新教材苏教版高中数学必修第一册第7章三角函数 知识点考点重点难点归纳总结

第七章三角函数

7.1角与弧度............................................................1

7.1.1任意角........................................................1

7.1.2弧度制........................................................8

7.2三角函数概念.......................................................12

7.2.1任意角的三角函数.............................................12

7.2.2同角三角函数关系.............................................18

7.2.3三角函数的诱导公式..........................................23

第1课时三角函数的诱导公式(一〜四)...........................23

第2课时三角函数的诱导公式(五〜六)...........................27

7.3三角函数的图象和性质..............................................31

7.3.1三角函数的周期性............................................31

7.3.2三角函数的图象与性质........................................34

第1课时正弦、余弦函数的图象................................34

第2课时正弦、余弦函数的图象与性质.........................38

第3课时正切函数的图象与性质................................44

7.3.3函数y=Asin(3x+(p).....................................................................................50

7.4三角函数应用.......................................................55

7.1角与弧度

7.1.1任意角

知识点1任意角的概念

(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋

转到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置

和终止位置称为角的始边和终边.

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转所形成的角

负角按顺时针方向旋转所形成的角

一条射线没有作任何旋转,称它形成了一

零角0A

个零角

思考1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？

［提示］不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了

旋转，则这个角就不是零角.

(3)两角的和、互为相反角、两角的差：

对于两个任意角a,B，将角a的终边旋转角伙当B是正角时，按逆时针方

向旋转；当口是负角时，按顺时针方向旋转；当夕是零角时，不旋转)，这时终

边所对应的角称为a与8的和，记作a+6.射线0A绕端点0分别按逆时针方向、

顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角a的相反角记为二攵，

于是有a—8=a+(—/3).

知识点2象限角与轴线角

(1)象限角：以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴，建立平面直

角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.

(2)轴线角：终边在坐标轴上的角.

知识点3终边相同的角

与角a终边相同的角的集合为{用.=%360。+匾ZGZ}.

思考2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？

［提示］终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的

角的表示方法不唯一.

考点

D类型1角的概念辨析

【例1】(1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180。的角是

钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角.

其中正确说法的序号为(把正确说法的序号都写上).

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列

各角，并指出它们是第几象限角.

①420°.②855°.③一510°.

(1)①［①锐角是大于0。且小于90。的角，终边落在第一象限，是第一象限

角，所以①正确；

②一350。角是第一象限角，但它是负角，所以②错误;

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误;

④360。角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误.］

(2)［解］作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420。是第一象限角.

②855。是第二象限角.

③一510。是第三象限角.

1........成思领悟............................

1.理解角的概念的关键与技巧

(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.

2.象限角的判定方法

(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.

(2)第一步，将a写成a=k36(T+伙女WZQOW.＜360。)的形式；

第二步，判断用的终边所在的象限；

第三步，根据夕的终边所在的象限，即可确定a的终边所在的象限.

提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋

转幅度”决定角的“绝对值大小”.

D类型2终边相同的角与象限角

【例2】已知a=—1910。.

(1)把a写成夕+匕360。(正2,0嚏夕＜360。)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求仇使。与a的终边相同，且一720。或。＜0。；

(3)若与a终边相同的最大负角、最小正角分别为行，仇，求夕十仇.

［思路点拨］(1)把a写成夕+/360。(人昼2,0。或夕＜360。)的形式后，判断夕所在

的象限即可.

(2)将。写成。=4+攵S60。伏£2,0。・夕<360。)的形式，用观察法验证女的不同

取值即可.

［解］(1)法一：•；一1910。=-6*360。+250。，

A-1910。角与250。角终边相同，

.,.a=-6X360°+250°,它是第三象限角.

法二：设6(=夕+攵.360。(攵62),

则尸=一1910°—上360°eWZ).

令一19100—上360020,解得ZW—粤书=-5以.

JOU30

攵的最大整数解为左=-6,相应的夕=250。，

于是a=250°—6X360°,它是第三象限角.

