固体能带理论谢希德课本导读第一章

固体能带理论谢希德课本导读第一章1第一页，共二十页，编辑于2023年，星期五多粒子系统薛定谔方程要确定固体电子能级，组成固体的多粒子系统的薛定谔方程就是其出发点其中r代表电子坐标，R代表原子核坐标其哈密顿量包括组成固体的所有粒子的动能和这些粒子间相互作用能（也就是相互之间产生的势能）第一项为：1.电子动能。2.电子间相互作用能第二项为：1.核的动能。2.核与核间相互作用能第三项为：电子与核相互作用能以上两式子无法直接求解，必须针对实际物理问题作合理简化和近似。2第二页，共二十页，编辑于2023年，星期五电子运动与离子运动分离分离条件：原子核的质量比电子大得多，因此其速度就相应的会比电子小的多。当电子运动时：原子核等同于禁止，某一时刻电子的运动状态只由该时刻原子核在晶体中的位置决定（所以波函数有一个R作为参量），核对电子的其他方面（热振动）影响可以忽略，称为绝热近似。当原子核运动时：电子能够迅速调整其运动状态以适应原子核的变化，并且高速运动的电子绝热于核的运动，原子核的运动时则不需要考虑空间中电子的分布。3第三页，共二十页，编辑于2023年，星期五多粒子系统解为右边第二项为电子波函数，由多电子哈密顿量算出第一项为原子核运动的波函数，与电子位置r无关，只与电子系统的第n个量子态有关。原子核运动推导不会精度估计不会4第四页，共二十页，编辑于2023年，星期五变分法（Hartree准备）任一满足体系边界条件的波函数都可按本征函数展开把作为尝试变分函数体系状态的平均能量为5第五页，共二十页，编辑于2023年，星期五由于所以只有当尝试变分函数为基态波函数时，等号才成立。我们可以在平均能量中引入一个变分参量，再对平均能量求极小值，就能得到基态能量的近似值。可以算出取极小值时的值，带回就可得平均能量极小值。6第六页，共二十页，编辑于2023年，星期五Slater行列式（Fock准备）我们主要对电子研究，电子为反对称。Slater行列式是多电子体系波函数的一种表达方式。为空间波函数，为自旋波函数。每行为同一轨道，每列为同一元素。1.交换两电子坐标，也就是交换两列，根据行列式性质，行列式符号变，绝对值不变，满足电子的反对称。2.若两个电子状态相同，行列式中的两列就相同，根据行列式性质，该行列式的值为零，满足Pauli不相容原理。3.为归一化系数，满足波函数归一化性质。7第七页，共二十页，编辑于2023年，星期五Slater行列式Li原子举例Li原子轨道图则，相应的Slater行列式为8第八页，共二十页，编辑于2023年，星期五多电子体系的哈密顿算符和方程（书中属于哈特利（Hartree）方程这节）通过前面的绝热近似，电子与核分离考虑，得到一个哈密顿量上式用原子单位：第一项是n个电子动能第二项为带Z个正电荷的原子核对核外n个电子的吸引能第三项为n个电子间的相互排斥能，为第i个电子和第j个电子间的距离。这里的1/2为了避免重复计算。上式在第四页，两式不同是因为本章考虑中心场，只有一个原子核，所以没有核与核间相互作用力。9第九页，共二十页，编辑于2023年，星期五哈特利（Hartree）方程单原子核多电子哈密顿量前两项只与单个电子i本身位置有关，第三项则为电子间相互作用。我们假设只有前两项，这样多电子问题就变成单电子问题，而第三项作为微扰项用来求近似。Hartree波函数10第十页，共二十页，编辑于2023年，星期五哈特利（Hartree）方程把多电子的薛定谔方程化为单电子方程。《固体能带理论》中，让总能量E对总波函数做变分处理。《量子化学》中，将其他电子j所有空间可能位置取平均值，则这些电子j对电子i的作用也可以取一个平均值。对i的求和号全去掉，第三项系数1/2去掉，对j求和时j不等于i。11第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期五哈特利（Hartree）方程Coulomb算符此为单电子哈密顿量第三项（电子间相互作用项）。两书最终都推导出Hartree方程描写单个电子在晶格势和其他所有电子平均势中的运动。12第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期五福克近似（Hartree-Fock方程）Hartree波函数不符合电子的反对称性，而为了使波函数满足这个反对称性，在作变分法时，我们将Slater行列式作为尝试变分函数。13第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期五Hartree-Fock方程与Hartree方程的区别是因为：例如在Hartree-Fock方程中为单电子平均能量平均值求和项由电子间相互作用项，在用类似例子中这样的变分函数作变分操作时产生。相应的由电子间相互作用项，在用类似例子中这样的变分函数作变分操作时产生。½系数可以避免重复求和14第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期五Koopmans定理将第i个电子从系统中移走，系统能量变化为：为去掉第i行第i列得到。将一个电子从i态移到k态所需能量为这就是Koopmans定理。15第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期五Hohenberg-Kohn定理和表示在r处产生和湮灭一个粒子的费米子场算符。？16第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期五Hohenberg-Kohn定理定理1：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数的唯一泛函。定理2：能量泛函在粒子数不变条件下对正确的粒子数密度函数取极小值，并等于基态能量。粒子数密度函数定义为为基态波函数。定理表示为，一个泛函F[f]表示由函数f确定F的数值的一个规则。17第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期五证明定理1（反证法）即证明：是的唯一泛函假设存在另外一个，也具有同样的密度函数。18第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期五同理，有这是不可能的。因此必有是的唯一泛函。也就是说，如果基态粒子数密度已知，则