2023高考前拓展拔高卷（原卷版）

考前能力提升卷01

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.已知集合A={x卜=—j2x—J卜B={y|y=2，,x>0},R为实数集,则仕与口人等于（）

A.RB.（1,2]C.[0,1]D.0

2-hi

2.如果复数片（其中i为虚数单位，匕为实数）为纯虚数，那么人=（）

1+21

A.1B.2C.4D.-4

3.在三棱锥P-ABC中，是等腰直角三角形，AB=BC=2,PC=AC,且PC,平面ABC,则

三棱锥的外接球的表面积为（）

432

A.164B.8乃C.-7iD.—7i

33

4.2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6

个剧种的各一个片段.对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧

必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（）种.

A.120B.156C.188D.240

5.若sin2a=(•,713K

_4，K__K,T_，则a+4的值是（)

A97r子若

74B.—C.—吟D.

A,T4

x~4-X—3%>—j

6.已知函数〃x)=12一一，则函数g(x)=f(x)-a的零点个数为()

--(x+2)2,-34x<-1

A.1B.2C.3D.4

7.已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4,在三角形A8C中心为圆心厂(。<r41)为半径的

圆上有一个动M,则|必+讪+3初4最大值为()

A.13B.底C.5而D.VH+6

8.函数f(x),g(x)的定义域都是。，直线x=为伍与y=f(x),y=g(x)的图象分别交于A,

B两点,若线段A3的长度是不为。的常数，则称曲线y=/(x),y=g(x)为“平行曲线”设

f(x)=ex-alnx+c(a>0,c^0),且y=/(x),y=g(x)为区间(0,+勿)的“平行曲线”其中g(l)=e,g(x)

在区间(2,3)上的零点唯一，则。的取值范围是()

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船顺利升空，这是继2021年9月17日神舟十二号

顺利返回地面后，一个月内再次执行载人飞行任务，实现了我国航天史无前例的突破，为弘扬航

天精神，某网站举办了“我爱星辰大海——航天杯”在线知识竞赛，赛后统计，共有2万市民参加

了这次竞赛，其中参赛网友的构成情况，如下表所示：

单位党政机关企事业单位教师和学生个体工商户普通市民

参赛人数所占比例(单位：%)203025ah

其中则下列说法正确的是()

A.。=20%

B.参赛人数所占比例的这一组数据的众数为30%

C.普通市民参赛人数为1千人

D.各类别参赛人数的极差超过4000人

10.己知x>o,y>o,且x+y2=4,则（）

II9

A.的最大值为2B.1+F的最小值为77

4xy16

C.x+4y的最大值为8D./+寸的最小值为8

H.已知〃x）=2co喟x+可-卜>0,济（0,汾具有下面三个性质:①将/（X）的图象右移万个

单位得到的图象与原图象重合；②VxeR,/（x）4③/（x）在x40,总时存在两个零点，

给出下列判断，其中正确的是（）

A.“X）在xe（0,£|时单调递减

B•我M剑倍度

C.将〃x）的图象左移翥个单位长度后得到的图象关于原点对称

D.若g（x）与〃x）图象关于x对称，则当xe|,y时;g（x）的值域为-11

12.如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1,

所有顶点均在球。的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（）

B•防与平面E”所成的角的余弦值为手;

D.该多面体的体积为乎.

C.该多面体的外接球的表面积为4万；

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.为了弘扬中华民族敬老爱老的传统美德，切实关爱社区老年人的身体健康，社区卫生服务中

心联合医院为老年人进行免费体检，并送上健康的祝福.已知重阳节当天，医院彩超室接待了80

岁以上的老年人5位，70岁到80岁之间的老年人3位，为了进一步了解各年龄阶段老年人的健康

情况，现从8人中随机抽取3人，则抽取的3人中80岁以上的老年人人数的数学期望为.

14.若n是正整数，则7"+7-£+7-七；+L+7C；「除以9的余数是.