(2)由(1)知令e=250°+A?360°(ZWZ),取％=—1,-2就得到符合一

720°W8<0°的角：250。-360。=一110。，250。-720。=-470°.故。=一110°或一

470°.

(3)因为与a终边相同的角为£=。36同+250°/=Z).

所以取女=-1,0得与a终边相同的最大负角为61i=-110°,最小正角为仇

=250°,所以8+仍=140°.

厂......成思领悟...........................

1.把任意角化为Jt-360°+a(A：ez且(rWa<360。)的形式，关键是确定k,

可以用观察法(a的绝对值较小)，也可用除法.

2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知

角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出上的值.

3.终边相同的角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360。的整数倍.

(2)终边在同一直线上的角之间相差180。的整数倍.

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90。的整数倍.

提醒：kez,即％为整数这一条件不可少.

II类型3区域角的表示

【例3】已知，如图所示.

①分别写出终边落在。8位置上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

［解］①终边落在0A位置上的角的集合为{砒7=90°+45。+%-360。，ZWZ}

={a|a=135°+k360°,kGZ}；

终边落在08位置上的角的集合为{砒/=-30。+/360。，kGZ}.

②由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于［一30。，135°］

之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为⑷-30。+

/360°WaW135°+匕360°,RGZ}.

［母题探究］

1.（变条件）若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在《

阴影部分（包括边界）的角的集合如何表示？'挈

［解］在0。〜360。范围内，终边落在阴影部分（包括边界）75端0。

的角为60。忘6<105。与240。★£<285。，所以所有满足题意的角

P为伊体360。+60°W夕</360。+105°,攵GZ}U{夕的360。+令B

240。忘夕<心360。+285。，kGZ}

={用2kl800+60。180。+105。，ZWZ}U{川（2Z+1）-180°+60。0<Qk

+l）-180o+105o,kGZ）

={9180。+60°q<〃480°+105。,nEZ）.

故角，的取值集合为{⑼〃•180。+60。或或<〃・180°+105°,”WZ}.

2.（变条件）若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部y

分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？、6°。

［解］在0。〜360。范围内，阴影部分（包括边界）表示的----x

范围可表示为：150。忘夕或225。，则所有满足条件的角夕为

{用k360°+150°WQWA?360°+225°,k£Z］.

........•JK思领悟•••”•・

表示区间角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的

角a和夕，写出最简区间｛x\a<x</3］,其中夕一a<360。；

第三步：起始、终止边界对应角a,夕再加上360。的整数倍，即得区间角集

合.

类型4角半〃如WN*)所在象限的确定

【例4】已知a是第二象限角，求角卷所在的象限.

［解］法一：Ya是第二象限角，

二匕360°+90°<a<%360。+180°伙GZ).

kak

二2-360°+45°<2<2-360°+90°(ZGZ).

当上为偶数时，令女=2〃(〃ez),得

“•360°+45°<^<发360°+90。，

这表明与是第一象限角；

当上为奇数时，令&=2〃+l(〃WZ),得

a

〃S60°+225°q<〃-360°+270。，

这表明今是第三象限角.

.•皮为第一或第三象限角.

法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正向的上方起，依次将各区

aCt

域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为5的终边所在的区域，故］为第一或

第三象限角.

［母题探究］

在本例条件下，求角2a的终边的位置.

［解］:a是第二象限角，

，/360。+90。<小360。+180。(攵GZ).

二七720。+180°<2a<A:-720o+360。依GZ).

.•.角2a的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.

厂......•成思领悟.......................

倍角、分角所在象限的判定思路

(1)已知角a终边所在的象限，确定〃a终边所在的象限，可依据角a的范围

求出〃a的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉〃a的终边在坐

标轴上的情况.

(2)已知角a终边所在的象限，确定彳终边所在的象限，分类讨论法要对女的

取值分以下几种情况进行讨论：攵被〃整除；女被“除余1；女被“除余2,…，k

被〃除余〃一1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观.

7.1.2弧度制

知识点1弧度制的概念

(1)角度制：规定周角的+为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫

作角度制.

