湖南省雅礼十六校高三上学期第一次联考数学试题

雅礼十六校2023届高三上学期第一次联考数学审定：何方蔚李罗思徐宇珩校对：肖志泽肖永浩总分：150分时量：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列不属于x−2A.x3B.6x2C.2.已知集合A={x|f(x)≤a},B={x|f(f(x))≤a},a∈R.其中f(x)=x2−3x+3，若满足BA.[3,+∞)B.(−∞,1]∪[3,+∞)C.3.已知复数z1,z2,z3，z1则2|z2A.5B.6C.7D.84.已知△ABC三边a,b,c所对角分别为A,B,C，且3a2+bA.-1B.0C.1D.以上选项均不正确5.已知正项数列{an}满足a1=1，且1aA.7B.6C.5D.46.长沙市雅礼中学（雅礼）、华中师范大学第一附属中学（华一）、河南省实验中学（省实验）三校参加华中名校杯羽毛球团体赛.这时候有四位体育老师对最终的比赛结果做出了预测：罗老师：雅礼是第二名或第三名，华一不是第三名；魏老师：华一是第一名或第二名，雅礼不是第一名；贾老师：华一是第三名；关老师：省实验不是第一名；其中只有一位老师预测对了，则正确的是（）A.罗老师B.魏老师C.贾老师D.关老师7.若a=1100e5,b=eA.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a8.已知双曲线x2−y2a2A.(213,+∞)B.(1,21二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.长沙市有橘子洲，岳麓山，天心阁，开福寺四个景点，一位游客来长沙市游览.已知该游客游览橘子洲的概率为23，游览其他景点的概率都是12.该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X记录该游客游览的景点数，下列说法正确的是（A.游客至多游览一个景点的概率为1C.P(X=4)=B.P(X=2)=D.E(X)=10.如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合的元素标号表示为a1,A.NB.ZC.QD.R11.已知某四面体的四条棱长度为a，另外两条棱长度为b，则下列说法正确的是（）A.若a=2且该四面体的侧面存在正三角形，则bB.若a=3且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积VC.若a=4且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积V2D.对任意a>1，记侧面存在正三角形时四面体的体积为V1，记对棱均相等时四面体的体积为12.已知函数f(x)=ex+axA.当a>−3时，函数B.对于∀a∈R，函数f(x)C.当a=−1时，，函数D.∃a∈R，使函数f(x)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知cos(α+β)=cosα+14.已知向量e1与e2的夹角为π4，且e1=1，e2=15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点A,B（A,B在同一象限内），且满足16.若不等式lnx≤1a四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.定义Tn(（1）证明：T（2）解方程：818.已知单调递减正数列an，n≥2时满足an2(an−（1）求an（2）证明：S19.如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB(1)求证：平面PAD⊥平面PBC(2)若二面角P−AB−D的余弦值为33，求直线PD与平面PBC20.现有一批疫苗拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为p(0<p<1).（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数X的数学期望