15.定义在(-8,0)的可导函数〃x),其导数为y'(X)且3/(X)+AT(X)<0,则不等式

(x+2022)3/(x+2022)+8/(-2)<0的解集为.

⑹已知椭圆的左焦点为凡过原点和厂分别作倾斜角为，的两条直线，/，设小

椭圆C相交于48两点，4与椭圆C相交于M、N两点，那么，当时，|MN|=

当神时

\MN\

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①包里上警=浮；②喀=鼻；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加

sinAb-ccosn2a-b

以解答.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,h,c,且满足.

⑴求角C；

__Q__

(2)若a=8,b=5,。在线段AB上，且满足4方=,A从求线段。的长度

18.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，3a“=2S“+2〃(〃eN)

⑴证明：数歹U｛4+1｝为等比数列，并求数列｛“〃｝的前〃项和为s“；

⑵设〃=log3(a“+i+l)，证明：A/…[

19.临近元旦，高三(1)班共5()名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演.张老

师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演.游戏规则如下：班长先确定

班上参与游戏的同学人数〃(〃>2)；每位同学手里均有〃张除颜色外无其他区别的卡片；第k(k=l,

2,3,L,〃)位同学手中有&张红色卡片，张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从

该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参

加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演.

⑴若〃=3,求张老师同意参加文艺表演的概率；

(2)若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？

20.如图，平面A88,B//A£,AD//8C,AD1AB,AB=AD^I,AE^BC=2.

⑴求证：。旧//平面8。/；

(2)若二面角E-BD-/的余弦值为g,求直线F8与平面A8C。所成角的正切值.

22

21.我们把椭圆£；:宁+丁=1和&:F=%称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质.过

椭圆当上任意一点P作椭圆£的两条切线，切点分别为A、B,切线以、P8与椭圆灯另一个交点

分别为Q、R.

⑴设A(XQJ,证明:直线年+yy=i是过A的椭圆片的切线；

⑵求证：点A是线段相的中点；

(3)是否存在常数4,使得对于椭圆E?上的任意一点P,线段QR的中点”都在椭圆4上，若存在，

请求出2的值；若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(x)=e*,g(x)=or2+6x,a,6eR.

⑴当6=0时，方程/(x)+g(x)=0在区间(0,+8)上有两个不同的实数根，求a的取值范围；

(2)当时,设.f是函数尸(x)=/(x)-g(x)两个不同的极值点,证明:弩<皿2°).

第10篇考前押题冲刺卷01

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.设集合A={l,2},3={x|依-2=0},若则由实数a组成的集合为()

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1.21

2.已知-2+i是关于x的方程2/+如+〃=0的一个根，其中也则〃z+〃=()

A.18B.16C.9D.8

3.不等式“1。83》>1”是"(；),<1”成立的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数〃X)=Q)'-2",则f(x)(

)

A.是偶函数，且在(0,+8)单调递增B.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

C.是奇函数，且在(0,+8)单调递增D.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

5.设数列｛为｝的前〃项和为5“，若2a“-S“=3,则4=()

A.96B.64C.48D.32

6.已知万=(1』)石=(2,〃。,万J.(万一5),贝"5|=()

A.2B.及C.1D.0

7.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名

医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；8表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往

②村庄“，则（）

A.事件A与8相互独立B.事件A与C相互独立

C.尸（B|A）=3D.P（C|A）=4

8.已知抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,过F且倾斜角为9的直线/与抛物线相交于A,8两点，

4

|AB|=8,过A,8两点分别作抛物线的切线，交于点Q.下列说法正确的是（）

A.QA^-QBB.AAOB（。为坐标原点）的面积为4夜

C.$+需=2D.若M（l/），P是抛物线上一动点，则IPMI+IPFI的最

|AF|\Br\''

小值为I

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在研究某种产品的零售价x（单位：元）与销售量）‘（单位：万件）之间的关系时，根据所得