(2)弧度制:把长度等于坐径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad,

用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.

思考ki.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？

［提示］“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关.

星道k2.比值m与所取的圆的半径大小是否有关？

［提示］一定大小的圆心角a所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与

半径大小无关.

知识点2角度制与弧度制的换算

(1)角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=27：rad2兀rad=360°

180。=匹rad兀rad=180°

71180』

l°=7^radQ().O1745rad1rad==度心57.30°

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

角度0°1°30°45°60°90°

兀三7T7T匹

弧度0

1806432

角度120°135°150°180°270°360°

2兀3兀5兀3兀

弧度兀2兀

T~46

(3)任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是。.

思考3.角度制与弧度制之间如何进行换算？

［提示］利用l°=T^radF).01745rad和1rad=二°心57.30°进行弧度与

1oU、兀，

角度的换算.

知识点3扇形的弧长公式及面积公式

(1)弧度制下的弧长公式：

如图，/是圆心角a所对的弧长，一是半径，则圆心角a的弧

度数的绝对值是3=%弧长/=皿.特别地，当「=1时，弧长/

=lal.

(2)扇形面积公式：

在弧度制中，若汝忌2兀，则半径为r,圆心角为a的扇形的面积为S=空•无户

(3)引入弧度制的意义

角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即

角的集合与实数集R之间建立了对应关系；每一个角都对应唯一的一个实

数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了

基础.

考点

□类型1角度制与弧度制的互化

【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度:

兀4兀

(1)-450°；(2)正；(3)一至；(4)112。30’.

兀57r

［解］(1)—450°=—450rad=-7rad

1oUZ

(2启rad="*噜=18。.

4兀4兀180°

⑶一至rad=-yX-=-240°.

7T5兀

(4)112°30/=112.5°=112.5rad=7-rad

1OUo

.....(JS思领悟......

角度制与弧度制换算的要点

提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度.

类型2用弧度制表示角的集合

【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落

在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示).

［解］(I)'—京+2女兀〈夕＜卷兀+2如火£Z|

3兀3兀

⑵—w+2E＜e＜4+2E,kGZ.

兀兀

(3)‘。5+左兀＜。＜］+左兀，々GZ;

厂.......应思领悟............................

1.弧度制下与角a终边相同的角的表示

在弧度制下，与角a的终边相同的角可以表示为{⑼.=2E+a,ZWZ},即

与角a终边相同的角可以表示成a加上2兀的整数倍.

2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤

(1)仔细观察图形.

(2)写出区域边界作为终边时角的表示.

(3)用不等式表示区域范围内的角.

提醒：角度制与弧度制不能混用.

类型3扇形的弧长及面积问题

【例3】已知扇形的周长为8cm.

(1)若该扇形的圆心角为2rad,求该扇形的面积；

(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角.

［解］设扇形的半径为r,弧长为/,扇形面积为S.

(1)由题意得：2r+/=8,l=2r,

解得厂=2,1=4,S=g/r=4.

⑵由2r+/=8得/=8一2匕(0,4),

则5=^/r=(8—2r)r=4r—r=—(r—2)2+4,

当r=2时，Smax=4,此时/=4,圆心角a=：=2.

［母题探究］

1.(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为3cm2,求扇形的圆心角的

弧度数.

［解］设扇形的半径为r,弧长为/,圆心角为a,

扇形面积为S.

2r+/=8,

由题意得：h

同=3,

解得/=6,尸=1或/=2,r=3,

I.7

所以a=;=6或g.

2.(变条件，变问法)本例条件中“周长为8cm”改为“面积为8cm2”，在

(1)的条件下求该扇形的弧长.

［解］设扇形的半径为r,弧长为/,扇形的面积为S,则由

S=；.a«得8=1x2Xr2,

所以r=2也，

所以/=a尸=2X2啦=4/(cm).

厂........成思领悟.............................

弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点

(1)解题策略：

①明确弧度制下扇形弧长公式/=|如，扇形的面积公式S斗产=如户(其中I

是扇形的弧长，a是扇形的圆心角).

