高考数学二轮复习-高次向低次的转化与变换与第46讲新知识向旧知识的转化与变换解析

文档来源网络侵权删除第45讲高次向低次的转化与变换对于含参数的高次方程,而参数的次数比较低,可运用“主元法”,视参数为主元,解参数为主元的方程,从而达到降次的目的,再解之,则简单许多,对于高次的分式函数,可根据其结构特征采用三角换元法向低次转化才能求解,有些数学题,直接解答难以人手或十分烦琐,特别是复杂的分式问题,利用倒置变换的方法求解,可化难为易.【例1】若关于的方程有4个不同的实数解,则的取值范围为（）A. B. C. D.【分析】本题实质是高次方程又是分式方程,求解的方向必是降次,若能注意到对任意的必是原方程的一个根,则降次就很容易了,问题顿时得到了简化.【解析】有4个实数解,显然,是方程的一个解，下面只考虑情形,且有3个实数解即可.若,原方程等价于,显然,则.要使该方程有解,必须,则,此时,方程有且必有一解;则当时必须有两解,当时,原方程等价于,即,画出函数图像如图所示(注意且),要使该方程有两解,必须,解得,这也是上述几种情况的公共部分,故为所求,选C.【例2】（1）解关于实数的方程,其中(2)的3个根分别为,并且是不全为零的有理数,求的值.【分析】第问,直接解关于的4次方程是相当困难的,但转换与的位置形式,把原方程看作关于的二次方程,则直接可用十字相乘法再转换为两个关于的二次方程,用求根公式解,因为是实根,故判别式不能忘.第(2)问,找出三者的关系可以借鉴二次函数的零点法,当然也可以直接利用一元三次方程的韦达定理来处理,此外,如果高次方程有有理根,那么该有理根应是常数的约数.【解析】(1)原方程可变为关于的二次方程,方程左边利用十字相乘法分解得,从而转化为两个关于的二次方程.解上述两个方程得,当时,原方程有4个实根, 当时,原方程有两个实根,;当时,原方程无实根.（2）由题意可设,则,从而有若,则有当时,,与条件不符,故,从而若,则有消去得.即,也就是.由于是有理数,而方程无有理根,故,从而.综上:或.【例3】设,解关于的方程.【分析】由于原方程是关于的三次方程,难于直接求解,但是注意到参数的最高次幂是2,而且题中给定了的范围,进行参数与末知数的角色转变,将原方程看成是关于的二次方程(即高次向低次转化),就可得到与之间的数学关系,再利用给定的的范围来求出即原方程的解.【解析】.将其看成关于的二次方程,则,或或.对于方程,其.【例4】函数的最大值与最小值的乘积等于（）【分析】由于所给函数是高次的分式函数,形式又较复杂,只有向低次转化才能求解,而三角换元法及三角降次公式有此功效,由于,可令,则解之不难.【解析】令,代人并化简得 即,故.第46讲新知识向旧知识的转化与变换新的课程标准指出:“对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息、综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.”这就要求学生面对陌生情境,迅速提取有用信息,挖掘创新试题的内涵与本质,并合理迁移,运用已学的知识加以解决.典型例题【例1】已知正数满足,则的取值范围是（）【分析】本题是多变量求范围问题,此类题构造较为复杂,是平时很少触及的新题型,解题的关键是需要深入观察两个条件不等式的特点,转化为线性规划问题来求解,当然要实现这一新型题向常规题的转化,构造法发挥重要作用.【解析】已知条件可化为设,则原问题转化为:已知满足求的取值范围.作出点所在平面区域(如图所示),求出的切线的斜率,设过切点的切线为,则,要使它最小,须.的最小值在点处,最小值为,此时,点在图像上两点之间,点对应点时,解得,即,的最大值在点处,最大值为7.的取值范围为,即的取值范围是.【例2】（1）设是两个非空集合,定义且,已知,求；（2）对任意实数,定义运算“*”如下:求:函数的值域。【分析】本例属于定义了一种新的运算的问题,新运算的定义,使得问题处在一个新的背景之下.解决这类新知识题的关键是理解新运算定义的内涵,然后运用等价转化的思想方法,将新知识问题转化为熟悉的旧知识问题加以解决.【解析】(1)由题意得.（2）由题意可知,.即当时,取与中的较小者,而当时,易得的值域为.【例3】对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足下列条件:(1)在内是单调的;(2)当定义域是时,的值域也是,则称是该函数的“和谐区间”.(1)判断函数是否存在“和谐区间”,并说明理由;(2)如果是函数的一个“和谐区间”,求的最大值;(3)有些函数有无数个“和谐区间”,如,试再举一例(无须证明).【分析】本题给出了一个新的数学概念:函数的“和谐区间”,实际上就是定义域与值域相同的区间,结合函数的性质,转化为方程问题,运用方程理论求解,所谓新概念是为问题创设一种新的情况,把新的情境熟悉化,就找到了解题的突破口,这就是“饮水思源”“化新为旧”的解题策略.【解析】(1)设是函数的“和谐区间”,则在上单调。所以或,因此,在上为增函数。则,即方程有两个解。又因为可化为,而无实数解，所以函数不存在“和谐区间”。(2)因为在上单调递增，所以或,则。所以是方程的两个同号的实数根。即方程有两个同号的实数根,注意到。只要,解得或.所以,其中或,所以当时,取最大值。(3)本小题答案不唯一,如可写出下列形式函数:为常数),为常数),等.【例4】求的最值.【分析】有些数学问题虽然并末涉及新知识,比如本题给出的函数解析式,是次数较高的分式函数,初一看可能被吓倒,实际上只要仔细分析其结构特征,利用旧知识及常用的解题方法,其实是很容易解决的,让我们观察分母这个多项式,可化为,这一结构可以联想到万能公式,则分子多项式就可以朝方向变形.如果能发