数据得到如下所示的对应表：

X1214161820

y1716141311

利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为：y=bx+26.2,则下列说法中正确的是（）

A.3>0B.h<0

C.回归直线必过点（16,14.2）D.若该产品的零售价定为22元，则销售一定是9.7万件

10.关于函数f（x）=2sin12x+£|,下列说法正确的是（）

A.函数y=/（x）的图象可由函数>=2sin2x的图象向左平移?个单位得到

B.的图象关于直线》=-手对称

O

c.y=/（x）的表达式可以改写为〃X）=-2COS（2X-£|

D.若函数在的值域为『夜，2],则机的取值范围是仁尚

11.以下四个命题表述错误的是（）

A.直线⑺-Dx+（2m-l）y=m-3（meR）恒过定点（-5,-2）

B.圆产+丁=2上有且仅有3个点到直线/:x-y+l=O的距离都等于在

2

C.曲线G：/+y2+2x=o与。2；一+丁一4冗-8），+〃?=0恰有四条公切线，则实数”的取值范围为

m>4

D.已知圆C:/+y2=2,p为直线x+y+26=0上一动点，过点尸向圆C引条切线PA,其中A为

切点，则E4的最小值为夜

12.在正方体ABCD-AMCQ中，点。为线段AA上一动点，则（）

A.对任意的点。，都有BQ1C。

B.三棱锥8-8（。的体积为定值

C.当。为4。中点时，异面直线用Q与BC所成的角最小

D.当。为4。中点时，直线用Q与平面BCG耳所成的角最大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.若直线G+y=O与直线2x+勿7=0平行，其中。、b均为正数,

14.若（2x7）”的展开式中第5项的二项式系数最大，则〃=

.（写出一个即可）

15.在三棱锥P-ABC中，PA=PC=AC=AB,43_L平面PAC,三棱

锥P-ABC的顶点都在球。的球面上.若三棱锥P-ABC的体积为

迪，则球。的表面积为__________.

4

16.已知函数〃尤）=——->其单调增区间为；若对于\/不々€（1，+8）,工产々，都有

X

\f（xt）-f（x2）\<k\lnxt-\nx2\,则改的取值范围是.

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①2=(sinA,cosA),B=(-1,6)且/J_6,®2acosA=bcosC+ccosB,③asinB=6c°s(A-^J这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.

问题：锐角的内角4B,C的对边分别为a/c,。=4且

⑴求4

⑵求sinb+sinC的最大值.

18.设等差数列｛叫的首项为1,数列他｝满足：4=1,&=2,且a"「b”=a"也-黑(”eN*).

(1)求等差数列｛。,,｝的通项公式;

⑵求数列,的前n项和5,,,

■+1)%.

19.如图所示在多面体ABC-DEF中，43,平面A8C,四边形AC/7)是正方形，EF//BC,BC=2EF,

ABLAC,AB=AC=2.

⑴求证：直线4尸〃平面班比；

⑵求平面以龙与平面CDE夹角的余弦值.

20.甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜

利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分

别为E3，p2且每局比赛的结果相互独立.

⑴求甲夺得冠军的概率；

(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”

再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不

换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出

冠军后，盒内新球的数量为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

21.已知M(%，O)，N(O,%)两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|=3,若动点G满足标=2己而，设

动点G的轨迹为曲线E.

⑴求曲线E的方程；

(2)过点G作直线MN的垂线/,交曲线E于点P(异于点G),求APMN面积的最大值.

22.已知函数"x)=《+a(x-lnx)(e为自然对数的底数).

X

⑴当。=1时，求，(X)的极值；

⑵若函数/⑸在2)上有三个不同的极值点，求实数。的取值范围.

考前押题冲刺卷02

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.己知集合4={-2,-1,0,1,2},8=3丫=2*+1},则Afi低8)=()

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,0,1}C.{0.1,2)D.{-1,0,1,2)

【答案】B

【解析】

【分析】

求得集合8=3。>1},得到今B=结合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】

由题意，集合B={y|y=2'+l}={y|y>l},可得4B={y|y41},

又由A={-2,-1,0,1,2）,可得AQ他5）={-2,-1,0,1}.

故选：B.

2.若复数z满足（2-i）z=iQ,则2=（）

21,21.「21.