②涉及扇形的周长、瓠长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知

哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)

求解.

(2)注意点:

①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.

②看清角的度量制，选用相应的公式.

③扇形的周长等于弧长加两个半径长.

7.2三角函数概念

7.2.1任意角的三角函数

知识点1任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设a的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x,y),

它与原点的距离是4r=正巧＞0),那么

名称定义定义域

正弦sina='

rR

X

余弦cosa=；R

V|aaW1+E,kRZ}

正切tan

sina,cosa,tana分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角

函数.

思考1.对于确定的角a,sina,cosa,tana的值是否随尸点在终边上的位

置的改变而改变？

［提示］不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x,y)在终边上的位置

无关，只与角a的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

思考2.若P(x,y)为角a与单位圆的交点，sina,cosa,tana的值怎样表

示？

［提示］sina=y,cosa=x,tana=~.

知识点2三角函数在各象限的符号

y\y

0*0x0x

--++

sinacosatana

知识点3三角函数线

⑴有向线段：规定了方面(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了

正方向的直线;

有向线段的数量：若有向线段在有向直线/上或与有向直线/平行，根

据有向线段AB与有向直线/的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负

号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为

(2)三角函数线

考点

口类型1三角函数的定义及应用

【例1】(1)在平面直角坐标系中，角。的终边在直线〉=一2%上，求5皿6(,

cosa,tana的值.

兀、

(2)当a=一§时,求sina,cosa,tana的值.

［解］(1)当a的终边在第二象限时，在a终边上取一点尸(一1,2),则r=

17+22=小,

22A/5

所以sina=-iVI,tana=4=-2.

忑=5，…》一$-1

当a的终边在第四象限时,

在a终边上取一点P'(1,-2),

则r=^/l2+(—2)2=^5,

~22出1A/5-2

所以sina=,tana=-'j=-2.

小一5'35

7T

(2)当a=-］时，设a的终边与单位圆的交点坐标为P(x,y),(x>0,y<0)

根据直角三角形中锐角］的邻边是斜边的一半，得x=g,由勾股定理得gj

+y2=l,y<0,解得y=一坐,

…2A/3212

因此sina=~j-=­2>cosa=I=/，tana=~j-=一4r3.

［母题探究］

1.将本例⑴的条件“y=—2x”改为“/x+y=0”其他条件不变，结果又

如何？

［解］直线小x+y=0,即>=一小》，当a的终边在第二象限时，在a的终

边上取一点尸(一1,小)，则r=2,

rI

所以sina=^\cosa=­tana=—y［3;

当a的终边在第四象限时，在a终边上取一点尸'(1,一小),

贝Ur=2,所以sina=­苧，cosa=/,tana=一小.

2.将本例⑴的条件“在直线y=-2x上”，改为“过点P(—3《4a)(aW0)”，

求2sina+cosa.

［解］因为r=4(—3a)2+(甸2=5间,

①若〃>0,则尸=5。，角a在第二象限，

y4a4光一3a3

=T-=7,COS

sina=r5a59a=r~=~5^a-=—57',

83

所以2sina+cos1.

②若a<0,则r=-5a,角a在第四象限，

.4a4-3a3

sina=z=一cosa=7-=£,

—5a5'—5a5

83

所以2sina+cosa=­§+；=-L

厂......(J5思领悟...................

1.已知角a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的

定义求出相应的三角函数值.

(2)在a的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sina=

夕cosa=*当已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便.

2.已知特殊角a,求三角函数值的方法

(1)先设出角a的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定

理求出该点的坐标.

(2)利用三角函数的定义，求出a的三角函数值.(此时尸到原点的距离「=

1)

3.当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对

参数进行分类讨论.

D类型2三角函数值的符号

【例2】(1)若角。同时满足sin9<0且tan0<0,则角。的终边一定位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)判断下列各式的符号.

①sin2015°cos2016°tan2017°；

②tan1910-cos190°；

③sin2cos3tan4.

