【初中数学】九年级数学中考三轮复习+图形变换综合压轴题+专题达标测评+

九年级数学中考三轮复习《图形变换综合压轴题》专题达标测评（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在BC边上，∠DAE=45°，将△(1)求证：BF⊥(2)连接DF，求证：△ADF(3)若BD=3，CE=4，则DF=______，四边形AFDE2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH-②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．3．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α0°<α<90°，线段BD和线段(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD=2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC4．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋5．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为．(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝6，PC＝4．求∠APB的度数．(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．6．如图1，在△ABC中，AB=AC，点DE、分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，连接MQ(1)求证：PM=(2)当∠A=50°时，求(3)将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置，若∠PMQ=120°，判断△7．问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为（参考数据：sin15°=8．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是△ABC内一点，连接AE,EC,BE，分别将AC,EC绕点C顺时针旋转60°得到DC,FC，连接AD,DF,EF．当【解法探索】(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点P是△ABC内一点，连接PA,PB,PC，请求出当PA+PB+PC【拓展应用】(3)在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2，点P是△9．如图，已知在△AOB与△COD中，OA=OB，(1)如图1，点C，D分别在边OA，OB上，连接AD，BC，点M是线段BC的中点，连接OM，直接写出线段AD与OM之间的数量关系___________；(2)如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点，确定AD(3)如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α0°<α<90°，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，确定10．（1）特殊发现如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：①DFAG=；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于（2）理解运用将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE=4，直接写出AB的长（3）拓展延伸如图3，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将△PBC翻折到△PEC的位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF，若PA=3PB，则DEEF11．中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现如图①，若直角三角形的直角边BC＝3，斜边AB＝5，则中间小正方形的边长CD＝______，连接BD，△ABD的面积为______．知识迁移如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC＝90，BP=10时，△PAB的面积为拓展延伸如图③，已知∠MBN＝90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．（1）已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF＝BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．（2）在（1）的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点，当AB＝10，CF＝2时，直接写出线段DE的长．12．二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于A2,0，(1)二次函数的表达式为________，点E的坐标为_________；(2)如图①，D是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；(3)如图②，P是直线CE上方的二次函数图像上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P(4)连接BC，M是平面内一点，将△BOC绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△B1O1C1，点B、O、C的对应点分别是点B1、O1、C参考答案1．