AA.1--iBn.------1C.------1

555533

【答案】B

【解析】

【分析】

根据i的幕运算的周期性、复数的除法运算法则计算可得结果.

【详解】

|2022|22+i21.

由（2-止=严得:z-.......=-------=---------=-------------------------1

2-i2-i2-i（2-i）（2+i）55

故选：B.

3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1,1,2,3,

5,8,…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90。的圆弧，这些圆弧

所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦

鹉螺等.如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该

圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（）

A.2叵B.—C.—D.-

154154

【答案】D

【解析】

【分析】

根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求.

【详解】

由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和,

即接下来的圆弧对应的圆面半径是5+8=13,

圆锥的母线长为13,

对应的弧长是2%xl3x；=等，

设圆锥底面半径为小则2仃=手，解得

24

13

所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为五=L

134

故选：D.

4.将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个

学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有()

A.2400种B.1800种C.1200种D.1600种

【答案】B

【解析】

【分析】

将6名教师分组，只有一种分法，即1,1,1,12然后按照分组组合的方式即可.

【详解】

Z~»lZ^l

16yL4yL2

将6名教师分组，只有一种分法，即共有

国，

再排列得生年Gx&=1800,

故选：B.

5.若a,夕均为锐角，sina=3叵，cos(a+^)=-^

,则cosp=()

53

A.—正B.—C.--D.-侦

252555

【答案】B

【解析】

【分析】

由cos£=cos[(a+0-a]结合平方关系可解.

【详解】

因为。为锐角，sina9所以cosa=J1-sin2a=、

3

又a,夕均为锐角，所以。+/€(0,万)，所以sin(a+Q)=g,

所以cosp=cos[(a+4)一a]=cos(a+/?)cosa+sin(a+〃)sina

4石32百2A/5

=----x-------F—x-------=-------

555525

故选：B

6.在圆J+y2-4x+2y=0内，过点E（l,0）的最长弦和最短弦分别是AC和8D,则四边形ABCD的

面积为（）

A.B.5石C.4岳D.2>/15

【答案】D

【解析】

【分析】

由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦|AC|=2。，最短弦为过点E（l,0）与AC垂直的弦，再求得

BD的长，可得面积.

【详解】

圆/+/-4》+2'=0化简为（x-2）2+（y+l）2=5可得圆心为（2,-1）/=逐

易知过点E（l,0）的最长弦为直径，即|AC|=2«

而最短弦为过E（l,0）与AC垂直的弦，圆心（2,-1）到E（l,0）的距离：

6/=7（2-1）2+（-1-0）2=72

所以弦|8。|=2〃—/=2石

所以四边形ABCD的面积：S=^ACBD=2>Ji5

故选：D.

7.在皿中，向量而与尼满足儒+匍反肛且熹焉考则―>

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行四边形法则以及数量积公式、等腰三角形的性质得出AABC为等腰直角三角形.

【详解】

NBAC的角平分线垂直于8C,根据等腰三角形三线合一定理得到

为等腰三角形，又•••满・急=三，•••ZABC=45。，则/3C为等腰直角三角形，

故选：D.

8.已知a,b,ce(O,l),且a-lna+l=e,Z?-ln/?+2=e2,c-lnc+3=e，其中e是自然对数的底数，

则()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】

设〃x)=x-lnx,g(x)=e，-x,然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得

答案.

【详解】

,.'a,h,f€(O,l),a-lna=e-l,b-\nb=e2-2,c-lnc=e3-3»

1r_1

令/(x)=x-lnx,xe(O,l),/(x)=1—,

当x«O,l)时，r(x)<。，/(x)在(0」)上单调递减，

令g(x)=e*—x,xe[l,-H»),g[x)=e*-l,当x21时，ex-1>0.