(1)D［由sin。<0,可知。的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴

的负半轴重合.由tan。<0,可知。的终边可能位于第二象限或第四象限，故。

的终边只能位于第四象限.］

⑵［解］①•.，2015。=1800o+215o=5X360o+215°,

o

2016=5X360°+216°,2017°=5X360°+217°,

.•.它们都是第三象限角，

.,.sin2015°<0,cos2016°<0,tan2017°>0,

Asin2015°cos2016°tan2017°>0.

②'.T%。角是第三象限角,Atan191°>0,cos191°<0,

Atan1910-cos191°>0.

,JI兀3TT

③•2<2<无，,<3<兀，兀<4(亍，

.•.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，

/.sin2>0,cos3<0,tan4>0,

sin2cos3tan4<0.

厂.......•废思领悟.............................

判断三角函数值在各象限符号的攻略

(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限.

(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号.

(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判

断错误.

类型3应用三角函数线解三角不等式

【例3］在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出

角a的集合：

(l)sin心乎;(2)cosaW—；.

尝试与发现

1.在单位圆中，满足sina=坐的正弦线有几条？试在图中明确.

［提示］两条,如图1所示，MPi与NP2都等于

2.在单位圆中，满足cosa=-g的余弦线有几条？在图中明确.

［提示］一条,如图2所示，0M=一/

［解］(1)作直线y=坐交单位圆于A,

B两点、,连接04,0B,则0A与0B

围成的区域(图①阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a的集合为

兀2兀

a2攵兀+§WaW2E+keZp

(2)作直线x=-3交单位圆于。，。两点，连接OC,0D,则0C与。。围

成的区域(图②阴影部分)即为角a终边的范围，故满足条件的角a的集合为

2攵兀+］兀.0£<2①+%,kGZL

1............tS思领悟........\

利用三角函数线解三角不等式的方法

(1)正弦、余弦型不等式的解法

对于sinx2b,cosx》a(sinxWb,cosxWa),求解的关键是恰当地寻求点，

只需作直线y=b或x=a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位

置，此时再根据方向即可确定相应的范围.

(2)正切型不等式的解法

对于tanx»c,取点(1,c),连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所

在的位置，结合图象可确定相应的范围.

7.2.2同角三角函数关系

知识点同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos?a=l.

(2)商数关系：tana=^naWE+5,ZGZ).

Ll.sin2a+cos2y?=1恒成立吗？

［提示］不一定.

思考葭2.对任意角a，sin22a+cos22a=1是否成立.

［提示］成立，平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无

关.

考点

II类型1利用同角三角函数基本关系式求值

3

【例1】(1)已知sin。=—亍求cosa,tan。的值；

(2)已知sina+2cosa=0,求2sinacosa—cos2a的值.

「解］(1)因为sinaVO,sinaW-1,所以a是第三或第四象限角.

由sin2a+cos2a=1得cos2q=1-sin2a=1——三=充.

如果a是第三象限角，那么cosa<0.

4

于是cos于

“-r-sina3

从而X

tana=cosa4,

43

如果a是第四象限角，那么cosa=m，tana=—^.

(2)法一：由sina+2cos<z=0,得tana=—2.

92sinacosa-cos2a2tana—1—4—1

所以2sinacosa-cosa==taM"1=不T=一

法二：由sina+2cosa=0得2cosa=_sina,

所以2sinacosa-cos2a=—sin2a-cos2a=—(sin2a+cos2a)=­1.

厂.......泼现规律.............................

1.求三角函数值的方法是什么？

［提示］(1)已知sin。(或cos。)求tan。常用以下方式求解

(2)已知tan0求sin。(或cos。)常用以下方式求解

当角。的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角0

分区间(象限)讨论.

2.已知角。的正切求关于sina,cosa的齐次式的方法是什么？

［提示］(1)关于sina,cosa的齐次式就是式子中的每一^页都是关于sina,

cosa的式子且它们的次数之和相同，设为〃次，将分子、分母同除以cosa的〃

次寐，其式子可化为关于tana的式子，再代入求值.

