第四节协方差和相关系数和分布的其他特征数演示文稿

第四节协方差和相关系数和分布的其他特征数演示文稿当前第1页\共有57页\编于星期三\12点（优选）第四节协方差和相关系数和分布的其他特征数当前第2页\共有57页\编于星期三\12点希望有一个数字特征能够在一定程度上反映X与Y的之间相互关系。由方差的性质如果X与Y独立，则这意味着时，X与Y必不独立这说明在一定程度上反映了X与Y的相互联系当当前第3页\共有57页\编于星期三\12点对于二维随机变量(X,Y),如果存在，则称它为X与Y的协方差，记为 即:

1、协方差的定义Covariance协方差2、协方差的常用计算公式：，X,Y同时增加或同时减少，X,Y一个增加另一个会减少当前第4页\共有57页\编于星期三\12点3、协方差的基本性质:当前第5页\共有57页\编于星期三\12点当前第6页\共有57页\编于星期三\12点当前第7页\共有57页\编于星期三\12点

将随机变量标准化，即令则故当前第8页\共有57页\编于星期三\12点若Var(X)>0,Var(Y)>0,称为X,Y的(线性)相关系数.事实上，若

X,Y不相关.无量纲的量若

X,Y

正相关.若

X,Y

负相关.四、相关系数（Correlationcoefficient）当前第9页\共有57页\编于星期三\12点63）是一个无量纲的量。注：1）描述随机变量X和Y间有无线性相关关系2）是X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差.当前第10页\共有57页\编于星期三\12点证当前第11页\共有57页\编于星期三\12点并且

强相关定理证“”于是当前第12页\共有57页\编于星期三\12点设即当前第13页\共有57页\编于星期三\12点有线性关系是一个极端，另一极端是 的场合。

若X与Y的相关系数 则称X与Y不相关。对X、Y，下列事实是等价的：1)

X与Y不相关当前第14页\共有57页\编于星期三\12点

若X与Y独立 X与Y不相关，反之不成立.17

独立性与不相关性都是随机变量间联系“薄弱”的一种反映，自然要求知道这两概念之间的联系，当前第15页\共有57页\编于星期三\12点

例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：

X-101

P1/41/21/4

已知P(‌‌‌‌|X‌|=‌|Y‌|)=0,判断X和Y是否不相关？是否不独立？当前第16页\共有57页\编于星期三\12点当前第17页\共有57页\编于星期三\12点例

设V~U(0,2),X=cosV,Y=cos(V+),是给定的常数，求

解当前第18页\共有57页\编于星期三\12点当前第19页\共有57页\编于星期三\12点若若有线性关系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系当前第20页\共有57页\编于星期三\12点X,Y相互独立X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关命题X与Y相互独立当前第21页\共有57页\编于星期三\12点称为协方差矩阵,简称协方差阵.定义当前第22页\共有57页\编于星期三\12点可以证明协方差矩阵为半正定矩阵定理2当前第23页\共有57页\编于星期三\12点当前第24页\共有57页\编于星期三\12点二维正态随机变量的概率密度为:33当前第25页\共有57页\编于星期三\12点

现将上式中花括号内的式子写成矩阵形式，为此引入下列的矩阵协方差矩阵为34它的行列式: C的逆阵为:当前第26页\共有57页\编于星期三\12点经过计算可知矩阵之积36于是的概率密度可写成:上式容易推广到n维正态随机变量的情况.当前第27页\共有57页\编于星期三\12点引入列矩阵38

