第01课时直线方程（解析版）

第八章解析几何第1课时直线方程编写：廖云波【回归教材】1.直线的方向向量若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上的两点，则l的方向向量的坐标为（x2-x1，y2-x1）；若l的斜率为k，则方向向量为(1，k).2.直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．（2）范围：直线l倾斜角的范围是．3.斜率公式（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．4.直线方程的五种形式方程适用范围①点斜式：不包含直线②斜截式：不包含垂直于x轴的直线③两点式：不包含直线和直线④截距式：不包含垂直于坐标轴和过原点的直线⑤一般式：不全为平面直角坐标系内的直线都适用【典例讲练】题型一直线的倾斜角与斜率【例1-1】直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围.【详解】∵直线的斜率,，设直线的倾斜角为，则，解得.故选：A.【例1-2】已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．或C．D．【答案】B【解析】【分析】数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围.【详解】如下图示，当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.故选：B【例1-3】当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】斜率为倾斜角的正切值，根据正切函数值域即可求斜率范围．【详解】当直线l的倾斜角时，则直线l的斜率的取值范围为，故答案为：﹒归纳总结：【练习1-1】已知直线l的一个方向向量为，求直线l的倾斜角和斜率．【答案】直线l的倾斜角，斜率【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率的关系，以及倾斜角的计算公式代入求解即可【详解】由题意，直线l的一个方向向量为故直线的斜率设直线的倾斜角为故解得：故直线l的倾斜角，斜率【练习1-2】若，，三点共线，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由已知条件得出，结合斜率公式可求得实数的值.【详解】由于、、三点共线，则，即，解得.故选：A.【练习1-3】经过两点的直线的倾斜角为，则___________.【答案】2【解析】【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.题型二直线的方程【例2-1】已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为______【答案】【解析】【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程.【详解】因为直线的倾斜角为，且，所以，所以直线的斜率又直线在在轴上的截距为4，所以直线方程为.故答案为：.【例2-2】经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．【答案】【解析】【分析】由点斜式求得方程，化为一般式即可.【详解】由题知，直线斜率为，则直线点斜式方程为：故答案为：【例2-3】设直线l过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为______条．【答案】3【解析】【分析】考虑坐标轴截距为0和不为0，设出直线方程，待定系数法求解直线方程.【详解】当坐标轴截距为0时，设方程为，将代入得：，所以方程为；当坐标轴截距不为0时，设方程为，则有，解得：，或，从而方程为或所以满足题设的直线l的条数为3条.故答案为：3归纳总结：【练习2-1】已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．【答案】证明见解析，【解析】【分析】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标.【详解】证明：原方程整理为，则由得所以点坐标为．【练习2-2】直线绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转，所得的直线方程为______．【答案】【解析】【分析】化已知直线方程为斜截式，求出其倾斜角及与轴的交点坐标，可得旋转后的直线的倾斜角，进一步求得旋转后的直线方程．【详解】解：由，得，则直线的倾斜角为，与轴的交点为，把直线绕它和轴的交点按逆时针方向旋转，所得的直线的倾斜角为，则直线方程为：．故答案为：．【练习2-3】已知，直线在两坐标轴上的截距之和为2，则直线的斜率为______．【答案】2【解析】【分析】根据直线的一般方程，求出直线的横纵截距，然后根据已知写出关系式，带入到原直线方程里求出斜率即可.【详解】对于直线，令解得：令解得：解得：原直线方程可化为：故答案为：.题型三直线方程的应用【例3-1】过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；(2)①当最小，求直线l的方程②当面积最小，求直线l的方程.【答案】(1)(2)①：；②：.【解析】【分析】（1）由题意，求出直线l的倾斜角为，进而可得直线l的斜率，最后利用点斜式即可写出直线l的方程；（2）设，，直线的方程为，把点代入可得，若选①：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程；若选②：，由基本不等式等号成立的条件，即可求得直线l的方程．(1)解：因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，所以直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即；(2)解：设，，直线l的方程为，代入点可得，若选①：，当且仅当时等号成立，此时直线l的斜率，所以直线l的方程为，即；若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，所以，即面积最小为4，此时直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.【例3-2】设直线l的方程为若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长；【答案】【解析】【分析】易知，，由，求出参数的值，从而可得的坐标，即可求出答案.解：由题意知，，由，当时，，当时，，由，得，所以面积，解得，此时，，，所以的周长为，故当面积为12时，的周长为.归纳总结：【练习3-1】已知一条动直线，(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点；(2)；(3)或.【解析】【分析】（1）整理直线方程得．由且可求；（2）由（1）知，直线恒过定点，讨论直线与y轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零即可；（3）设直线的方程，可得，从而可得所求直线的方程．(1)证明：整理直线方程得．由且可得，，故直线恒过定点，；(2)由（1）知，直线恒过定点，当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意；当直线与y轴有交点时，，求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，令，则，，若直线不经过第二象限，则，∴；所以m的取值范围为；(3)设直线方程为，，则，①由题意得，，②由①②整理得，解得，，或，，所求直线的方程为或即或．【请完成课时作业（五十）】【课时作业（五十）】A组基础题1．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.2．若倾斜角为的直线过，两点，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系得到直线的斜率为，再根据两点的斜率公式计算可得；【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C3．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D4．直线恒过定点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点故选：A5．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：B．6．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.【详解】∵∴，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.7．直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．2D．-2【答案】B【解析】【分析】由倾斜角和斜率的定义得，，再结合倍角公式即可求得结果【详解】由题，，直线的倾斜角为，故故选：B8．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．【详解】∵直线过定点，且，，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D9．【多选题】下列四个命题中，错误的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD10．若是直线的一个方向向量，则直线的斜率为_________．【答案】-2【解析】【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.【详解】因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，故答案为：-2．11．若三点、、共线，则实数n的值为______．【答案】0【解析】【分析】根据、、共线，由斜率相等求解.【详解】解：因为三点、、共线，所以，解得，故答案为：012．设直线的方程为，若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为______．【答案】或【解析】【分析】整理直线的方程为，列出方程组，求出直线过点，分截距为0和截距不为0两种情况，得到直线的方程【详解】直线的方程为，即，令，求得，，可得该直线经过定点．由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即．若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得，故直线的方程为．综上可得，直线的方程为或．故答案为：或13．已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程.【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，求出截距后可求面积，从而可求直线的方程.【详解】设直线的方程为.令，得；令，得.由题设得.解得，因此直线的方程为.B组能力提升能1．直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意设，分别求出两点的坐标，所以，代入后利用基本不等式求解即可.【详解】根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为，则，因此，直线，令则有，则，令则有，则.因此，当且仅当即时取等（舍去），故面积最小值为4，此时，即.故选：C.2．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式，联立得到表达式代入求解即可.【详解】解：设，，则，的中点为，，分别在直线和，，，，即.，即，又，，即，所以，即，所以，解得.故选：A.3．吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为，为的导函数．已知在上的图像如图所示，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．存在，使得【答案】D【解析】【分析】A：设，由图得，所以该选项错误；B:根据图像和导数的几何意义得，所以该选项错误；C:设，所以该选项错误；D:结合图像和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解：A：设，由图得，所以所以，所以该选项错误；B:由图得图像上点的切线的斜率越