(2)若关于sina,cosa的二次齐次式无分母时，把分母看作1,并将1用sin2a

+cos2a来代换，将分子、分母同除以cos2%可化为关于tana的式子，再代入

求值.

□类型2三角函数式的化简、求值

fA/1~2sin130°cos130°

【例2】⑴化间：可国书1二一埼3的

⑵若角a是第二象限角，化简：tanQ总另一1.

［思路点拨］(1)

(2)|切化弦|一「化简求值|

22

封hvA/sin130°-2sin130°cos130°+cos130°

［解］⑴原式-------sin13。。+#=13。。-----

|sin130°-cos130°|sin130°—cos130°

=sin130°+|cos130°|=sin1300-cos130o=k

2

…EL、/1—sin2a/cosctsina_Icosa\

⑵原式=tan叭/FT=tan勺高忑二日荔乂笈温，

因为a是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,

所以原式=®*用4=®x=^=—1.

cosa|sina|cosasina

厂.....•成思领悟.......................

化简三角函数式的常用方法

(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数

种类以便化简.

(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简

的目的.

(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，

以降低函数次数，达到化简目的.

提醒：在应用平方关系式求sina或cosa时，其正负号是由角a所在的象限

决定，不可凭空想象.

D类型3三角函数式的证明

――tana-sinatana+sina

【例3】求证：-------:—=-----：----.

tana-sinatana-sina

［证明口口i法、土一:左人边Wsm：a=；sin」,

sina—sinacosa1—cosa

sintx+sinacosa1+cosa

右边=

sin2asina'

因为sin2<z=l—cos2a=(l+cosa)(l—cosa),

zsina1+cosa_,,,,..

所以t-------=—：-----,所以左边=右边,

1—cosasma'

所以原等式成立.

一,,,t.an-2a-si•n2za

法二：因为右边二7;------：--——：—

(tana—sina)tanasma

tan?a-tantacos?a

(tana—sina)tanasina

tan?a(l-cos?c)

(tana-sina)tana-sina

tan2asin2a

(tana-sina)tanasina

tanasina

tana—sina

=左边.

所以原等式成立.

(■-.....应思领悟••......、

1.在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角

函数,或化切为弦，或化弦为切(如：已知tana,求关于sina,cosa的齐次式

的问题)；“1”的代换(I=sin2a+cos2a)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、

通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角

三角函数式的应用.

2.利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方

法有：

(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简.

(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子.

(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异.

(4)变更命题法，如要证明怖=力可证ad=/?c或证等.

左边

(5)比较法，即设法证明“左边一右边=0"或“不=1”.

类型4"sina±cos夕”同“sinacosa”间的关系

【例4】已知sina+cosa=£,且OVaVm

求：(l)sinacos1的值；

(2)求sina—cosa的值.

［解［(l);sina+cos。=予

・，・(sina+cosa)2=^,

・，・1+2sinacosa=去,

丽・12

即sinacosc(=—

(2)*/(sina-cosa)2=1—2sinacosa

又•「OVaVTi,且sinacosa<0,

/.sina>0,cosa<0,

Asina—cosa>0,

・.7

..sma-cos。=亍

厂......J5思领悟......................

1.已知sin夕土cos。求sinOcos仇只需平方便可.

2.已知sin8cos。求sin先cos夕时需开方，此时要根据已知角。的范围，确

定sinfttcos0的正负.

7.2.3三角函数的诱导公式

第1课时三角函数的诱导公式（一〜四）

知识点1诱导公式（一）

终边相同的角的诱导公式（公式一）：

sin（a+2kn）=sina（k£Z）；

cos（a+2kn）=cosa（k£Z）；

tan（a+2E）=tana（k£Z）.

用道kl.终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？

［提示］相等.

知识点2诱导公式（二）

终边关于x轴对称的角的诱导公式（公式二）：

sin（—g）=—sing；

cos（-a）=cosa；

tan（—a）=-tana.