n维正态随机变量 的概率密度定义为： 其中C是 的协方差阵。当前第28页\共有57页\编于星期三\12点四、n维正态变量的重要性质：1)n维随机变量 服从n维正态分布的充要条件是 的任意的线性组合服从一维正态分布。402)若 服从n维正态分布，设 是 的线性函数，则 也服从多维正态分布.这性质称为正态变量的线性变换不变性当前第29页\共有57页\编于星期三\12点n维正态分布在随机过程和数理统计中常会遇到.3)设 服从n维正态分布则“ 相互独立”与“ 两两不相关”是等价的。42注：关于正态分布的一个重要结论:设X,Y相互独立,且都服从正态分布则X,Y的任一线性组合:仍服从正态分布当前第30页\共有57页\编于星期三\12点例:(1)设随机变量X与Y独立,且服从均值为1、标准差为的正态分布,而Y服从标准正态方布,试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.(2)已知X,Y相互独立同服从分布,求44分析:由于独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,而正态分布由其均值和方差唯一确定,故只需确定Z的均值E(X)和方差D(X)即可.解:(1)由题意知,且X与Y相互独立故X与Y的线性组合Z=2X-Y+3仍服从正态分布,且当前第31页\共有57页\编于星期三\12点而46故于是Z的概率密度函数为:(2)因为X与Y相互独立,且同服从分布,故X-Y也服从正态分布。当前第32页\共有57页\编于星期三\12点故又因此48当前第33页\共有57页\编于星期三\12点作业P1902427、28、当前第34页\共有57页\编于星期三\12点设二维离散型r.v.(X,Y)的联合分布列若则称为在Y=yj

的条件下,X的条件分布列.1、二维离散r.v.的条件分布定义1§3.5

条件分布与条件期望当前第35页\共有57页\编于星期三\12点若则称为在X=xi

的条件下Y的条件分布列.类似乘法公式当前第36页\共有57页\编于星期三\12点类似于全概率公式当前第37页\共有57页\编于星期三\12点给定

Y=yj

的条件下X的条件分布函数为定义2二维离散r.v.的条件分布函数给定

X=xi

的条件下Y的条件分布函数为当前第38页\共有57页\编于星期三\12点若pY(y)>0,则称为给定Y=y

的条件下X

的条件分布函数.定义3称为给定Y=y

的条件下X

的条件概率密度函数.类似地,称为给定X=x

的条件下Y

的条件分布函数;为给定X=x

的条件下Y

的条件概率密度函数.称2、二维连续r.v.的条件分布和条件密度当前第39页\共有57页\编于星期三\12点注意y是常数,对每一pY(y)>0的y处,只要符合定义的条件,都能定义相应的函数.相仿论述.仅是x的函数,

类似于乘法公式：当前第40页\共有57页\编于星期三\12点类似于全概率公式类似于Bayes公式当前第41页\共有57页\编于星期三\12点3、条件数学期望定义4当前第42页\共有57页\编于星期三\12点当前第43页\共有57页\编于星期三\12点定理1当前第44页\共有57页\编于星期三\12点当前第45页\共有57页\编于星期三\12点当前第46页\共有57页\编于星期三\12点当前第47页\共有57页\编于星期三\12点当前第48页\共有57页\编于星期三\12点作业P.2067818当前第49页\共有57页\编于星期三\12点§2.7分布的其他特征数1、k阶矩定义1设X

为随机变量，k为正整数.若以下数学期望都存在，则称为X的k阶原点距为X的k阶中心矩注：k阶矩存在时，低于k的各阶矩都存在.当前第50页\共有57页\编于星期三\12点中心矩和原点矩的关系常用中心矩用原点矩表示当前第51页\共有57页\编于星期三\12点例1

设随机变量X~N(0，)，求当前第52页\共有57页\编于星期三\12点2、变异系数定义2设随机变量X

的二阶矩存在，则称比值为X

的变异系数.引例用X表示某种同龄树的高度，其量纲为米，用Y表示某年龄段儿童的身高，其量纲也是米.设EX=10,Var(X)=1,EY=1,Var(Y)=0.04.试比较两者的波动大小。当前第53页\共有57页\编于星期三\12点例2

用X表示某种同龄树的高度，其量纲为米，用Y表示某年龄段儿童的身高，其量纲也是米.设EX=10,Var(X)=1,EY=1,Var(Y)=0.04.试比较两者的波动大小。解：X的变异系数为Y的变异系数为说明Y的波动比X的波动大当前第54页\共有57页\编于星期三\12点3、分位数定义3设连续随机变量X

的分布函数为F(x),

密度函数为p(x),对任意，称满足条件

的为此分布的p分位