（1）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△∴∠C∵在△ABC中，AB=AC∴∠ABC∴∠DBF∴BF⊥（2）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△∴AF=AE，∵∠DAE=45°，∴∠BAD∴∠BAD∴∠DAF在△ADF和△AF=∴△ADF（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，BD=3∴BF=由（1）得，∠DBF在Rt△DBF中，由（2）得，△ADF∴DE=DF=5∴BC=∵在△ABC中，AB=AC，∴BH=∴AH=∴四边形AFDE的面积：S=2=2×==5×6=30．故答案为：5；30．2．（1）解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE．∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHD＝90°，即BG⊥综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且BG⊥故答案为：BG＝DE且BG⊥（2）①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴∠CBK＝∠CDH，∵BK＝DH，BC＝DC，∴△BCK≌△DCH(SAS)，∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，∴△KCH是等腰直角三角形，∴HK=∴BH-②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．由（1）同样的方法可知，BH＝DE，∵四边形CEFG为正方形∴CE＝CH＝1，∴EH=∵AB＝3，∴BD=设DH＝x，则BH=在Rt△BDH中，BH2+解得：x1故此时DH=如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．设DH＝x，∵BG＝DH，∴BH=在Rt△BDH中，BH2解得：x1故此时DH=综上所述，满足条件的DH的值为34-223．解：（1）BD=AE，在△BCD和△∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△BCD∴BD∵∠ACB∴∠CBD∵∠BDC∴∠CAE∴BD（2）成立，理由如下：∵∠ACB∴∠ACB+∠ACD在△BCD和△∵AC=BC，∠BCD∴△BCD∴BD=AE，∵∠BGC∴∠CBD∵∠ACB∴∠CBD∴∠CAE∴∠AFB∴BD⊥（3）如图，过点C作CH⊥CD，垂足为C，交AD于点由旋转性质可得：∠ACB=90°，∵CH⊥∴∠DCH∵∠ADC+∠CHD∴∠CHD=45°∴∠CHD∴CD=在Rt△DCH中：∵∠ACB∴∠ACB+∠ACH在△ACD和△∵AC=BC，∠ACD∴△ACD∴BH=AD=4∴∠CBH∵∠ACB∴∠CBH∴∠DAC+∠2=90°∴∠BHA=90°∴BH⊥∴△BHD在Rt△BDH中，4．解：（1）延长FD到点G使DG=BE，连接AG．如图（1），在正方形ABCD中，AB=AD，∠在ΔABE和ΔADG∴ΔABE≌ΔADG∴∠∴∠∴∠GAF在ΔAEF和ΔAGF∴ΔAEF≌∴（2）∠理由如下：如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠∴∠在ΔABM和ΔADF∴ΔABM∴AF∵∠∴∠∴∠在ΔEAF和ΔEAM∴ΔEAF≌∴∴5．（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝12BC•AE＝12×3×AE＝6，∴AE＝4，∵MD⊥BC，∴当A、M、D三点共线时，AM＋MD的值最小＝AE＝4，故答案为：（2）∵点P是正方形ABCD内一点，∴把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，如图2所示：则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，QC＝PA＝2，QB＝PB＝6，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，PQ＝2PB＝2×6＝23，∵QC2＋PQ2＝22＋（23）2＝16，PC2＝42＝16，∴QC2＋PQ2＝PC2，∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，∴∠CQB＝∠PQC＋∠BQP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝135°；（3）存在一点P和一点Q，使得AQ＋DQ＋PQ有最小值，理由如下：如图3，过点P作EF∥AD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′、QQ′、D′Q、D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，D′Q′＝DQ，∴AQ＝QQ′，∵Q′Q＋D′Q′≥D′Q，即AQ＋DQ≥D′Q，D′Q＋PQ≥D′P，∴AQ＋DQ＋PQ≥D′P，∴当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ＋DQ＋PQ有最小值，最小值为D′P，在长方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴EF∥BC，∵S△PAD＝2S△PBC，∴12AD•AE＝2×12BC•BE，∴AE＝2BE，∴AE＝23AB＝400，∵点P在EF上，∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值，∵AD∥EF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等边三角形，∴AD′＝AD＝800，AG＝12AD＝400，∠AGD′＝90°，∴D′G＝AD'2-AG2=8002-4002=4003，∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四边形AEPG是矩形，∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G＋GP＝4003＋400，∴AQ＋DQ＋PQ的最小值为4003＋400，；∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，在Rt△AGQ中，AG2＋GQ2＝AQ2，∴4002＋GQ2＝（26．