思考12.角一a的终边与单位圆的交点与角a的终边与单位圆的交点有何关

系？

［提示］关于x轴对称.

知识点3诱导公式（三）

终边关于y轴对称的角的诱导公式（公式三）：

sin（兀—a）=sina；

cos（7t-a）=­cosa；

tan（7c-a）=—tana.

思考3.兀一a与a的终边什么关系？

［提示］关于y轴对称.

知识点4诱导公式（四）

终边关于原点对称的角的诱导公式（公式四）：

sin（7i+a）=~sina；

cos（兀+a）=-cosa；

tan(兀+«)=tana.

思考4.兀+a与a的终边有什么关系？

［提示］终边在同一条直线上.

考点

类型1给角求值

［例I］求下列各三角函数式的值:

(l)sin(—660°)；(2)cos(3)2cos660°+sin630°；

(4)tan^.sinl

［解］⑴因为一660°=—2*360。+60。,

所以sin(-660°)=sin60。=与

小mO27TT,.3兀

⑵因为丁=6兀+彳,

27兀3兀

所以cos不=3］李

(3)原式=2cos(720°-60°)+sin(720°-90°)

=2cos60°—sin90°=2X^-1=0.

37兀5兀、

(4)tan二-finl

=tan(6兀+571・sin(-2兀+三

6

n.nA/3_V31

=tang-sin3=3X2=,

1........泼现规律.................

利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤是什么？

［提示］

卜负化正”1用公式一或二来赢f）

广大化小”1用公式一将角化为0。到360。间前面）

广小化锐”卜包公式三或四将大于90°的角转化为锐角）

卜锐求值”1得到锐角的三角函数后求值）

类型2化简求值

【例2】化简下列各式.

cos(o+a)・sin(27i+a)

“)sin(—a-TT>COS(一兀-a)'

cos190°-sin(-210°)

(2)cos(-350°)-tan(-585°)-

.、日》—cosa-sinacosa-sina

[斛](1)原式=：~~~~~~~=1.

—sin(7t+a)-cos(7i+a)sina-cosa

cos(180°+10°)-[-sin(180°+30°)]

⑵原式=cos(—360°+10°)•[—tan(360。+225。)]

______—cos10°・sin30°__________2___

=cos10o-[-tan(180o+45°)]=-tan45o=2-

厂.....国思领悟......x

三角函数式的化简方法

(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.

(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.

(3)注意"1"的变式应用：如1=sin2a+cos2a=tan

□类型3给值求值问题

【例3】求值.

(1)已知sing+a)=—3求sin(a一等的值；

(2)已知坐，求cosd+a)的值.

尝试与发现

1.喘+a”与竽”间存在怎样的关系？你能用"a+铲表示

节571”吗?

［提示］住+a)—(a—号)=2兀,即。_|兀=,+m_2兀.

2.""a”与"看+a”间有怎样的关系？你能用“京。”表示

［解］(DV

=sin(a+*=—I

2-

(a+裔-(a+(|=

⑵•••=兀，

7兀

・・y+aj=cos7i+(a+*

cosl6

=­cos|+a

fir-3.

［母题探究］

1.（变条件）本例⑴条件变为“已知sinW+a）=T"，求sin（a—引的值.

5兀、

2.（变结论）本例⑵已知条件不变，求cosa的值.

「.......成思领悟...........................

解决给值求值问题的技巧

（1）寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、

函数名及有关运算之间的差异及联系.

（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已

知式转化.

第2课时三角函数的诱导公式（五〜六）

知识点1诱导公式五

终边关于直线y=x对称的角的诱导公式（公式五）:

sin^-aWcosa；

cos1一G)=sina.

皿1艘与角斜三角函数值有什么关系?

『坦一［.冗n1兀.冗dl

LIAEZFJsin%=cos2=2»cosa=sin

思考2.角a的终边与角，一a的终边有怎样的对称关系？

［提示］关于直线y=x对称.

知识点2诱导公式六

1+a型诱导公式（公式六）：

sinl2।I—cosa；

cosl2।«I——sma.

思考