—,

13

・•・sin(2i4+-)=­(s讥2/+cos2A)=­(—+­)=

\"2'72k1313，26

解析：本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中

档题.

(I)根据余弦定理即可求出。的大小；

(H)根据正弦定理即可求出sinA的值；

(HI)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出.

20.答案：解：(1)因为a=3,c=V2，B=45°.,由余弦定理可得：b=yja2-be2-2accosB=

j9+2-2x3xV2Xy=V5»

由正弦定理可得提=高，所以sMC=：

匹

5

所以sinC=

(2)因为cos乙4DC=一/所以sin4ADC=

在三角形AOC中，易知C为锐角，由(1)可得cosC=71-sin2c=等,

所以在三角形ADC中，sin^DAC=sin^ADC+zC)=sin^ADCcos^C+cos^ADCsin^C=等,

因为N£MCG(0,)所以COSNDAC=V1—sin2Z-DAC=卫更，

225

所以tanz_ZMC=*些=2.

COSZ.DAC11

解析：(1)由题意及余弦定理求出人边，再由正弦定理求出sinC的值；

(2)三角形的内角和为180。，cos^ADC=一条可得N4DC为钝角，可得NZMC与/4DC+”互为补角,

所以sin/fMC=sin(Zi4£>C+4。)展开可得sin/DAC及coszJMC,进而求出tan/DAC的值.

本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题.

21.答案：解：⑴在国ABC中，设内角A,B,C的对边分别为mb,c,

因为siMA—sin2B—sin2c=sinBsinC,

第22页，共34页

由正弦定理得，a2-b2—c2=be,即力2+c2-彦=-儿，

由余弦定理得，cosAJ+c—z==,

2bc2

因为0＜2＜兀，所以4=小

(2)由⑴知，4=*因为8c=3,即a=3,

由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,

所以9=b2+c2+be=(b+c)2—be,

由基本不等式可得be＜丝蛆，

4

所以9=(b+c)2—be23(b+c)2,

4

所以b+c＜2次(当且仅当b=c=旧时取得等号)，

所以回ABC周长的最大值为3+2V3.

解析：本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题.

(1)直接利用正余弦定理即可求解；

(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解.

22.答案：解：(1)由余弦定理得占2=a?+©2-2accosB,

即28=3c2+c2-2岳2cos150°，

解得c=2,所以a=2g,

所以448c=|acsinB=|x2V3x2x1=V3.

(2)因为A=180°-B-C=30°-C,

所以sinA+V3sinC=sin(30°—C)+V3sinC

=—cosC+~sinC—sin(30°+C)—

因为A＞0。，C＞0°,所以0。＜。＜30。，所以30。＜30。+。＜60。,

所以30。+。=45。，

所以C=15°.

解析：本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题.

(1)由已知条件结合余弦定理可求得C,从而可根据三角形面积公式求解；

(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可.

23.答案：解：sinA—V3sinB，故有a=V3/>>

。2+/一/_。2+（寸。）6

C='由余弦定理得:COMC=

o2ab=国=~2~

2ax--a

3

有X2a=c；

3

假设三角形存在,

若选①，有ac=遮，则有—\，行，则。=b=1,c=1.

3

故存在满足题意的三角形，c=l.

若选②，有csin4=3,

2

b2+/_a2_（了a）+（寸）-a1

则有cos.1

2（判x亭2

则sin4=孚，故c=2b，a=6,b=2怎

故存在满足题意的三角形，c=2遍.

若选③，其中由题意有a=V57?,a=,则有b=c,这和c=A^b矛盾,

故不存在满足题意的三角形.

解析：本题考查解三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，判断三个边的关系与求值，是中档题.

若选①，可利用已知条件得到的a,b,c的关系，代入ac=g求解即可.

第24页，共34页

若选②，可利用已知条件得到的a,b,c的关系，求出cos4,从而求出c=2百.

若选③，可利用已知条件得到的a,b,c的关系，和第三个条件矛盾，从而无此三角形.

24.答案：解：⑴设极点为O,则在2048中，

由余弦定理，得AB?=0A2+0B2-20A-OBcos乙A0B,

AB=J32+(V2)2-2x3xV2xcos(^-^)=V5；

(2)由直线/的方程ps讥(8+》=3,知

直线/过(3企()，倾斜角为学，

又以近,今，

•••点B到直线I的距离为(3a-V2)-sin(^-^)=2.

解析：本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属较易题.

(1)设极点为O,则由余弦定理可得AB?=042+082-204・。8。。5乙408,解出AB；

(2)根据直线/的方程和点B的坐标可直接计算B到直线/的距离.

25.答案：(1)证明：由已知可得AD〃BE,CG//BE,即有40〃CG,

则AO,CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面；

由四边形ABE。为矩形，可得

由△ABC为直角三角形，可得AB1BC,

又BCCBE=E,BCu平面8CGE,BEu平面8CGE,

可得4B_L平面BCGE,

ABu平面ABC,可得平面力BC1平面BCGE；

(2)解：连接BG,AG,

由力B，平面BCGE,BGu平面BCGE,可得AB1BG,

在ABCG中，BC=CG=2,Z.BCG=120°,可得BG=2BCsin60°=26，

可得AG=y/AB2+BG2=

在AACG中，AC=V5，CG=2,AG=V13.

可得cos乙4CG=:=一2，即有sin乙4CG=4>

2x2xy5v5V5

由(1)可得：AD//CGS.AD=CG=2,

所以四边形4CGO为平行四边形，

则平行四边形ACGD的面积为2x遍x亲=4.

解析：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面

几何的性质，考查推理能力，属于中档题.