（1）证明：∵AB=AC，∴BD=∵P，M分别为DE，DC的中点，∴PM=12∵M，Q分别为DC，CB的中点，∴MQ=12∴PM=（2）解：∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，∴MQ∥DB，∴∠MQC=∠∴∠PMQ=∠DMP=180°-50°=130°；（3）解：△ADE是等边三角形，理由如下：由旋转的性质可知，∠BAC∴∠BAD在△BAD和△CAE中，AB=∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∵P，M为DE，DC的中点∴PM∴∠∵M，Q为DC，BC的中点∴MQ∴∠∴∠MPQ=∠DMP∴∠BAC∴∠DAE又∵AD=∴△ADE是等边三角形．7．解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD∴S1=14S故答案为：1，1，S1=14S（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan15°=2-3，∴CM=CJ-MJ=1-（2-3）=3-1，∴S四边形OMCN=2×12×CM×OJ=3-1（3）如图4，将∠HOG沿OH翻折得到∠HOG'，则△MON≌△M'ON

设M'C=a,∵S△MNM'=1此时OC垂直平分M'N，即ON如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，∵OM=ON∴BM=CN∴当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tanα2=tanα∴MN=2MQ=2tanα2∴S2=S△OMN=12×MN×OQ=tanα如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．∵OC则△COM≌△CON，∴∠COM=α2∵∠COQ=45°，∴∠MOQ=45°-α2QM=OQ•tan（45°-α2）=tan（45°-α∴MC=CQ-MQ=1-tan（45°-α2∴S2=2S△CMO=2×12×CM×OQ=1-tan（45°-α8．（1）解：由旋转的性质，可知CE=∠ACE=∠ECF∴∠ACE∴△ACE∴AE=且EC=∴BE+∴当B，E，F，D四点共线时，BE+DF+连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，∴BO=此时BD=2（2）解：由旋转的性质，可知PC=∠PCA=∠PCD∴∠PCA∴△APC∴PA=且△PDC，  ∴PA+∴当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+∵△PDC∴∠BPC=∠∵AC=∴BC=∴∠PBC∴∠BCP=45°∴当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+过点C作CF⊥AB于点F，如图∵PB=∴CP是线段AB的中垂线，∴C，P，F三点共线，∠∴PA=设PF=1，则PB∴PC=∴PA:（3）解：分别将PC,AC绕点C顺时针旋转60°得到DC,过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，PA+PB+由(2)知：△APC∴∠ECF∵BC=2∴AC=∴EF=∴BF=2+3=5∴在Rt△BEF中由勾股定理得到过点C作CG⊥BE，垂足为G，如图∵S△∴12∴CG=∴PG=∴在Rt△BCG中由勾股定理得到∴PD=∴PD=∴PA:9．(1)解：∵OA=OB，OC=∴△AOD∴AD=BC，又M是BC的中点，且∠BOC=90°，∴OM=MC=BM=12BC=故AD=2OM故答案为：AD(2)AD=2如下图所示，延长DC交AB于点E，连接ME，过点E作EN⊥AD于点∵OA=OB，OC=∴∠A∴AE=DE，BE=∴DN=∴AD=2∵M为BC的中点，∴EM⊥∴四边形ONEM是矩形．∴NE=∴AD=2(3)AD=2延长BO到F，使FO=BO，连接∵M为BC的中点，O为BF的中点，∴MO为△BCF∴FC=2∵∠AOB∴∠AOB+∠BOD在△AOD和△OA∴△AOD∴FC=∴AD=210．解：（1）如图5，连接BF，∵四边形ABCD和BEFG是正方形，∴DA⊥AB，DC⊥BC，DA＝DC，FG⊥BA，FE⊥BC，FG＝FE，∴BD平分∠ABC，BF平分∠ABC，∴点B、F、D在同一条直线上，∵∠A＝90°，AB＝AD，∠BGF＝90°，BG＝FG，∴△ABD和△GBF是等腰直角三角形，∴∠ABD＝∠BDA＝∠GBF＝∠GFB＝45°，∴直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°，BD＝AB2+AD∴BD－BF＝2BD∴DF＝2(∴DFAG=故答案为：①2，②45°（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：连接BF、BD，如图6，由ABCD和GBEF均为正方形可得：BD=2AB，BF∴在△DBF和△ABG中，BDAB∴△DBF∽△ABG，∴DFAG=BD延长DF，交AB于点N，交AG于点M，在△AMN和△DBN中，∵∠1=∠2，∠ANM=∠BND，∴∠AMD=∠ABD=45°，②

AB=45，理由如下：连接BD、BF，如图7，∵D、F、G在同一直线上，由①得∠AGD=45º，∴∠AGD=∠GFB=45°，∵点O是AB的中点，∴OA=OB，在△AOG和△BOF中，∠AGD=∠GFB，∠AOG=∠BOF，OA=OB，∴△AOG≌△BOF，∴OG=OF=12在Rt△BGO中，OB2∴OB=25∴AB=45；故答案为：45；（3）是定值，定值为3，理由如下：作CQ⊥DF，连接BD、BE、BF，BE与CF交于点H，如图8，由四边形ABCD是正方形和折叠可知：BC=EC=DC，EF=BF，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠2+∠3=45º，又∵CQ⊥DF，∴∠5=∠6=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，由（2）①的结论可得：DE=2AF，易知：△PBH∽△PAF，∴AFBH=∴AF=3BH=32∴DE=2AF=∴DEEF11．解：如图，∵AC⊥∴AC=∵S大正方形∴AB·∴25=4×1∴S小正方形∴CD=1∴S△∴S△故答案为：1，92知识迁移：如图，将△ABP绕B点顺时针旋转90°到△∵∠∴BP'∥∴S△∵