所以g(x)在[1,用)上单调递增，即e-I<e2-2<e3-3,

a-\na<b-\nb<c-\nc,即/(a)</(/?)</(c),

・\a>b>c.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某企业2019各月份的收入、支出的统计情况如以下图表所示（注：结余=收入-支出），下列说

法中正确的是（）

C.月结余的中位数为30万元D.结余最少的月份是1月份

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据平均数的计算方法、中位数的定义，结合图表逐一判断即可.

【详解】

由图可得上半年的平均月支出为-------------------=，A正确；

7月份结余80-20=60万元，为最多，B正确；

1-12月的月结余（单位：万元）分别为:20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30,...月结余的中

位数为30,C正确；

4月份结余30-20=10万元，为最少，。错误.

故选：ABC

10.若正实数a,6满足a+6=l,则下列说法错误的是（）

A.必有最小值1B.8&+8斯有最大值8立

C.?有最小值4D.〃+从有最小值也

ab2

【答案】AD

【解析】

【分析】

求得时最值判断选项A；求得8G+8诉最大值判断选项B；求得；最小值判断选项C；求得

ab

“+b2最小值判断选项D.

【详解】

选项A：^\=a+b>2>fah（当且仅当。=6=；时等号成立），

得帅工：,故必有最大值;判断错误；

44

选项B：（&+〃）=a+h+2y[ah=1+2\[ah<1+=

（当且仅当。=6=;时等号成立），

则（6+正『42,则8&+8妍有最大值80.判断正确；

选项C：工+:=牛=々24（当且仅当时等号成立），

ababab2

故:有最小值4,判断正确；

ab

,1i

选项D：a2+b2=（a+b\-2ab=i-2ab>-（当且仅当“=匕=5时等号成立），

所以/+〃有最小值，判断错误.

故选：AD.

11.下列命题正确的是（）

A.VxG（2,+00）,都有x2〉2r

B.%=»是函数"y=cos22以一sin22ax的最小正周期为乃''的充要条件

C.命题p：3xo^R,以0）=4%2+xo+a=O是假命题，贝I]”e（—oo,—^-）0（-^-,+<»）

D.已知a,gR,则“a=£”是“tana=tan夕'的既不充分也不必要条件

【答案】CD

【解析】

【分析】

对于A、B、D举反列即可；对于C,p为假命题，所以rp为真命题，，即不存在x°GR,使人助）

=0,故/<0即可判断；

【详解】

[解析]A错，当x=4时，42=2匕故不等式不成立；

B错，y=cos22ar—sin22ax=cos4ar,当a=g时，y=cos2x,其最小正周期为江；当a=-g时，y

=cos(—2x)=cos2x,其最小正周期为兀，故说法不正确；

C正确，因为p为假命题，所以下为真命题，即不存在xoWR,使*xo)=O,故/=1—4°2<0,且存0,

解得或a<-y；

。正确，如果两个角为直角，那么它们的正切值不存在，反过来，如果两个角的正切值相等，那

么它们可能相差&乃(keZ),故反之不成立.

综上，CD正确.

故选：CD.

12.在三棱锥P—ABC中，AB=AC=BC=30PA=PB=PC=5,D,E,F分别为AB,AC,BC

的中点，则以下结论正确的是()

A.平面PDE_L平面ABCB.平面%F_L平面ABC

C.AB〃平面PFED.三棱锥P—ABC的外接球表面积为2兀

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用逆推方式要证明面面垂直，就去证明线面垂直，再去证线线垂直，根据题意不存在AMLPM即

可判断A选项；根据面面垂直的判定定理及等腰三角形的三线合一即可判断B选项；根据线面平

行的判定定理结合三角形的中位线定理即可判断C选项；要求三棱锥P-48C外接球的表面积，首

先找出外接球的球心，在利用球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球

的半径即可求解外接球的表面积进而可以判断D选项.