(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可

得证；

(2)连接8G,AG,由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可

得所求值.

26.答案：解：(I)在三角形ABC中，由正弦定理得亮=肃，所以bsinC=csinB,

又由3csin8=4-asinC,

得3bsbiC=4asinC,即3b=4a,

又因为b+c=2a,得b=拼c=y,

由余弦定理可得cos8=。2=2-匕2=°仁"=-i；

2"2a-a4

(n)由(I=V1—cos2B=—,从而sin2B=2sinBcosB=——，

48

cos2B=cos2B-sin2B=~l，

故sin(2B+-)=sin2Bcos-+cos2Bsin-=——x——-x-=-3麻，

、6,66828216

解析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及

正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

(I)根据正余弦定理可得；

(H)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得.

27.答案：解：(1)「△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

又(sinB-sinC)2=sin?4—sinBsinC,

则siMB+sin2c—2sinBsinC=siMa—sinBsinC.

二由正弦定理得：b2+c2-a2=be,

.b2+c2-a2be1

•cosA=-----=—=-»

・・2bc2bc2

V0</I<7T,

*,•4=

(2)v42a+b=2c,%=

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・•・由正弦定理得&sin?l+sinB=2sinC，

•*»—+sin(~—C)—2sme9

即立+且cosC+-sinC=2sinC,

222

日n历।V3「3.厂

即——I——cosC——sinC=n0，

222

即sin(C—，)=争

・••sinC=sin(—十—)

n7171n

=sin—cos—+cos—sin—

4646

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题.

(1)由正弦定理得：b2+c2-a2=bc,再由余弦定理求出A.

(2)由已知及正弦定理可得：sin(C—9=当，可解得C的值，即可得解.

28.答案：解：(I)TQ=3,b—c=2,cosB=—

.,・由余弦定理，得/=小+-2QCCOSB

=9+(b—2)2—2x3x(6—2)x(——),

:,b=7,c=h-2=5；

(11)在448。中，：(:。58=一：，；.5讥8=亨，

由正弦定理有：爵=亮

csinB__5x?_56,

・•・sinC

b一7-14

vb>c,B>C,，C为锐角,

c11

・•・cosC=—,

14

・•・sin(B—C)=sinBcosC—cosBsinC

V31115V3

=—X------(——)X-------

214i2，14

4>/3

7

解析：本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题.

(I)利用余弦定理可得/=M-2QCCOS8,代入己知条件即可得到关于b的方程，解方程即可;

(II)sin(B—C)=sinBcosC—cosBsinC,根据正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,代入即可得解.

29.答案：解：(1),・,a=3,b—c=2,cosB=—

.,・由余弦定理，得川=小+-2QCCOSB

=9+(b—2)2—2x3x(6—2)x(——),

:・b=7,

c=b—2=5；

(2)在△ABC中，

n1

vcosB=——，

2

・•・sinB=—,

2

由正弦定理有：&=q,

sinAsinB

•.asinB3x-y3用

：・sinA=------=--=——，

b714

・•・sin(B4-C)=sin(7r-/)=sinA=誓

解析：本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

⑴利用余弦定理可得炉=a2+c2-2accosB,代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可;

(2)sin(B+C)=sin(7T—A)=sinA,根据正弦定理可求出sinA.

30.答案：解：⑴•••在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c.

a=3c,b=V2,cosB=

・•・由余弦定理得：

a2+c2-b210C2-22

cosB------------=----------=—,

2ac6c23

解得

cosB

2b

sinA__sinB_cosB

•••由正弦定理得:

ab2b

・•・2sinB=cosB,

•・,sin2B4-cos2B=1,

・••sinB=cosB=誓，

・•・sin(8+；)=cosB=等.

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解析：本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角

函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)由余弦定理得：COSB=Z=更？=L由此能求出c的值.

Zac6c23

(2)由州M=胃兰，利用正弦定理得2s讥8=cos8,再由siMB+cos2^=1,能求出s讥B=匹,

vza2b5

cosB=巫,由此利用诱导公式能求出sin(B+9的值.

5/

31.答案：解：=bsinA,=acos|=bsinA,

可得si/L4cosm=sinBsinA=2sin^cos^sinA,

,:sinA>0,

:，cos-=2sl九一cos-,

222

p

若COSQ=0,可得B=(2k+l)7r,keZ不成立，

：•si.n-B=1

22

由0VB<7T,可得B=P

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=l,

由余弦定理可得b=Ja2+1-2a-1-cos^=y/a2—a+1,

由三角形48c为锐角三角形，可得a?+Q2_@+i>i且i+小一。+i>。2,

解得：VQ<2,

可得△面积S=-ac.sin-=—a6

234'82'

解析：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、三角形面积公式、二倍角公式和诱导公式，以及化

简运算能力，属于中档题.

(1)运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；

(2)运用余弦定理可得b,由三角形ABC为锐角三角形，可得。2+。2一。+1>1且1+。2一。+1>

a2.求得。的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围.

32.答案：解：N分别为P8,BC的中点，MN〃PC,

则NPCA为AC与MN所成角，

在△P4C中，由P4=PC=2,AC=V3.

PC2+AC2-P#3_V3

可得COSNPC4

2PCAC2x2xV34'

.SC与知'的夹角为arccosf；

(2)过P作底面垂线，垂足为O,则。为底面三角形的中心,

连接4。并延长，交BC于N,则4N=|,A0=1AN=1.

二PO=V22—I2=V3.

，P-48C=§X3Xy/3x-xV3=

解析：（1）由已知可得MN〃PC,则4PC4为AC与MN所成角，利用余弦定理求解得答案;

（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解.

本题考查