【详解】

如图所示，

对于A,设AF与。E的交点为M,则AF和DE垂直，若平面PDEL平面ABC,那么根据面面垂

直的性质定理，必有AFJ_平面POE,此时须有成立，又因为M是AF的中点，此时须

有PA=P/成立，上式显然不成立，所以A不正确；

对于B,由于AC=AB,PC=PB,因止匕A产，8c且AF^PF^F,又AF,PFu平面鬼尸，

故BC_L平面也凡而8Cu平面A8C,所以平面以FJL平面A8C,所以B正确；

对于C,由于EF/M8,EPu平面PE尸，ABZ平面PEF,因此AB//平面PFE,所以C正确；

对于D,作PNL平面A8C,垂足为N,则N为正三角形ABC的重心，所以4V=3,PN=4,设

三棱锥P-A8C的外接球球心为0,则。在PN上，连接A0,设三棱锥P-A8C的外接球半径为R,

则在“ON中，/?2=（4-/?）2+32,解得R=竽，因此其外接球表面积为喀，所以。不正确，

o10

故选：BC.

【点睛】

解决此类型题的关系记住线面，面面平行与垂直的判定定理及性质定理，求外接球的问题关键核

心就是找出球心，找球心的方法就是找截面圆的圆心，再做过截面圆的圆心的垂线，球心就在过

截面圆的圆心的垂线上，然后球的半径、截面圆半径、球心到截面圆圆心的距离三者关系求出球

的半径进而可以求解关于球的任何问题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.写出一个同时具有性质①②的函数/（"）=.（“X）不是常值函数），①（（x）为偶

函数；②r（x+万）=r（x）.

【答案】gsin2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】

利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.

【详解】

由ra+乃）=r（力知函数/‘（X）的周期为万，则r⑺=cos2x,

同时满足r（x）为偶函数，所以〃x）=gsin2x满足条件.

故答案为：gsin2x（答案不唯一）.

14.橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地

方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可

能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的

质量g（单位：g）近似服从正态分布2（90面），且p（86<六90）=0.2,在有1000个的一批橘果中，

估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为.

【答案】300

【解析】

【分析】

先按照正态分布计算出不低于94g的概率，再计算出个数即可.

【详解】

结合正态分布特征，P（86<J49O）=P（9O<J494）=O.2,P（短94）=上三丝=0.3,所以估计单个果

品质量不低于94g的橘果个数为0.3x1000=300.

故答案为：300.

15.已知（2x—1）（x—2）=4+4（x—1）+a»（x—1）+…+c（5（x—1）,贝q+%+%+4+%=

（用数字作答）

【答案】1

【解析】

【分析】

利用赋值法，先求得再求得％+4+见+…+%的值，即可得答案.

【详解】

令x=l,则4=（2xl_l）4（l_2）=-l,

令x=2,则（2x2-1）（2-2）=4+4（2-1）+生（2-1）-H--h6f5（2—l）,

即/+4+/H-----1-a5=0,

故4+/+…+%=_/=1,

故答案为：1

16.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸且斜率为1的直线与抛物线交于两点，|A网=8,P（x,y）

为抛物线C上一动点，抛物线的方程为;》+三浮1的最小值为.

【答案】丫一以；巫一1.

2

【解析】

【分析】

2

设直线方程并联立抛物线方程求以+为=2p,yAyB-P,应用弦长公式列方程求〃，即可得抛物

线方程，由x+卜蒙」的几何意义,将问题转化为F到直线X—y+4=0距离最小，应用点线距离

公式求最小值即可.

【详解】

由题设，吗,0）,则y=x4,联立抛物线可得y-2所p』，

所以）7+%=2乙yAyB=-p-,故I=01%—%|=夜•"（%+%）2-4m先=8,

所以，由“。有4P=8,贝!|p=2,故抛物线方程y2=4x.

由x+七美^表示>2=4'上点至|J直线x-y+4=0与y轴距离之和，

如上图，x+巴炉=|PA|+|PB|-1=|PA|+|PF|-1,要使目标式最小，只需AP,F共线且尸到直线

5_5x/2

x-y+4=0距离最小，即|B4|+|PF|=|AF|=

所以(，+中)哂=华—L

故答案为：1;述-1

2

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①cos2A=cos(8+C),②asinC=&ccosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给

出解答.

问题：在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

⑴求A；

⑵b=2,c=4,求A45C的BC边上的中线4)的长.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴A=

⑵AD=y/l

【解析】

【分析】

(1)选①，由余弦的二倍角公式和诱导公式变形后可求得A；选②，由正弦定理化边为角后可求

得A；

(2)利用中线向量公式而=?而+而)，平方后结合数量积的运算可得.

(1)

选①，即cos2A=cos(3+C),得28s2A-l=-cosA,

/.2cos2A+cosA-1=O,/.8sA=-l或g,

QAG(0,7r),/.A=p

选②，即as\nC=>/3ccosA,由正弦定理得sinAsinC=5/3sinCeosA,

QA,Ce(0,7r),tanA=>/3,A=；

(2)

____1_._.

・・•AD是△ABC的边8c上的中线「♦A。=5(A3+AC),

IMS21IRU，UHIIUDUUU，]兀]jr

:.AD=：(A8+2AB-2AC+AC)=-(?+2C-/JCOS^+/>2)=-(42+2X4X2XCOS^+22)=7

AD=y/l.

18.已知数列｛q｝满足g+与+?+•••+*=〃.

2462n

(1)求数列｛叫的通项公式;

(2)设2=(一1)"求数列｛%｝的前〃项和加

【答案】⑴4=2〃

⑵S,，=7+(7)”而

【解析】

【分析】

(1)当〃22时，由胃+今+今+•••+?=”，可得g+今+今+-・+%=”-1，两式相减化简可求

2462n2462n-2

得通项，

1L

(2)由(1)得2=(-1)"("-/7]=(-i)"p+—然后利用裂项相消法可求得结果

\nn+1J7\nn+\)

(1)

因为+…+孑=〃，

2462n

所以〃之2时，

%*,%_

------11------r•••H---------------

2462〃-2

两式作差得，M=i,

2n

所以“22时，a„=2n,

又〃=1时，:1,得4=2,符合上式,

所以｛%｝的通项公式为%=2〃.

(2)

所以S“=4+瓦+瓦+…+b“

即数歹U{"}的前〃项和s,=-1+（-1）"-^.

n+\

19.新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解

能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽

车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某车企调查了近期购车的200位车主的性别与

购车种类的情况，得到如下数据：

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

男性8020100

女性6535100

总计14555200

⑴根据表中数据，判断能否有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

⑵已知该车企有5种款式不同的汽车，每种款式的汽车均有新能源和传统燃油两种类型各1辆.假

设某单位从这10辆汽车中随机购买4辆汽车，设其中款式相同的汽车的对数为九求€的分布列

与数学期望.

附.K2=Mad-bc)。

(4+/?)(c+d)(a+c)(力+d)'fl—4十〃十。十6

P(K,/)0.100.050.0250.010

2.7063.8415.0246.635

【答案】（1）有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关

（2）分布列答案见解析，数学期望：|

【解析】

【分析】

（1）计算K?，与临界值比较得出结论；

（2）写出随机变量的取值，分别计算对应概率，即可得出分布列，求期望即可.

(D

根据题意可得K=200(80*35-65x20)2=1800。593>3,841,

145x55x100x100319

所以有95%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关.

⑵

4的可能取值有0,1,2,

r4.?4R等g32)喑V

则「q=0)=-^=^,P(4=1)=

CIO21

所以4的分布列为

012

84I

p

21721

因此,£(^)=0XA+1X1+2X±=|.

20.如图，在三棱柱「BC-A耳G中,48=4,)847=30,侧面BCG片是正方形，E是BB1的中点,

CE=®CELAC.

⑴求证：CCJAJ

⑵厂是线段AG上的点，若平面A8C与平面C所的夹角为45。，求4尸的长.

【答案】(1)答案见解析；

吟

【解析】

【分析】

(1)先证明出ACLBC,利用线面垂直的判定定理证明出AC,平面8CC/5,即可得至UACLCC/.

(2)以C为原点，CA,CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，用向量

法求解.

(1)

因为四边形BCG®为正方形，E为35/的中点，CEf,所以